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专题13.4 等边三角形的性质和应用（6个考点）
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【考点3：等边三角形的判定】
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
1．（2024•福州模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的
长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023秋•楚雄州期末）如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线
于点C．若CE＝6，则AB的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
3．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外
作等边△ACD，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，若 AB＝5，CE＝3，则 BC 的长为
（ ）A．4 B． C．5 D．
4．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、
AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（
）
A．12 B．18 C．20 D．24
5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D
作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
6．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，
点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE
的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
7．（2023秋•潮南区校级月考）如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯
出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 ．【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
8．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则
∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
9．（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，
DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（ ）
A．120° B．110° C．100° D．140°
10．（2023春•龙岗区期中）如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大
小为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．90°
11．（2022秋•永善县期末）如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、
OC，那么∠BOC是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°
12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形 ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则
∠3的大小为 （度）．
13．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，
若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 ．
【考点3：等边三角形的判定】
14．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（ ）
A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4
15．下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
16．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的
形状为（ ）A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30°角的直角三角形
D．钝角三角形
17．已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且
BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交
BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，
试判断△CEB的形状，并说明理由．
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．【考点4：等边三角形的判定与性质】
21．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，
过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
22．已知：如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED．
（1）求证：△DEC为等边三角形；
（2）求∠BED的度数．
23．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．
（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请
直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）24．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点
M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
25．如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，
OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于
点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（ ）A．6 B．8 C．9 D．12
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的
长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
28．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．
若MN＝2，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点
E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是
直角三角形，则t的值为（ ）A．2 B．0.5 C．2或3.5 D．2或0.5
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
31．（2023秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若
∠CDA＝120°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
32．（2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
33．（2023秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交
BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．1334．（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD
＝3，则AB＝ ．
