文档内容
专题 13.7 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等边三角形定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.
【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点四】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另
一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用等边三角形性质求值与证明
【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示， 是等边三角形， 点是 的中点，延长
到 ，使 ．
（1）求 的度数？
（2）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足为 ．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证： ．【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图， 是等边 的边 上的中线，以点D为圆心，
长为半径画弧交 的延长线于E，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形 和等边三角形 的边长都是 ，点 ， ，
在同一条直线上，点 在线段 上，则 的最小值为 ．
【题型2】利用等边三角形判定求值与证明
【例2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 的垂直平
分线分别交 和 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，请判断 的形状，并说明理由．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在 中， ， ，
则 是（ ）
A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）在 中， ， ，点 在边 上，
连接 ．给出下列四种说法：
①当 时， 一定为等边三角形；
②当 时， 一定为等边三角形；
③当 是等腰三角形时， 一定为等边三角形；
④当 是等腰三角形时， 一定为等腰三角形．
其中正确的说法是 ．（填序号）
【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在等边 中，点D为 上一点，
．
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点F，连接 ，若 ，猜想线段 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式1】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在 中， ， 是高， ，
，则 的长是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．
【变式2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在 中， ， ，以 为圆心，
适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 再分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 连接 并延长，交 于点 有下列说法：①线段 是 的平分线；
② ；③点 到 边的距离与 的长相等；④ ．其中正确结论的序号是
．
【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明
【例4】（22-23八年级上·广东湛江·期中）已知：如图， 、 都是等边三角形， 、 相
交于点 ，点 、 分别是线段 、 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）求证： 是等边三角形．
【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图， ，以点O为圆心，任意长为半径画弧，
分别交 ， 于点A，D，再以点A为圆心， 长为半径画弧，与弧 交于点B，连接 、 ，
的延长线交 于点C，若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在 中， ， ， 是 内的两点，
平分 ， ．
（1） °；
（2）若 ， ，则 的长为 cm．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段 上， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在 中， ，若D是 边上的动点，
则 的最小值为 ．
2、拓展延伸【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边 中，点E为边 上任意一点，点D在
边 的延长线上，且 ．
（1）当点E为 的中点时（如图1），则有 __________ （填“>”“<”或“=”）；
（2）如图2，若点E为 上任意一点，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．
（3）在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在直线 上，且 ，若 的边长为
2， ，直接写出 的长．
【例2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰 中， ，点 是 上一动点，点 在
的延长线上，且 ， 平分 交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，在 上取点 ，使 ，连接 ．求证： 是等边三角形；
（3）如图3，当，且时，求证：．
