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专题 13.3 等腰三角形的性质与判定
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】............................................................................................1
【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】............................................................................................3
【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】........................................................................................7
【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】..................................................................................................12
【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】..................................................................................................16
【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】..............................................................................................23
【过关检测】............................................................................................................................................................29
【典型例题】
【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】
例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为 、 ，其周长为
；
（2）若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ．
【答案】 32 13或14
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种
情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为 时，②当腰长为 时，解答出即可．
（2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为 时，腰长为 时，解答出即可．
【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况：
当腰长为 时，三角形三边长为 ，不能构成三角形；
当腰长为 时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长 ．
故答案为：32．
（2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为 和 ，
∴三角形三边可以是 、 或 、 ，
∴三角形的周长为 或 ，故答案为：13或14．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另
一边长为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析
求解是关键．
分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：若腰长为3，则底边长为： ，
∵ ，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为3，则腰长为： ，
∵ ，
∴能组成三角形，
∴该等腰三角形的腰长为5．
故答案为：5．
2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为 ，它的周长为 ，则它的底边长
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有一条边长为 ，而没
有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰长为 时，底边长为 ，三角形的三边长为 ， ， ，不能构成三角形；
当底边长为 时，腰长为 ，三角形的三边长为 ， ， ，能构成三角形；
所以等腰三角形的底边长为 ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若 是等腰三角形， 是其两边，且满足 ，
则 周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键．
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为 ．
所以三角形的周长为20，
故答案为：20．
【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为 ，则这个等腰三角形的底角的度
数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确 的角是等腰三角形的底角
还是顶角，故应分 的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当 的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
②当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ，
故它的底角度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是 ，则它顶角的度数为 ．
【答案】30°或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为 ，根
据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键
【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为 ，
当顶角度数为 时，可得 ，解得 ，
∴顶角的度数为30°；
当顶角度数为 时，可得 ，
解得
∴顶角度数为
故答案为30°或
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， 平分 ，如果射线 上的点 满足
是等腰三角形， 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
求出 ，根据等腰得出三种情况， ， ， ，根据等腰三角形性质和三角形内
角和定理求出即可．
【详解】解：如图，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
①当E在 时， ，
∵ ，
∴ ，
；
②当E在 点时， ，则
；
③当E在 时， ，
则
；
故答案为： 或 或 ．
3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在 中， 为钝角， ，如果经过 其中一个顶
点作一条直线能把 分成两个等腰三角形，那么 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和
三角形内角和定理分多种情况求解即可．
【详解】解：①过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为
，如下图，
∴ ，
∴ ，
若 是等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设成立；
②过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，∴ ，
∴ ，
故假设成立；
③过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设不成立；
④过顶点A作一条直线把 分成两个等腰三角形，等腰三角形为 只能以点C为顶点，如图，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
解得 ，故假设成立；
⑤由题得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若过顶点B作直线交 于点M，等腰三角形为 以点C为顶角，如图，
∵ ，故矛盾；
综上所述， 的度数为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角
形的“优美比”．若等腰 的两边长分别是3和9，则这的“优美比” 为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定
义，求解即可．
【详解】解：∵等腰 的两边长分别是3和9，
当腰长为3时， ，不能组成三角形，不符合题意，
∴腰长为9，底边为3，
∴ ；故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长
三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是
腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系
是解题关键．
【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为 ，则 ，可以构成三角形；
当底是腰的2倍时，底边为 ，则 ，不能构成三角形；
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段 的最大值称为该图形
的“通径”．已知 中， ， 是等腰 的最短边，将 沿 翻折得到 ，
四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”也是8，则
．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
【答案】12或16
【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断 ，再分两种情况进行
讨论：当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：∵将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得
到 ，四边形 的“通径”也是8，且 为等腰三角形，
∴ ，
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，连接 ，如图所示：根据折叠可知： 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，如图所示：
∴ ，
∴ ；
∵ 为等腰 的最短边，
∴ 不可能是“通径”．
综上分析可知： 或16．
故答案为：12或16．
3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割
成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在
中， ，若存在过点C的“钻石分割线”，使 是“钻石三角形”，则满足条件的
的度数为 ．
【答案】 或 或 或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键
是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当 ， 时，当 ， 时，当， 时，当 ， 时，当 ， 时，分别画出图形，求出结
果即可．
【详解】解：当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
综上分析可知： 的度数为： 或 或 或 ．故答案为： 或 或 或 ．
【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】
例题：（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知 中， ， ，若 ，则
．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形判定及性质．根据题意可知 是等腰三角形，再利用等腰三角形性质即
可得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在 中， ， ， 于点 ，
的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能
依此求得相应角的度数是解题关键．
利用等边对等角依次可求得 和 的大小，根据等腰三角形三线合一可得 的度数，从而可得
的度数．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ 的垂直平分线交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在 中， ，点 是 的平分线 上的一
动点， ， 的面积为48，则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查轴对称 最短问题．过 作 于 ，交 于 ，根据角平分线的定义得到
，根据全等三角形的性质得到 ，推出点 ， 关于 对称，得到此时
的值最小，且等于 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过 作 于 ，交 于 ，
，
，
，
， ，平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
点 ， 关于 对称，
此时 的值最小，且等于 ，
的面积为48，
，
，
的最小值为6．
故答案为：6．
3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点
F，D为线段 的中点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理：
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，证明 ，根据等腰三角形的三线合一性
质即可证得结论；
（2）由 可得 ，由外角的性质可得 ，由 可得 ，进而求出 ，由三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D为线段 的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】
例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中， 是 的中点， ， ，垂
足分别是 、 ，且 ．(1)求证： ．
(2)连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰
三角形的三线合一是解本题的关键．
（1）先证明 ，再证明 即可；
（2）先证明 ，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明： 是 的中点，
，
， ，
，
在 和 中，
，
≌
；
（2）如图，连接 ，，
，
是等腰三角形，
是 的中点，
是 底边上的中线，
也是 底边上的高， 即 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， ，交 延长线
于点 ．
求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，过 作 于点 ，则
，根据等腰三角形的“三线合一”定理得 ，再证明 ，根
据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在 与 中， ， 与 相交于点E，
．
(1)求证： ；
(2)连接 ，设线段 的中点分别为M，线段 的中点分别为N，直线 与 相交于点F．求证：
F，N，E，M四点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ，得出 ，
则可证出结论；
（2）连接 ， ， ，由全等三角形的性质得出 ， ，证出 ，可得
，由等腰三角形的性质可得 为 的垂直平分线， 平分 ， 平分 ，由， 为 的垂直平分线，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的中点，则
∴ 为 的垂直平分线， 平分 ，
∵ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴E，M，F三点共线，
∵ ， ，
∴ ，
∵N为 的中点，
∴ 平分 ，
∵ 平分 ，∴N在 上，
∴F，N，E，M四点共线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明
是解题的关键．
3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在 中， ，过点C作射线 ，使 （点
与点B在直线 的异侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且
．
(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①详见解析；② ，详见解析
【分析】（1）根据各角之间的关系得出 ，即可确定位置关系，画出 ；再由全等
三角形的判定和性质得出 ，即可得出结果；
（2）①过点A作 于点 点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出
，再由其性质即可得出结果；②在 上截取 ，连接 ，由各角之间的关
系得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，
，即可得出结果．【详解】（1）当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，过点A作 于点M，如图1：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为： ；
（2）①证明：过点A作 于点M、 点N，如图2：则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图3：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运
用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于E，F．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定
和性质是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，可得
，据此即可证得；
（2）同理（1）可得 ，根据 的周长 ，求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形；
（2） ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
的周长为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在 中， ， 与 的平分线相
交于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于 ，作 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得 ，再根据平行线的性质可得 ，可得
，根据等角的余角相等可得 ，即可得证；
（2）在 上取 ，连接 ，证明 ，得 ，说明 ，
证明 ，得 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 为等腰三角形；
（2）在 上取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中， 的平分线与
的平分线相交于点F， 与 的延长线交于点E，连接 ．
求证：
(1) 是等腰三角形．
(2)若 ．则 ________．
【答案】(1)见解析；
(2)7
【分析】（1）由平行线的性质得出 ，则 ，可得出 ，则结论得证；
（2）证明 ，得出 ，则可得出结论．
【详解】（1）证明∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
3.如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
， 为 的中点，
，
，
∴ ；（2）证明： 平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
是等腰三角形；
（3）解： 的周长为15，
，
，
，
即 ，
平分 的周长，
，
的周长 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当 角为顶角；②当
为底角，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：①当 角为顶角时，顶角度数为 ；
②当 为底角时，顶角： ，
故选：C．2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在 的网格中，以 为一边，点 在格点处，使 为
等腰三角形的点 有（ ）个
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当 为底边时，当 为腰时，分别画出图形，即
可得出答案．
【详解】解：如图，当 为底边时，以 为底边的等腰三角形有3个，
；
如图，当 为腰时，以 为腰的等腰三角形有2个，
；
综上所述，使 为等腰三角形的点 有 个，
故选：B．
3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在 中， ，点 是 上一点，且
，则 的面积为（ ）A．9 B．12 C．18 D．6
【答案】A
【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外
角，求出 ，进而求出 的长，利用三角形的面积公式求出 的面积即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
故选A．
4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知 ，点P在边AB上， ，点E，F在边
上，连接 ，有 ．若 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．
过 作 于 ，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过 作 于 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B
5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在 是 边的中线，点
分别在边 和 上， 于点F，则以下结论；
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查的是全等三角形、等腰直角三角形的性质，利用面积法证明 是解答
本题的关键．①设 ，则 ，从而可得到
， ，从而可得到；②运用反证法可判断②；③由 ，可知 ，由直角三角形斜边上
的中线的性质可知 ，从而可判断③．④证明： 的面积=四边形 的面积，所以
的面积+ 的面积=四边形 的面积+ 的面积．
【详解】解：∵ ， ，BM是 边的中线，
∴ ， ， ，
①设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，故①正确；
②由①得 ，如果 ，则 ，
∴ ，
∴ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，与已知条件 矛盾，
∴②错误的；
③在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，M是 的中点，∴ ，
∴ ，
即 ；故③正确．
④由③知
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ，故④错误；
故选D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，则
度．
【答案】70
【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出
，再根据三角形三角和定理即可得出答案．
【详解】解： ，
，∵
∴
∵
，
∴
故答案为：70．7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，
，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一，根据等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线进行求解
即可．
【详解】解：∵在 中， ， 平分 ，
∴ 是 边上的中线，
∴ ．
故答案为：4．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，已知边 的垂直平分线与边 的垂直平分线
交于点 ，连接 ，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边 的垂直平分线与边 的垂直平分线交于点 ，
，
，
∴ 都是等腰三角形；
故答案为：3．9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 ，点E在边 上，
且 ．若 ，则 的大小为 ．
【答案】 /20度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由
等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出 ，
，由等腰三角形三线合一的性质得出 ，再根据角的和差关
系即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知 ，点 是边 上一点，在射线 上取一点
C，当 是等腰三角形时， 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键；根据题意分三种情况讨论：①当 ，②当 ，③当 ，根据等腰三角形的性质以及三
角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵
∴①当 时，
则有 ；
②当 时，
则有 ；
③当 时，
则有 ，
．
综上所述， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在 中，过点 作 于点 ，过点 作
， ，若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质等知识，先由直角三角
形的两个锐角互余得到 ，再由等腰三角形等边对等角及平行线性质得到答案，熟练掌握三角形内角
和定理、等腰三角形性质、平行线性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键．
【详解】解：在 中，过点 作 于点 ， ，
，
，
，
，
．12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在 中， ， 为 的中点， ， 分别为 ，
上的点，且 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接 ，由等腰三角形的三线合一
性质得出 ，证明 ，由全等三角形的性质即可得出 ．
【详解】证明：连接 ，如图所示：
， 为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
．
13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知 中， ，
(1)若点D为 边上的一个点，且 ，则 __________ ；
(2)若过点A的直线l恰好把 分成两个等腰三角形，则 的度数可能是___________．
【答案】(1)40；
(2) 或 或【分析】此题考查了等腰三角形的性质．三角形内角和定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分
类讨论思想的应用．
（1）由 ，根据等边对等角的性质，即可求得 的度数；
（2）分别从① ，② ， ，③ ，去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵ 中， ，点D为 边上的一个点，且 ，
∴ ；
故答案为：40
（2）有三种情况：① ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
② ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
③ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ．14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在 中， ， ， 的平分线
交边 于点 ．
(1)如图1，求证： 为等腰三角形；
(2)如图2，若 的平分线 交边 于点 ，求证： ；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由内角和定理，得 ，于是 ，得 ，所以
；
（2）过点E作 ，交 于点F，可证 ，求证 ，所以
，可证 ，线段等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 为等腰三角形．（2）证明：过点E作 ，交 于点F，
则 ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，
构造全等三角形是解题的关键．
15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在 中， ．(1)如图1，点D、点E分别是线段 上两点，连接 ，若 ，且 ，求 的
度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段 上两点，连接 ，过点B作 交 延长线于F，连接
，若 ，求证： ；
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键：
（1）证明 ，得到 ，利用角的和差关系，进行求解即可；
（2）延长 至点 ，使 ，先证明 ，再证明 ，根据线段的和差关系
和等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 至点 ，使 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在 中， ， 平分 ，
平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有 个等腰三角形；
与 、 之间的数量关系是 ， 的周长是
（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证明你
的结论，并求出 的周长
（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？直接写出结
论不证明．
【答案】（1）5； ；20；（2）2； ，周长为18；（3）
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是
解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据两直线平行，内错角相等可得
， ，然后求出 ， ，再根据等角对等边可得
， ，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据两直线平行，内错角相等可得， ，然后求出 ， ，再根据等角对等边可得
， ，然后解答即可；
（3）由（2）知 ， ，然后利用等量代换即可证明 、 、 有怎样的数量关系．
【详解】解：（1） ．
理由如下：
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
∵ ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
等腰三角形有 ， ， ， ， 共5个，
，
即 ，
的周长 ．
故答案为：5； ；20；
（2） ，
平分 ， 平分 ，
， ，
∵ ，
， ，
， ，
， ，
等腰三角形有 ， ，
，即 ．
可得 的周长为18．
（3） ，由（1）知 ，
，
，
，
又 ，
．
