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专题13 图形的旋转重难点题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 生活中的旋转现象
题型二 判断一个图形旋转而成的图案
题型三 找旋转中心、旋转角、对应点
题型四 利用旋转的性质证明
题型五 利用旋转的性质求解
题型六 判断旋转对称图形
题型七 画旋转对称图形
题型八 求绕某点旋转后的坐标
题型九 旋转中的规律探究题
题型十 旋转中的最值探究
【知识梳理】
【经典例题一 生活中的旋转现象】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编
号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢
运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D． 分钟
【答案】C
【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
【详解】解： （分钟）．
所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点．
故选C．
【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例
是解答本题的关键．2．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图
形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1
个单位；③先绕着点O旋转 ，再向右平移一个单位；④绕着 的中点旋转 即可．其中能得到图
（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图
（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点 旋转 ，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着 的中点旋转 即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的
关键．
3．（2022秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”．
【答案】 ○ △
【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答．
【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”；
开此窗户是平移，故后面画“△”，
故答案为：○，△．
【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键．
4．（2023·全国·九年级假期作业）如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过
变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
【答案】 轴对称 旋转 平移
【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【详解】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了
变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为轴对称；旋转；平移.
【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置
发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的
交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合．
5．（2023秋·全国·九年级随堂练习）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转
角．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的性质举例．
【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如：
汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角；
钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角；
荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角．
【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键．
【经典例题二 判断一个图形旋转而成的图案】
1．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在 的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边
形通过 次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为 （
为整数），则 的值（ ）A．可以为 ，不可以为
B．可以为 ，不可以为
C．可以为 ， ，不可以为
D． ， ， 均可
【答案】D
【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1；
当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四
边形，此时k=2；
当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形
绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB
的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将 DCF沿某一直线平移可以得到 ABG；②将 ABG沿某一
直线对称可以得到 ADE；③将 ADE绕某一点△旋转可以得到 DCF．其中正确△的是（ ）△
△ △ △
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】由正方形的性质和已知条件可以得到△ADE≌△DCF、△ADE≌△ABG、△ABG≌△DCF，然后根据图
形变换的知识可以对各选项的正误作出判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°，
又∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，
∴将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG，故①正确；
将△ABG绕点A旋转可以得到△ADE，故②错误；
将△ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到△DCF，故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关
键所在．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个
三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形
成的，说法正确的有 ；（填序号）
【答案】（2），（3），（4）
【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成
的；或由一个三角形先平移再旋转形成的．
故(2)、(3)、(4)正确，
故答案为：(2)、(3)、(4) ．
【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平南直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图
形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 得到 过程 ．【答案】将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由 得到 的过程．
【详解】解：将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度得到 ，
故答案为：将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对
应点连线的长度．
5．（2023春·山西运城·八年级统考期中）四边形 若满足两组对角互补，即 ，
，则我们称该四边形为“对角互补四边形”
(1)【思路点拨】
如图1，四边形 为对角互补四边形， ， ．
求证： 平分 ．
小云同学是这么做的：延长 至 ，使得 ，连 ，可证明 ，得到 是等
腰直角三角形，由此证明出 平分 ．
①还可以知道 、 、 三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述 如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形 为对角互补四边形，且满足 ， ，请你仿照小云的做法，证明：
平分 ；
② ；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足 ， ，则 、 、 三者数量关
系为：_________．
【答案】(1)① ；② 绕点A逆时针旋转 得到
(2)①见解析；②见解析；(3)
【分析】（1）①由题意可得 ， ， ，即可得 ；
②根据旋转的定义可得出答案；
（2）①延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，可确定 是等边三角
形，在求出 ，即可证明；
②由①直接可证明；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，结合已知可求 ，
过点 作 交于点 ，则有 ， ，再由 即
可求解．
【详解】（1）解：① ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
②∵ ，
∴ 绕点A逆时针旋转 得到 ．
（2）解：①延长 至 ，使 ，连接 ，如图2，
四边形 为对角互补四边形，，
，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分 ；
② ， ，
，
；
（3）解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图3，
四边形 为对角互补四边形，
，
，
，
，
， ，
，
，，
，
过点 作 交于点 ，
为 的中点，
，
在 中， ，
，
，
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰
当的构造辅助线是解题的关键．
【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】
1．（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含 角的直角三角板按图1的方式放置，已知
，固定三角板 ，然后将三角板 绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，
与 分别交于点D、E， 与 交于点F．当 ，旋转角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得 ，根据直角三角形性质和对顶角相等得 ，求出 即可．
【详解】解：由题意得到， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以 ，
即旋转角是 ．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和
定理、直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在直角坐标系中，线段 是将 绕着点 逆时针旋转
一定角度后得到的 的一部分，则点 的对应点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 求得旋转角为 ，进而画出点 ，根据坐标系即可求解．
【详解】解：如图所示，连接∵ ， ，
∴
∴ ，
根据题意，画出 绕点 ，逆时针旋转 的点
根据坐标系可得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，勾股定理的逆定理求角度，画旋转图形，熟练掌握旋转的性质，
求得旋转角是解题的关键．
3．（2023秋·重庆·九年级校联考阶段练习）一副三角板按图1的形式摆放，把含 角的三角板固定，含
角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 ．在旋转过程中，当两块三角板
有两边平行时， 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】分情况画出图形，利用平行线的性质和直角三角形的特征分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当 时， ；②如图2，当 时， ，
∴ ；
③如图3．当 时， ，
∴ ．
④当 时，旋转角大于 ，不符合题意．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此考查了图形的旋转、平行线的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
4．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图所示，将一个含 角的直角三角板 绕点 旋转，使得
点 ， ， 在同一条直线上，则三角板 旋转的角度是 ．【答案】 /150度
【分析】由旋转的性质可知旋转角为 ，由平角的性质即可求出最后结果．
【详解】解： 将一个含 角的直角三角板 绕点 旋转，使得点 ， ， 在同一条直线上，
旋转角为 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
5．（2023春·福建宁德·八年级统考期中） 在平面直角坐标系 中的位置如图所示．
(1)将 向下平移5个单位再向左平移1个单位得到 ，作出平移后的 ．
(2)将 绕点O顺时针旋转 得到 ，作出旋转后的 ．
(3) 可由 旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
(4)将点 绕原点O逆时针旋转 ，则点P旋转后对应点 的坐标为 ．（用含m的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)【分析】（1）作出 向下平移5个单位再向左平移1个单位后三个顶点的对应点 、 、 的位置，
然后顺次连接这三个顶点，则 为所求作的三角形；
（2）作出 绕点O顺时针旋转 后的对应点 、 、 的位置，然后顺次连接这三个顶点，则
为所求作的三角形；
（3）根据成旋转对称的性质，进行求解即可；
（4）根据成旋转对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；
（3）∵连接 、 ， 、 、 、 ，如图所示：∵ ， ， ，
∴ 绕点P顺时针旋转 可以得到 ，
∴旋转中心是 ．
故答案为： ．
（4）如图， 在第一象限时， 为其绕点 逆时针旋转 的对应点，
过点 作 轴，过点 作 轴，则： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理，当点 在 轴和第二象限时， ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握旋转的性质和平移的性质，是解题的关键．
【经典例题四 利用旋转的性质证明】
1．（2023秋·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图， 为等边三角形，以 为边向外作
，使 ，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E
三点共线；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①设 度，则 度， 度，然后求和，即可证明D、A、E三点共
线；②根据 绕着点C按顺时针方向旋转 得到 ，判断出 为等边三角形，求出
， ，可知 平分 ；③由②可知， ， ，从而
得到 ．④由旋转可知 ，再由等边三角形的性质及等量代换即可判断．
【详解】解：如图，设 度，则 度， 度，故 度，
∴ 度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵ 绕着点C按顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；故②正确；
③∵ ， ，
∴ ．故③正确；
④由旋转可知 ，
又∵ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的
不变量．
2．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）如图，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点
A的对应点D恰好落在边 上，点B的对应点为E，连接 ，则下列结论正确的是（ ）① ②
③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】由全等三角形的判定可判断①，由旋转的性质及等腰三角形的性质可判断②③④．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转得到 ，
， ， ， ， ，故①②正确；
， ，
， ，
，故③正确；
将 绕点 顺时针旋转得到 ，
，
，
由于 与 不一定相等，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计
算求出角的度数是关键．
3．（2023秋·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在 中， ， ，将 绕
点A顺时针旋转 ，直线 与直线 交于点 ，点 ， 间的距离记为 ，点 ， 间
的距离记为 ．给出下面四个结论：① 的值一直变大；② 的值先变小再变大；③当
时， 的值一直变小；④当 时， 的值保持不变．上述结论中，所有正确结论
的序号是 ．【答案】①②④
【分析】如图，由旋转可知， 增大过程中， 的值一直变大； 的值先变小再变大；故①②正确；当
时，连接 ,由旋转知， ，可推知 ，得 ．于是
，为定值．故③正确；
【详解】解：如图，由旋转可知，随着 增大，点 由点 开始（不含点 ），在 的延长线上运动，
逐渐远离点 ，故 的值一直变大；故①正确；
如下图，当 时，直线 与线段 相交于点F，随着 增大，点E逐渐向点F接近,即 逐渐
变小，当 时，点 重合，即 ，
当 时，随着 的增大，点E开始远离点F， 逐渐增大；
故 的值先变小再变大，故②正确；
当 时，连接 ，
由旋转知， ，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ，为定值．故④正确③错误；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查图形旋转，等腰三角形的性质和判定；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
4．（2023秋·湖北咸宁·九年级咸宁市温泉中学校考阶段练习）如图，已知 中， ，
，直角 的顶点 是 中点，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ，当 在
内绕顶点 旋转时（点 不与 ， 重合），给出以下四个结论：① ② 是等腰直角
三角形③ ④ 正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等 ， ，根
据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】解：如图，
， ，
是等腰直角三角形，
， 是 中点，，
、 都是 的余角，
，
在 与 中，
，
，
同理可证 ，
①由 得到 ，故①正确；
②由 得到 ，
是直角，
是等腰直角三角形，故②正确；
③由 得到 ，
则 ，
故③正确；
④ ， ，
， ，
， ④错误；
正确结论为①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考
查学生的推理能力．
5．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）（1）如图1，在 中， ， ，点D，E
在 边上且不与点B，C重合， ，猜想 之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在 中， ， ，点D，E在 边上且不与点B，C重合，
， ，猜想 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）将 绕点A顺时针旋转90°后得 ，连接 ，先证明 再证明
即可得到 ，再在 中利用勾股定理得到 ，最后等量代换得
到 ；
（2）将 绕点A顺时针旋转120°后得 ，连接 ，证明 得到 ，再在
中利用勾股定理得到 ，最后等量代换得到 ．
【详解】解：（1） ．
理由：如图，将 绕点A顺时针旋转90°后得 ，连接 ．
在 中， ， ，
，
由旋转的性质可知， ，
， ，
．
（旋转角），又 ，
故 ．
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得即 ．
（2） ．
理由：如图2，将 绕点A顺时针旋转120°后得 ，连接 ．
在 中， ， ，
，
由旋转的性质可知， ，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的“半角旋转”模型，熟练利用模型构造全等是解
题的关键．
【经典例题五 利用旋转的性质求解】
1．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点
D为 的中点，点P在 上，且 ，将 绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接 ，
．当 时， 的长为（ ）A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得点Q在 上，再分两种情况：当点Q在 上时，当点Q在
的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解： ∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴点Q、C、D在一条直线上，
如图，当点Q在 上时，
由旋转的性质可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
如图，当点Q在 的延长线上时，在 中， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判
定与性质得出点Q、C、D在一条直线上是解题的关键．
2．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 将 绕
点C顺时针旋转 得到 ，则线段 的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 的上方作 ，且使 ，连接 ， ．设 ，则
，根据 证明 得出 ， ，得出
，即可推出结论．
【详解】解：如图，在 的上方作 ，且使 ，连接 ， ．
设 ，则 ，，
∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ，
， ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ．
，
，
，
的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 中， ， ，现将 绕
点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】根据旋转的性质得出 ， ， ，进而可得 是等腰直角三角
形，得出 ，勾股定理的逆定理证明 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵现将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，将
绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段 中点，点P是线段 上的动点，将
绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点 ．
（1）如图，线段 ；
（2）则线段 的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据直角三角形的性质和勾股定理即可得；（2）当 在 上运动至垂足点 ， 绕点 旋转，点 的对应点 在线段 上时， 最小；当
三点共线，点 运动到点 时， 最大．
【详解】解：（1）如图，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，
是等腰直角三角形， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
，
故答案为： ；
（2） 点 为线段 中点，
，
由旋转的性质得： ，
，
则当 三点共线，且 在 上运动至垂足点 时， 的值最小，最小值为，
又 ， ，
当 三点共线，且 运动到点 时， 的值最大，最大值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形
的性质、三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分别是斜边
， 的中点， ．
(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即
可求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据旋转的性质求得 ，进而得出
，进而可得 ，勾股定理解 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ， ，
当 在 的延长线上时， 的距离最大，最大值为 ，当 在线段 上时， 的距离最小，最小值为 ；
；
（2）解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ 绕顶点 逆时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角
三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．【经典例题六 判断旋转对称图形】
1、（2023·江苏·八年级假期作业）如图点 为正方形 对角线的交点，则将 绕点 旋转得到
，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋
转
【答案】D
【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°， OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到
△DOA，旋转角为90°，据此可得答案．
【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA，
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问
题的关键．
2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）下列正确的叙述是（ ）
A．中心对称图形由两个图形组成
B．圆的对称轴有无数条，就是它的直径
C．正五边形的旋转角只有是
D．正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形
【答案】D
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫
做轴对称图形；把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，
旋转的角度叫旋转角（ 旋转角 ），根据中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的定义逐一
进行分析，即可得到答案．
【详解】解：A、中心对称图形由一个图形组成，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B、圆的对称轴有无数条，过圆心的直线是圆的对称轴，原说法错误，不符合题意，选项错误；
C、正五边形的旋转角有 、 、 、 ，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D、正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形，原说法正确，符合题意，选项正
确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度
后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的
一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转 或 后，能与自身重合，所以正方形是旋
转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个
数有 个；
【答案】 B （1）（3）（5） 2
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答；
（2）分别求出各图形的旋转角即可解答；
（3）根据旋转对称图形的定义判断即可．
【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．
（2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，
120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为
°， °， °， °， °；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是 ．
故答案为： ．
（3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对
称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定
角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转
对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题：
（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______；
（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列
要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请
你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作
法）．
【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；（2）见解析
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义解答即可；
（2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可．【详解】解：(1) 正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
故答案为：正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
(2)如图所示：
【点睛】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题
的关键．
【经典例题七 画旋转对称图形】
1、（2023·福建·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 位于第二象限，点 的坐标是
，先把 向右平移3个单位长度得到 ，再把 绕点 顺时针旋转 得到 ，
则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图：观察图象可知：A（4，2）；
2
故选：D.
【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．
2、（2023·山东青岛·统考三模）如图，四边形ABCD的顶点坐标A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（﹣1，
3）、D（﹣5，3）．若四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位，得到四边形
A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（4，3） C．（2，5） D．（4，5）
【答案】A
【详解】旋转、平移后四边形 如图所示,
A'的坐标为 ,故选A.
3．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，每个小方格的边长为1
个单位长度.正方形 顶点都在格点上，其中点 的坐标为 .
（1）若将正方形 绕点 顺时针方向旋转 ，点 到达点 ，点 到达点 ，点 到达点 ，此
时 的坐标是 ；
（2）若线段 的长度与点 的横坐标的差恰好是一元二次方程 的一个根，线段
， 的值为 .
【答案】 ； ；
【分析】（1）根据网格特点和旋转的性质即可确定 的坐标；（2）先利用勾股定理求出 的长度，再与点 的横坐标作差后代入一元二次方程求解关于a的一元一次
方程即可．
【详解】解：（1）如图：正方形 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
则 的坐标为
（2）由根据勾股定理， ，
∴线段 的长度与点 的横坐标的差是 ，
∴ 整理，
∴ ,解得 ．
【点睛】本题主要考查了利用旋转作图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的解等知识点，根据平
面直角坐标系找出点的坐标是解答本题的关键．
4．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 ，
， ，请按要求完成下列任务．任务一：将 向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到 ，画出 ，并写出 的坐标；
任务二：将 绕点B旋转 ，得到 ，画出 ，并写出 的坐标；
任务三：在x轴上求作一点P，使 的值最小，并求出点P的坐标及 的最小值．
【答案】任务一：图见解析， ；任务二：图见解析， ；任务三：
【分析】任务一：根据平移的性质作出图形，再由点 的位置写出坐标即可；
任务二：延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，再连接 ；根据 位置写出坐标即
可；
任务三：连接 交x轴于P，再利用待定系数法求出直线 的表达式，根据求一次函数图象与x轴的
交点坐标即可得点P坐标，利用勾股定理求出线段 的长，根据两点间线段最短即可得出答案．
【详解】解：任务一、二：如图所示， 和 即为所作； ， ．
任务三：如图，连接 ，交x轴于点P，此时 的值最小．设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
当 时，
．
由勾股定理可得 的最小值为 ．
【点睛】本题考查平移作图，中心对称作图，点的坐标，线段最短，勾股定理，熟练掌握平移与中心对称
作图，线段最短和勾股定理是解题的关键．
【经典例题八 求绕某点旋转后的坐标】
1、（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为
，连接 ，若将 绕点B顺时针旋转90°，得到 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 轴于点C，由旋转的性质可得 ， ，进而求解．
【详解】解：过 作 轴于点C，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常用方法．
2．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A点的坐标是 ，B点的坐
标是 ， 由 绕点A顺时针旋转 而得，则C点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作 轴于点H，则 ，由A点的坐标是 ，B点的坐标是 得到
，证明 ，得到 ，则 ，即
可得到C点的坐标．
【详解】解：过点C作 轴于点H，则 ，
∵A点的坐标是 ，B点的坐标是 ，
∴ ，
∵AC由AB绕点A顺时针旋转 而得，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标是 ，
故选：D
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识，添加辅助线证明
是解题的关键．3．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，将线段
绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过 作 轴于点 ，通过证得 ，得出 ， ，可
得点 的坐标，
【详解】解：过 作 轴于点 ，如图：
，
，
，
，
， ，
，
， ，
点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
4．（2023·全国·九年级假期作业）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平
面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点C的坐标为 ．
(1)写出A、B两点的坐标；
(2)画出 绕点C旋转 后得到的 ．
(3)直接写出 的面积______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出A、B两点的坐标；
（2）旋转 也即是中心对称，找到A、B、C三点关于C的中心对称点，顺次连接即可；
（3）利用割补法求 的面积即可．【详解】（1）解：由题意得： ；
（2）解： 如图所示：
（3）解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了旋转作图，中心对称的知识以及割补法求三角形面积，解答本题的关键是根据旋转的
三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．
【经典例题九 旋转中的规律探究题】
1、（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形 为正方形，点A的坐标为 ，将正方形绕点
O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】点C旋转 回到原位置，即旋转 次回到原位置．故第2023次旋转结束时，点C所到位置的
坐标与第 次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同．据此即可求解．
【详解】解：∵正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°
∴正方形绕点O逆时针旋转 次回到原位置
∵
∴第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第 次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同
如图： 绕点O逆时针60°得到 ，作
∵
∴
∵点A的坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
即点
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与旋转规律问题．根据题意确定第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第 次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同，是解题关键．
2．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图， 为等腰三角形， ，顶点 的坐标 ，
底边 在 轴上，①将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度后得 ，点 的对应点 在 轴上；
②将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度后得 ，点 的对应点 在 轴上，则点 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据点 的坐标求出 ， 的
长度，再利用勾股定理求出 的长度，根据旋转的性质可得 ， ，由等腰三
角形的面积，可以算出 的长度，再利用勾股定理求出 的长度，进而得到点 与 的坐标，又根据
旋转可知，点 与 关于直线 是对称的，进而求出点 的坐标．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，由旋转可知： ， ， ，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
将 绕点 按顺时针方向得到 ，
≌ ，
与 关于直线 是对称的，
点 与 关于直线 是对称的，
点 的横坐标为： ，
点 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，作辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图， 是正三角形，点A在第一象限，点 、 ．将
线段 绕点C按顺时针方向旋转 至 ；将线段 绕点B按顺时针方向旋转 至 ；将线段绕点A按顺时针方向旋转 至 ；将线段 绕点C按顺时针方向旋转 至 ；……以此类推，
则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点 在射线 的延长线上，点 在x轴
的正半轴上，然后利用旋转的性质得到 ，最后利用勾股定理和含 角直角三角形的性质求解即
可．
【详解】如图所示，
由图象可得，点 ， 在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵∴点 在射线 的延长线上，
∴点 在x轴的正半轴上，
∵ ， 是正三角形，
∴由旋转的性质可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴同理可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴由旋转的性质可得， ，
∴如图所示，过点 作 轴于点E，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转
中心的距离长度是关键．
4．（2023春·安徽·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，
在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为 ．
观察应用：
(1)如图，若点 、 的对称中心是点A，则点A的坐标为： ．(2)在（1）的基础上另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循
环对称跳动，即第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处，第三次再
跳到点 关于点 的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， ，则 、 的坐标分别
为： 、 ．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】（1）设 ，利用题中公式分别计算出 和 的值即可；
（2）利用中心对称的性质画图可得到点 、 ，从而得到它们的坐标．
【详解】（1）设 ，
点 、 的对称中心是点 ，
， ，
点坐标为 ，
故答案为： ；
（2）点 、 的坐标分别为 ， ．故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．
【经典例题十 旋转中的最值探究】
1、（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）如图，点E是边长为4的正方形 内部
一点， ，将 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 得到 ，则点E在以 为直径的圆上，取 中点G，当 过点
G时， 有最小值，由旋转的性质得到 ，则此时 也取最小值，即可解答．【详解】解：在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
取 中点G，连接 ，当 过点G时， 有最小值，
又∵ 按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴此时 也取最小值，
∵ ， 为 的半径，即 ，
∴此时 ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得
到点的轨迹．
2、（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于
两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由点 的运动确定 的运动轨迹是与 轴垂直的一段线段 ，当线段 与 垂直时，线段
的值最小；
【详解】解：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段 上；如图：
两点是直线 与坐标轴的交点
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
，所在的直线为：
的最小值为点 到 的距离：
故选：B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点 的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，连接 ，
将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ，通过 证明 ，
得 ，再求出 的长．最后在 中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】如图，连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ，
∵将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，且当点G，P，E三点共线时取等号，∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构
造出全等三角形是解题的关键．
4．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种
基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之
间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1， 是边长为1的等边三角形，P为 内部一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为
折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，记 与 交于点 ，易
知 ．由 ，可知 为正三角形，
有 ．
故 ．因此，当 共线时， 有最小值是 ．
学以致用：
(1)如图3，在 中， 为 内部一点，连接 ，则
的最小值是________．(2)如图4，在 中， 为 内部一点，连接 ，求
的最小值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，易知 是等边三角形， ，转化
为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，易知 是等腰直角三角形， ，作
交 的延长线于 ．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求
最小值（化折为直）．
【详解】（1）解：如图3中，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
在 中， ，
，
，
的最小值为5．
故答案为5．
（2）如图4中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
作 交 的延长线于 ．
在 中， ， ，
，
在 中，
，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时
的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
【重难点训练】
1．（2023春·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形 中，对角线 与
相交于点 ，以点 为坐标原点，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形是中心对称图形的特点可知，点 关于原点 对称，即可获得答案．【详解】解：∵ 的对角线 与 相交于坐标原点 ，
∴点 关于原点 对称，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形以及中心对称的性质，解题关键是根据平行四边
形的性质得到点 关于原点 对称．
2．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，原点O为 的对称中心，
轴，与y轴交于点 ， 与x轴交于 ， ．若将 绕原点O顺时针旋
转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，利用中心对称的性质确定
的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到 ，再根据 确定点 的坐
标，由旋转的周期性确定 绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与 位置重合，从而确定点
与点 重合， 即可得到点 的对应点的坐标．
【详解】连接 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，∵原点 为 的对称中心，
∴点 与点 关于点 对称，
∵点 ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，点
∴ ，
即点 ，点
∵ 绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴ ，
，
即 绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与 位置重合，此时点 与点 重合，
∴点A的对应点的坐标为 ．
故选A．
【点睛】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题，能准确确定点 的坐
标及在第502次旋转结束时 所在的位置是解决本题的关键．
3．（2023·河北沧州·统考二模）如图由 个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，
的三个顶点 ， ， 均在格点上， 是 与网格线的交点，将 绕着点 顺时针旋转 ．
以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】C
【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．
【详解】如图，取格点 ，连接 ， ，取格点E，F．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合．
同理可证：点B与点 关于点O对称，
∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，
故嘉嘉说法正确；
由中心对称的性质得 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，
故淇淇说法正确．
故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是等腰三角形 的底边中线， 与
关于点 中心对称，连接 ，则 的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据 与 关于点 中心对
称，可得 ，再根据勾股定理可得 的长．
【详解】解：∵ 是等腰三角形 的底边中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于点 中心对称，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的
关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cm
D．若 ，则四边形 是轴对称图形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理判断各个选项即可．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
对角线 与 交于点 ，点 是 的中点，
是 的中位线，
，
选项结论正确，不符合题意；
平行四边形都是中心对称图形，
∴四边形 是中心对称图形，
选项结论正确，不符合题意；
的周长为 ， 是 的中位线，
的周长等于 ，
选项结论错误，符合题意；
若 ，则四边形 是矩形，矩形是轴对称图形，
选项结论正确，不符合题意；故选： ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质及三角
形中位线定理是解题的关键．
6．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为 ，直线EF经过正方形的中
心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接
AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG
为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为 ，AC是正方形的对角线，
∴BD= ，
∵直线EF经过正方形的中心O，
∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，
∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，
∴ ，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，
∴MH=BH= ，AH= ，
由勾股定理可得MA= ，
∵AG≥AM-MG= ，
当A，M，G三点共线时，AG最小= ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键
是求出AM，MG的值．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个
单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A
的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点
C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点
E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵ ，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得： ，
解得： ，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S ABE﹣S ACE＝ ×12×8﹣ ×12×6＝12，
△ △
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，
得到 的坐标是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐
标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
【答案】C
【详解】M点与A点关于原点对称，A点与N点关于x轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M点
与A点的横、纵坐标都互为相反数，N点与A点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M（－1，－
3），N（1，－3）．
9．（2022秋·广东惠州·九年级统考竞赛）如图所示，已知抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称．如果
抛物线 的解析式为 ，那么抛物线 的解析式为 ．【答案】
【分析】根据抛物线 的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线
的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【详解】解：抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的开口向上，顶点坐标为 ，
∵抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称，
∴抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的
基本性质是解题关键．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
【答案】【分析】先根据关于原点对称点的坐标特征“横纵坐标互相相反数”，求出 ，再根据平移的坐标
变换规律“上加下减，左减右加”求得 ．
【详解】解：∵点A关于原点的对称点 ， ，
∴ ，
∵将点 向上平移3个单位，得到点 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——中心对称和平移，正确求出点 的坐标是解题的关键．
11．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形
又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M的坐标为 ，
点N的坐标为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，求出两点
的坐标，再计算即可．
【详解】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，
因为点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
所以 ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题关键是明确关于x轴成轴对称的点，横坐标不变，关于坐标
原点O成中心对称的点，横坐标互为相反数．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，菱形 的对角线交于原点O，若点A的坐标为
，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，则边 ．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得到 ，点D的坐标为 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形 是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴ ，
∵点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，
又
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关
键．
13．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为 ， ，现平移直线l： ，使平移后的直线将
这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积
相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再
根据一次函数平移的特点结合待定系数法可求平移后直线的函数解析式．
【详解】解：如图，∵点A，B的坐标分别为 ， ，
∴C的坐标为 ．
∵平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，
∴平移后的直线经过点C．
设平移后的直线的函数解析式为 ，依题意有，
∴ ，
解得 ，
∴平移后的直线的函数解析式为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，一次函数图象的平移．熟知过中心对称图
形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 与点 关
于原点 对称，将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
(1) 的面积等于 ．
(2)设 ，点 是第一象限内的虚线格点，如果 是以 为腰的等腰三角形，那么点 的坐标
是 ．
【答案】 ； 或 或 ．
【分析】（1）由平移得 ，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分 和 求解即可．
【详解】（1）如图：
点 与点 关于原点 对称， ，∴点 ，
将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
点 ，
，
的面积 ，
故答案为： ；
（2）如图：
当 时，以 为圆心， 为半径作圆，可得点 ；
当 时，以 为圆心， 为半径作圆，可得点 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平移变换以及三角形面积求法，等腰三角形的定义，
解题的关键是利用分类讨论思想．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B
的位置如图，它们的坐标分别是 ， 和 ．图1 图2
(1)在图1中添加一颗棋子C，画出以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形，使其是轴对称图形，但不是
中心对称图形；
(2)在图2中添加一颗棋子P，画出以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不
是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标．
【答案】(1) ；（答案不唯一），图见解析
(2) （答案不唯一），图见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的特点作出图形，即可确定点C；
（2）根据中心对称图形的特点作出图形，即可确定点P．
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；
∴ ；（答案不唯一）
（2）如图所示点P即为所求，∴ （答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查轴对称图形及中心对称图形的特点，熟练掌握二者的定义是解题关键．
16．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度
的正方形，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问
题：
(1)画出 关于点P成中心对称的 ，点 的坐标为______．
(2)画出 绕点P逆时针方向旋转 后所得到的 ，点 的坐标为______．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】（1）利用网格的特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对称点 、 、 ，则可得到，然后写出点 的坐标即可；
（2）利用网格的特点和旋转的性质画出点A、B、C的对称点 、 、 ，则可得到 ，然后写出
点 的坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、坐标轴上点的特征，熟练掌握中心对称的定义和旋转
的性质是解题的关键．17．（2023秋·四川广元·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．
(1)求 的面积；
(2)在图中画出 绕点C逆时针旋转 得到的 并写出点A的对应点 的坐标．
(3)在图中画出 关于原点O中心对称的 的图形．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
(3)画图见解析
【分析】（1）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（2）分别确定A，B，C绕C点顺时针旋转 的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；再根据 的位置
可得其坐标；
（3）分别确定A，B，C关于原点成中心对称的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图， 即为所画的三角形，
根据 的位置可得： ；
（3）如图， 即为所画的三角形．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，画旋转图形，画关于原点成中心对称的图形，熟记旋转的性质
并运用于作图是解本题的关键．
18．（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
， ， ．
(1)将 经过平移得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出 ，直接写出 ， 的
坐标 （______，______）， （______，______）；
(2)画出与 关于原点 成中心对称的 ；(3)若 与 是中心对称图形．则对称中心的坐标为（______，______）．
【答案】(1) ， ， ， ；图见解析
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）由 的坐标可知， 是向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到 ，
即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）由图可得 与 的对称中心为点 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
故答案为： ； ； ； ．
（2）如图， 即为所求．
（3）由图可得， 与 的对称中心为点 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查作图 平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．19．（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 在
网格中的位置如图所示， 的三个顶点都在格点上．将点 的横坐标和纵坐标都乘 ，分别得
到点 ．
(1)写出 三个顶点的坐标 （____，____）， （____，____）， （____，___）；
(2)若 与 关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出 ；
(3)若以点 为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)3， ； ， ； ，
(2)见解析
(3) ， ，
【分析】（1）横、纵坐标乘以 变为原来的相反数，再根据网格结构找出对应点的位置，然后顺次连接
即可；
（2）先作出 关于y轴的对称点 ，然后顺次连接即可；
（3）根据全等三角形对应边相等，分 和 两种情况讨论求解．
【详解】（1）解： 三点坐标分别为 ， ， ，
将点 的横坐标和纵坐标都乘以 ，分别得到点 ，则 、 、 ；
故答案为：3， ； ， ； ， ；（2）解：如图：先作 三点关于y轴的对称点 ，
则 、 、 ；
然后连接 ，则 为所求；
（3）解：①当 时， 或 ；
②当 时， ．
【点睛】本题主要考查作图——对称变换，解题的关键是掌握轴对称、中心对称变换的定义和性质及全等
三角形的判定．
20．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形
的顶点坐标分别为 ， ， ， ．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图
（保留作图痕迹）．(1)将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
(2)作 的角平分线 ；
(3)作线段 关于四边形 的中心点对称的线段 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点 的对称点 即可；
（2）利用网格的特点作出 的中点 ，连接 ，则射线 即为所求；
（3）连接 ， ，线段 和 相交于点 ，分别画出点 和点 关于点 的中心对称点 和点 ，
则线段 即为所求．
【详解】（1）如图1所示，线段 即为所求．
（2）如图2所示，连接 ，利用网格的特点作出 的中点 ，连接 ，则射线 即为所求．
（3）连接 ， ，线段 和 相交于点 ，分别画出点 和点 关于点 的中心对称点 和点 ，
则线段 即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了轴对称变换．
15．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类
的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上，
，连接 ，试猜想 之间的数量关系
(1)思路梳理：
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，
即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ，试猜想
之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且 ．若
，直接写出 和 的长．【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3) ，
【分析】（1）先根据旋转得： ，计算 ，即点 、 、 共线，再根据
证明 ，得 ，可得结论 ；
（2）作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，所以
；
（3）同理作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，先
由勾股定理求 的长，证明 ，求出 ， ，继而得到 ，过A作 ，垂
足为 ，根据等腰直角三角形的性质求出 ，可得 ，利用勾股定理可得 ．
【详解】（1）解：如图1，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，即 ，
由旋转得： ， ， ， ，
，
即点 、 、 共线，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故答案为： ， ；（2）如图2， ，理由是：
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，则 在 上，
由旋转得： ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）如图3，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，连接 ， ，
由旋转得： ， ， ，
， ，
，，
，
， ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可
达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而
解决问题．
