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专题 13.7 与轴对称图形有关的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 垂线段最短】..............................................................................................................................................1
【题型2 两点之间线段最短】..................................................................................................................................2
【题型3 平行线之间的距离】..................................................................................................................................4
【题型4 两动一定】..................................................................................................................................................6
【题型5 两定一动(将军饮马)】...............................................................................................................................7
【题型6 两定两动型】..............................................................................................................................................9
【题型7 两定一动(三点共线)】.............................................................................................................................10
【题型8 两动+定长】..............................................................................................................................................11
知识点1：垂线段最短
【模型分析】
如图，点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，则点P到直线l的距离为PH，即“垂线段最短”．
【温馨提示】解决最值问题常遵循：一找、二证、三计算．
【方法解读】
若所求线段不能直接利用“垂线段最短求最值”，需将其转化到定点和动点之间的线段，可借助矩形
的对角线相等或全等三角形的性质．
【题型1 垂线段最短】
【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图， 线段BC=10，A是线段BC外一点，连接AB、AC，D
、E分别是AB、AC的中点，连接BE、CD交于点F．当四边形ADFE的面积为10时，线段AB的最小值
为 ．
【变式1-1】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，DE=4.2，则DF的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
【变式1-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C和D
，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（ ）
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样
B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短
C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短
D．方案一与方案二无法比较
【变式1-3】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，钝角△ABC的面积为12，最长边AB=8，BD平分
∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．
【题型2 两点之间线段最短】
【例2】（23-24八年级·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的
同侧有A、B两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开
支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？【变式2-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺
水问题，政府准备投资建一个蓄水池，不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H点位置，使它与四个村庄的
距离之和最小．
【变式2-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为
(−1,0),(3,0)，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应
点C,D，连接AC，BD,CD，直接写出点C的坐标______，D的坐标______及四边形ABCD的面积为
______．
（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l ,l 是街道两边沿），现准备修建一座过
1 2
街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图3中作出此时天桥PQ的位置，
简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
【变式2-3】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，点D、E是三角形ABC外的两点，
请按要求完成下列问题．(1)请你判断线段BC+AC与AB的大小关系是 ；理由是 ；
(2)①按要求将图形补充完整：连接线段BE，画射线ED、直线CD；
②若在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N，并顺次连接它们，则
四边形KLMN的周长 四边形BCDE的周长．（大于、小于或等于）
(3)在四边形BCDE内找一点O，使它到四边形BCDE四个顶点的距离之和最小．（保留作图痕迹，找到点
即可）
【题型3 平行线之间的距离】
【例3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，l //l //l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C
1 2 3
分别为l ，l ，l 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与l 交于点D，∠ABC=90°，则BD的最小值为
1 2 3 2
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-1】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，
过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6
，△DBC面积为18，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，若点P和点Q分别是线段MN和
BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为 ．【变式3-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
AC=6，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则
1
DE+ CE的最小值为 ．
2
知识点2：两动一定
【模型分析】
问题：如图，直线AB、AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，求
MP＋PN的最小值．
解题思路：
一找：
第一步：作点M关于AC的对称点M′；
第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；
二证：证明MP＋PN的最小值为M′N：
三计算．【题型4 两动一定】
【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）已知∠AOB=30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是
OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3❑√3 D．3❑√2
【变式4-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，
AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB
，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长 B．线段EF的长度
C．BC边的长度 D．以上都不对
【变式4-3】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，
使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线
AR，交BC于点D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动
点，则BM+MN的最小值为（ ）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6
知识点3：两定一动
已知：在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
【题型5 两定一动(将军饮马)】
【例5】（23-24八年级·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直
平分BC，点P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 ．
【变式5-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格
中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′．
(2)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
【变式5-2】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直
平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．
(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接OG、OH、OP、CH．
①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？
②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若∠MON=30°， A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为
OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点E，试求PE+QE的最小值．
知识点4：两定两动
已知：在平面直角坐标系中，点P （2，3），Q （3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．作出M点和N点．
【题型6 两定两动型】
【例6】（23-24·福建莆田·中考模拟）如图，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，
AB=4，P、Q分别为CN、CM上的两个动点，则MP+PQ+QN的最小值为______．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝
AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是
．
【变式6-2】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，
连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=4,AC−BC=2，则BE+BF的最小值是（ ）A．4 B．10 C．6 D．20
【变式6-3】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）在△ABC中，
20
∠BAC=90°，AB=5，AC= ，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD=AE，连接
3
AD，BE，则AD+BE最小值为 ．
【题型7 两定一动(三点共线)】
【例7】（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC
至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂
线AM，DN．当|AM−DN)的值最大时，∠ACE的度数为 ．
【变式7-1】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中
线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，AB=AC=4，在直线AB上方作等腰ΔBCD，
∠DBC=120°，BD=BC，连接AD，当AD最大时，∠ACD= ．【变式7-3】（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、
M、N都在格点上．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ；
1 1 1
(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；
(3)在直线MN上找点Q使|QB−QA)最大，直接写出这个最大值．
【题型8 两动+定长】
【例8】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(8,0)，C(8,2)，M，N
是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=2，线段EF在边AB
上左右滑动，若EF=1，则DE+CF的最小值为 ．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北恩施·阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：
AE+EF+FB的最小值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，
0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
