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专题 13.3 角平分线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】..............................................................................................................1
【题型2 由角平分线的性质求面积】......................................................................................................................2
【题型3 由角平分线的性质比较大小】..................................................................................................................3
【题型4 由角平分线的性质进行证明】..................................................................................................................4
【题型5 证明是角平分线】......................................................................................................................................6
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】..............................................................................................................7
【题型7 尺规作角平分线】......................................................................................................................................8
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】.........................................................................................................9
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】...................................................................................10
【题型10 角平分线的实际应用】............................................................................................................................12
知识点1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为
∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB=20cm，AC=8cm，DF = cm．【变式1-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，AC=4,BD=3,DC=2，
则AB= ．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABD中，BC平分∠ABD，DE为高，
∠ACB=135°，△ABD的面积为6，AE=4，则BD的长为 ．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12， 则BF的长为 ．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知△ABC的周长是20，点O为∠ABC与∠ACB的平分
线的交点，且OD⊥BC于点D，若OD=1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．20
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA:CA=3:4，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，
DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【变式2-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，
S =24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为
△ABC
（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
【例3】（23-24八年级·辽宁本溪·期末）如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为
S ,△ACO的面积记为S ,△BCO的面积记为S ，关于S ,S ,S 之间的大小关系，正确的是（ ）
1 2 3 1 2 3A．S +S =S B．S +S S D．S ⋅S =S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【变式3-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，BO、AO分别是△ABC中∠ABC、∠BAC的平分
线，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为H、E、F，则OH、OE、OF长度的大小关系是
（ ）
A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OF
C．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF
【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，
PC=3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·广东惠州·开学考试）如图，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，
∠OAC+∠OBC=180°，则AC与BC之间的大小关系是（ ）A．AC=BC B．AC>BC C．ACAD)，求证：BC−AC=BD−AD．
【尝试探究】在图①中，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．因为∠BAC的平分线
与∠ABC的平分线交于点O，所以OD=______=______．所以CO是∠ACB的平分线……请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB、BC、CD、AD间的数
量关系，并加以证明．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC
，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式9-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分
线相交于点P，BE=BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP，下列结论：①∠ACB=2∠APB
；②S :S =PC:PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CFP．
△PAC △PAB
其中一定正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【变式9-2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分
线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式9-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=80°，连接BD，CE相交于点F，连接AF．下列结论：①BD=CE；②∠DFE=80°
；③△ABF≌△FCA；④∠AFB=50°．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型10 角平分线的实际应用】
【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，道路AO和BO的交叉区域（∠AOB的内部）为一个
公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游
乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在
其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．【变式10-2】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，
围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相
等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【变式10-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）直线l，l，l 表示三条相互交叉的公路，现在拟建一
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个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作
法）
