文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．若 是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形 的边长为2，圆 半径为1，点 在圆 上运动，则 的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
5．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．已知函数 ，设 ， ，则 成立的一个必要不充分条
件是（ ）
A． B．
C． D．
7．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子
中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 （是常数， ， ），若 在区间
上具有单调性，且 ，则函数是 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列 满足 ，且 ，若存在正偶数m使得
成立，则 （ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
11．已知两点A，M在双曲 的右支上，点A与点B关于原点对称，
交y轴于点N，若 ，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ， ，若 是奇函数， 是偶
函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________.
14．已知点 ，点P在抛物线 上运动，点B在曲线 上运动，
则 的最小值是___________．
15．已知数列 的前 项和为 为数列 的前 项积，满足
（ 为正整数），其中 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ 为
等差数列；④ .其中所有正确结论的序号是__________.
16．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次
比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由边长
为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：
①经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
②异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
③直线AD与平面DEF所成的角为
④球离球托底面DEF的最小距离为其中正确的命题是__________ 请将正确命题的序号都填上
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分））在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
18．（12分）某网络 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，
竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次
的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都
参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 分，现要根据得分给共 名参
加者中得分前 名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为 分， 分以上共有 人，已知甲的得分为 分，问甲
能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 分， 分以上
共有 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量 ，则 ；
； ．19．（12分）如图①，已知 是边长为2的等边三角形， 是 的中点，
，如图②，将 沿边 翻折至 .
(1)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请
说明理由；
(2)若平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.
20．（12分）P为圆 上一动点，点 的坐标为 ，线段 的垂直平
分线交直线 于点 ．
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)在（1）中曲线 与 轴的两个交点分别为 和 ， 、 为曲线 上异于 、 的两
点，直线 不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点 关于原点 的对称点为 ，若直线
与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 ，证明：在曲线 上存在定点
，使得 的面积为定值，并求该定值．
21．（12分）已知函数 ，其中 为常数.
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的极大值点是 ，且函数 的一个零点大于1，求证：
.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的
极坐标方程为 ．
(1)求 的参数方程；
(2)已知点 在 上，若 在 处的切线与直线 平行，求点 的极坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 ， ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2) ，若 图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的
取值范围．
