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专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何
变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是
解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有
了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量
关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊
平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿
翻折得到 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．3
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ， 是 上一个动
点， 是 上一点 点 不与点 重合 ．连接 ，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在边
上，连接 ，若 ，则 的面积为( )
A． B． C． D．
例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形 沿着对角线 翻折，点C落在点
处， 与 相交于点E，若 ， ，求 的长．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形 中， ， ， 为 上一点，将
沿 翻折至 ， ， 与 分别相交于点 ， ，且 ．则 的长为（ ）A． B． C． D．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，将矩形折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点O为矩形
的对称中心，点E为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折，
得到四边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P，Q分别为
AB，AD上的动点，将 沿 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线， 时， ．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、
翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ；
(2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长；
(3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在
对角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是
AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A． B． C． D．2例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落
在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片 中， ，P为 中点．折叠该纸
片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交
点，过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片
分别沿 ， 所在直线进行折叠，使得菱形的两边 ， 重合于 ．若此时 ，
则 ．3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻
折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4 ＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD
的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形 中， ，将其沿 翻折，使
，顶点 恰好落在线段 上的点 处，点 的对应点为点 ．则线段 的长为 ．例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形 沿着 、 翻折，点 、 的对应点分别是点
、 ，若 ，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形 中， ，点 是边
上一点（点 不与 重合），将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长．(2)如图3，连接 分别交 于点 ，
点 ，连接 并延长交 于点 ，当 为 中点时，试判断 与 的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段 上取一点 ，且使 ，连接 ，则在点 从点 运动到点 的过程中，
的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使
点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形 的边长为6，点 是 上的一点，连接
并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处， 的延长线交 于点 ，
当 时，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且
CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把 沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列
结论：①AE=BF；②AD=3DF；③ ；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ，将边 沿 折叠得到
交 于点 ，当 为 中点时， 的大小为（ ）A． B． C． D．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片 按如图所示的方式折叠， 、 为折
痕， ， ，折叠后，点C落在AD边上的 处，并且点B落在 边上的 处．则BC的
长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形 沿 折叠，点B的对应点为F，若E、F、
D刚好在同一直线上，设 ， ， ，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片 中，边 ， ，将矩形片 沿 折
叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形 是菱形；②
的长是1.5；③ 的长为 ；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重
叠的四边形EFGH， cm， cm，则边AB的长度等于 ．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一
点，将矩形沿 向上翻折，点 落在点 处，点 落在点 处， 与 交于点 ，设 的长为 ．
（1）当点 与点A重合时， 的长为 ；（2）当 时， 的取值范围是 ．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片 ， ， 、 分别是边 、 的
中点，把 边向上翻折，使点 恰好落在 上的 点处， 为折痕，且 交 于点 ，则
的面积为 ．11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，连接
并延长交射线 于点 ，将 沿直线 翻折到 延长 与直线 交于点 ，则 的
长为 ．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，M为 的三等分
点（ ），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿 方向运动的动点，点N运动t秒后
沿 所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边 上，则t的值为 ．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，将 沿
翻折，使得点D落在 边上 处，则（1） 的长是 ；（2）折痕 的长是 ．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使
点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形 边长为6，点 为 边的中点，连接 ，
将 沿 翻折得到 ，延长 交 于点 ，则 长为 ．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，E为 边上一点，
将 沿 翻折，点B落在点F处．当 为直角三角形时， ．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形 中， 为 上一点，连接 、
，将四边形 沿 翻折，使点 恰好落在 上的 处，若 ，则 的长为 ．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图， 中，已知 ， 于 ，
， ，把 、 分别以 、 为对称轴翻折变换， 点的对称点为 ， ，延长
、 相交于 点．（1）求证：四边形 是正方形；（2）求 的长．19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活
动．
(1)操作与证明：①小李将矩形 沿 折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若 ，则
__________；②小张将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：
是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接 ，如图3所示，若 ，
，求 的长．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点 在正方形 的 边上（不与点 重合），
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．(1)求证： ．(2)过点 作 交射线 于点 ．①求 的度数；②直接写出线段
与 之间的数量关系．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中， 为 边上一点， 为 边上一点，连接 ，分别将 和 沿
翻折， 的对应点分别为 ，且 三点共线．
观察发现：（1）如图1，若 为 边的中点， ，点 与点 重合，则 __________
， __________．问题探究：（2）如图2，若 ，求 的长．
拓展延伸：（3） ，若 为 的三等分点，请直接写出 的长．
