文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷 1
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则复数z的实部与虚部的和为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知 的定义域为A，集合 ，若 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（ ，单位：m）与
制动距离（ ，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车
的初速度 （单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述 ， 与
的函数关系的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．已知函数 则函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数 存在一个极大值 与一个极小值 满足 ，则 至
少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．66．已知实数x、y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
7．在正方体 中，点P在正方形 内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形 内一定存在一点 ，使得
B．在正方形 内一定存在一点 ，使得
C．在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面
D．在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面
8．对于平面上点 和曲线 ，任取 上一点 ，若线段 的长度存在最小值，则称该值
为点 到曲线 的距离，记作 .若曲线 是边长为6的等边三角形，则点集
所表示的图形的面积为（ ）
A．36 B．
C． D．
9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其
中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
10．已知椭圆C的焦点为 ，过 的直线与C交于P，Q两点，若
，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，对于任意的 ，方程 恰有一个实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设 ， 是x，y轴正方向上的单位向量， ， ，则向量 ，
的夹角为______．
14．已知双曲线 的焦距为 ，过 的右焦点 的直线 与 的两条
渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，若 且 ，则 的渐近线
方程为__________.
15．已知数列 满足首项 ， ，则数列 的前2n项的和为
_____________．
16．在三角形 中， ， ， 为 的中点，则 的最大值为
___________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）数列 满足 ，点 在直线 上，设数列 的前n
项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ．
18．（12分）如图，将等边 绕 边旋转 到等边 的位置，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 是棱 上一点，且两三角形的面积满足 ，求直线 与平面
所成角的正弦值．
19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中
每一个目标的概率均为 ，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中
一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继
续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．
(1)当 时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；
(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．
20．（12分）已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，
直线 与圆 相切．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设不过原点的直线 与椭圆 相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标
原点，射线OM与椭圆 相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
21．（12分）已知函数
(1)当 时，证明: .
(2)若 有两个零点 且 求 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲
线C相交于A，B两点， ．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若 ，求直线l的斜率．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
