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专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 共顶点的等边三角形】....................................................................................................................1
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】..........................................................................................................11
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】..........................................................................................................22
【典型例题】
【类型一 共顶点的等边三角形】
例题：（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段 上一动点（不与点A，E重合），在
同侧分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结
．
求证：(1) ；(2) 为等边三角形；
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边
三角形，直线 、 交于点E，直线 、 交于点F．则以下结论：① ；② ；
③ ；④ ．正确的有 ．
2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图 ， 、 、 三点在一直线上，分别以 、 为边
在 同侧作等边 和等边 ， 交 于点 ， 交 于点 ．
(1) 吗？ 吗？请说明理由．
(2)如图2，若 、 、 不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接 、 ，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）
3．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边 中，点 ， 分别在 ， 边上，
．(1)若将图1中的 沿射线 的方向平移到 的位置，如图2，则 的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的 绕点 逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗?（不需说明理由）
②延长 交 于点 ，则 的度数为______．
4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段 于点 ，点 在直线 上，分别以 、 为边
作等边三角形 和等边三角形 ，直线 交直线 于点 ．
(1)当点 在线段 上时，如图①，直接写出 ， ， 之间的关系 ．
(2)当点 在线段 的延长线上时，如图②，当点 在线段 的延长线上时，如图③，请分别写出线段
、 、 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，请直接写出 的值．
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
．
(1)【猜想】：如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是________，位置关系是
________．
(2)【探究】：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当 ， ， 三点在同一直线
上时，则 的长是________．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1， 和 均为等
边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ．填空：
① 的度数为__________；
②线段 ， 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在
同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数并证明： ．
2．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知 和 都是等腰直角三角形，
，点 是直线 上的一动点（点 不与点 重合），连接 ．
(1)在图1中，当点 在边 上时，求证： ；
(2)在图2中，当点 在边 的延长线上时，结论 是否还成立？若不成立，请猜想
之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点 在边 的反向延长线上时，求出 之问存在的数共关系及直线 与直
线 的位置关系．
3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①， 和△ADE都是等腰直角三角形，
，点B在线段 上，点C在线段 上，我们很容易得到 ，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（ ），连接 和 ，此时 是否依然
成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在 的延长线上，连接 ．求：
① 的度数；
②若 ， ，则线段 的长是多少？
4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，按图1放置，使点 在 上，取 的中点 ，连接
．
(1)观察发现：图1中 的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：将图1中的 绕点 顺时针转动 ，再连接 ，取 的中点 （如图2），问（1）
中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的 绕点 顺时针转动任意角度（转动角度在 到 之间），再连接 的
中点 （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图， 与 都是等腰三角形，
相交于点 ．
(1)试说明： ；
(2)求 的度数．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、 为腰在
左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ．
(1)如图1，当 时，① 、 的形状是____________；
②求证： ．
(2)若 ，
①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
2.（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中，F为 中点，分别以 、 为底边向外作等腰
三角形 和等腰三角形 ，记 ， ．
(1)若 ，如图，求证： ， ；
(2)当 ， 不等于 时，若 ，
①在图中补全图形；
②试判断，的数量关系，并证明．
