文档内容
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2023届高三第一次联考理科数学试题
命题人：新建二中 边群根 审题人：新建二中 邓国平
考试时间：120分钟 分值:150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A={x∈R|lgx≤1},B={x∈R|x<1},U=R,则 A∩(∁ B)=
R
A.{x|10,eˣ>x+1”的否定形式是 “∃x≤0,eˣ≤x+1”
B.若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.
C.两个非零向量ā,b,ā∥b是⃗a=⃗b的充分不必要条件
D.若xy≥0(x∈R,y∈R),则||x+y|+|x|+|y|≥2|x-y|
1 1 1
4.要计算S=1+ + +⋯+ 的结果，如图程序框图中的判断框内可以填( )
2 3 2023
A.n<2023 B.n≤2023 C.n>2023 D.n≥2023
ex−e−x
5.函数 f (x)= 的图像大致为( )
x2
6防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到 A、B，C三处核酸点参加志愿工作，
若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为( )
3 6 2 3
A. B. C. D.
25 25 5 5
7.设a,b∈R,数列aₙ 中, a =1,a =ba +a,n∈N∗,,则下列选项正确的是( )
1 n+1 n
A.当a=1,b=-1,时,则a₁₀=1 B.当a=2,b=1,时,则Sₙ =n²−2n
C.当a=0,b=2,时,则aₙ=2ⁿ D.当a=1,b≠2,时,则aₙ=2ⁿ−18.如图，已知抛物线E：y²=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为
M，其垂直平分线交 x 轴于点 C，MN⊥y 轴于点 N.若四边形 OCMN 的面积等于 8,则 E 的方程为( )
A.y2=2x B. y2=4x C.y2=4√3x D.
9已y知 2= 函8数xf (x)=2sin ( ωx+ π) (ω⟩0), 若方程f(x)=1在区间[0，2π]上恰有3个实根，则ω的取值范围是( )
6
[ 4) ( 4] (5 ] (4 3]
A. 1, B. 1, C. ,1 B. ,
3 3 6 3 2
x2 y2
10.已知双曲线 C: − =1(a⟩0,b>0) 的左焦点为F，右项点为A，点B在C的一条渐近线上，且FB⊥BO(点
a2 b2
O为坐标原点),直线FB与y轴交于点D.若AD∥OB,则双曲线C的离心率为( )
√5−1 √5+1
A. B. C.√5+1 D.√5−1
2 2
11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多
面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24,棱长为√2的半正多面体，它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的
动点，则下列结论不正确的是( )
A.存在点E、使得A、E、D、E四点共面;
B.存在点E,使DE⊥DF;
π
C.存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为 ;
3
3√5
D.存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值为
10
12.已知
a=e0.2−1,b=2(e0.1−1),c=sin0.1+tan0.1,
则( )
A.b>c>a B.a>c>b C. c>a>b D.a>b>c
二、填空题：本题共4小题，每小题5.分，.共·20分。
13.已知非零向量 ⃗a,⃗b满足 |⃗a|=2|⃗b|=2, 且 (a−⃗b)⊥b, 则向量b在向量a上的投影为 .
e2 1 ( 1 ) 6
14.已知 a=∫ dx, 则 ax+ 的展开式中x³项的系数是 .(用数字作答)
x √x
1
16.已知函数f(x)=lnx+ax²-(a+2)x(a<2),若f(x)存在极小值点m，则f(m)的最大值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必
15.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点都在球口的球面上，若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积为12，则球O的表面积的最小值是
须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
( 4cos2 B −3 ) sin A+(2cosA−1)sinB=0
2(1)证明:a+b=2c;
(2)求cosC的最小值.
18.2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的XX大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、
深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，
某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设 4.道选择题，规定必须
答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加
1
测试，他们答对每道题的概率都为 ,且每个人答题相互不受影响.
3
(l)求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；
(2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求ξ的数学期望与方差.
19.如图所示,四边形ABCD为菱形,PA=PD,二面角P-AD-C为直二面角,点E是棱AB的中点.
(1)求证:PE⊥AC;
√5
(2)若PA=AB,AC=4,当二面角P-AC-D的余弦值为 时，求直线PE与平面PAC所成的角正弦值.
5
x2 y2 ( √2)
20.已知椭圆C: + =1(a⟩b>0) 经过点A 1, , 点F(1,0)为椭圆C的右焦点.
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F(1，0)作两条斜率都存在且不为θ的互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆相交A₁、B₁直线b与椭
圆相交A₂、B₂两点，求四边形A₁A₂B₁B₂的面积S的最小值.21.已知函数f (x)=xeˣ−alnx−ax(a⟩0) (e是自然对数的底数)有两个零点.
(1)求实数a的取值范围：
e2
(2)若f(x)的两个零点分别为x₁,x₂,证明: x x > .
1 2 ex
1
+x
2
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。
{x=sinθ+cosθ
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，以坐标原点为极点轴正半轴为极
y=sin2θ
轴建立极坐标系，已知直线l方程为x−√3 y=2√3
(1)写出l的极坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)点A为曲线C上一动点，点B为直线l上一动点，求|AB|的最小值.
23.[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x-1|+|x+a|,g(x)=x+2.
(1)当a=1时,求不等式f(x)＜g（x）的解集
1 [ 1)
(2)设 a>− , 且当 x∈ −a, ,f (x)≤g(x), 求a的取值范围.
2 2
