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专题13 等腰三角形常见辅助线的作法（解析版）
类型一 作底边中线（连接顶角顶点与底边中点）
1．（2023秋•万州区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F是AB边上的中点，点
D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结
论：①△DEF是等腰直角三角形，②四边形CDFE保持面积不变，③DF的长度处于最小值时，CD
的长为4；④S△CDE ＝S△DEF ；其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①②③
【分析】连接CF，如图，根据等腰直角△ABC的性质得CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，则可根据
“SAS”判断△ADF≌△CEF，得到DF＝EF，∠3＝∠2，由∠3+∠CFD＝90°可得∠CFD+∠2＝90°，即
∠DFE＝90°，所以△DEF为等腰直角三角形，于是可对①进行判断；利用S△ADF ＝S△CEF 可得四边形
1
CDFE的面积＝S△ACF =
2
S△ABC ＝16，于是可对②进行判断；当FD⊥AC时，FD的长度最小，此求得
CD；
1 1
当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD= AC＝4，于是得到CD长度的最小值= AC＝4，所以③正
2 2
1 1
确；过 C 作CM⊥DE，过 F作FN⊥DE，根据三角形的面积公式得到 S△CDE =
2
DE•CM，S△DEF =
2
1 1
DE•FN，根据等腰直角三角形的性质得到FN=
2
DE，而CM不一定等于
2
DE，于是得到S△CDE 与S△DEF
不一定相等，故④错误，
【解答】解：连接CF，如图，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，
∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，{AD=CE
)
在△ADF和△CEF中， ∠A=∠1 ，
AF=CF
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF＝EF，∠3＝∠2
∵∠3+∠CFD＝90°，
∴∠2+∠CFD＝90°，即∠DFE＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△ADF ＝S△CEF ，
1 1 1
∴四边形CDFE的面积＝S△ACF =
2
S△ABC =
2
×
2
×8×8＝16，所以②正确；
∵△DEF为等腰直角三角形，
1
当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD= AC＝4，
2
1
∴CD长度的最小值= AC＝4，所以③正确；
2
过C作CM⊥DE，过F作FN⊥DE，
1 1
∵S△CDE =
2
DE•CM，S△DEF =
2
DE•FN，
∵△DEF是等腰直角三角形，
1
∴FN= DE，
2
1
而CM不一定等于 DE，
2
∴S△CDE 与S△DEF 不一定相等，故④错误，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和
角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的判
断与性质和三角形面积公式．
2．（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，
且AE＝AF，求证：DE＝DF．
【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又
由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
{
AE=AF
)
∠EAD=∠FAD ，
AD=AD
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
3．（2020秋•新华区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且
AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到
AD⊥EF，又AE＝AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE＝DF．
【解答】证明：如图，连接AD．
∵△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
又AE＝AF，
∴AD垂直平分EF，
∴DE＝DF．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解
题的关键．
4．（2018秋•邻水县校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交
AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
1
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD= ∠B．
2【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
1
（2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF= ∠ABC，证得
2
1
∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD= ∠ABC．
2
【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
1
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF= ∠ABC，
2
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
1
∴∠CFD= ∠B．
2
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
类型二 作底边上的高
5．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA
＝CD，BD＝6，则AD＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过C点作CE⊥AD于E，由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性
质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．
【解答】解：过C点作CE⊥AD于E，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE，
∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝30°，
1
∴BE= BC＝5，
2
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
1
6．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC= ∠BAC．
21
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CAE= ∠BAC，再根据同角的
2
余角相等求出∠DBC＝∠CAE，从而得证．
【解答】证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
1
∴∠CAE= ∠BAC，
2
又∵BD⊥AC，
∴∠CAE+∠C＝∠DBE+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CAE，
1
∴∠DBC= ∠BAC．
2
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键，作
出图形更形象直观．
7．如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE，求证：DE⊥BC．
【分析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角
的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进
而得到DE⊥BC．【解答】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠E，
∴∠BAC＝∠D+∠E＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作
出辅助线是解题的关键．
8．（2019秋•河池期末）如图，在△ABC中，点D、点E在BC边上，且AB＝AC，AD＝AE．求证：DB
＝CE．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，由“AAS”可证△ADB≌△AEC，可得
DB＝CE．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝AE．
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，且AB＝AC，∠B＝∠C，
∴△ADB≌△AEC（AAS）
∴DB＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是本题
的关键．
方法二：作AH⊥BC于H，由三线合一，得BH＝CH，DH＝EH，所以BD＝CE.
9．（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且
EA＝EC，求证：EB⊥AB．
1
【分析】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF= AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE
2
＝∠AFE＝90°．
【解答】证明：作EF⊥AC于F，
∵EA＝EC，
1
∴AF＝FC= AC，
2
∵AC＝2AB，
∴AF＝AB，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD，
{
AB=AF
)
在△BAE和△FAE中 ∠BAD=∠CAD ，
AE=AE
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠ABE＝∠AFE＝90°．
∴EB⊥AB．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段．
10．（2023春•市中区期末）小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD．
【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝2∠ACD．
方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC＝
2∠ACD．
方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF＝
2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠B＝∠ACF，进而得出∠B＝2∠ACD．
【解答】解：方法1：如图1，∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴△BCD中，∠ABC＝180°﹣2∠BCD＝180°﹣2（90°﹣∠ACD）＝2∠ACD；
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵BC＝BD，BE⊥CD，
∴∠ABC＝2∠CBE，
∴∠ABC＝2∠ACD；
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
∵∠ACB＝90°，∠BFC＝90°，∴∠A+∠B＝∠BCF+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCF，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，即∠BCF+∠DCF＝∠A+∠ACD，
∴∠DCF＝∠ACD，
∴∠ACF＝2∠ACD，
又∵∠B+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠B＝∠ACF，
∴∠B＝2∠ACD．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角
形的两个底角相等．
类型三 倍长中线法
11．（2021秋•南通期中）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，
BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
【分析】延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，证明△ADC≌△BDM（SAS），得出∠M＝∠CAD，
BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．
【解答】解：延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，在△ADC和△BDM中，
{
AD=DM
)
∠ADC=∠MDB ，
CD=BD
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，
∵AE＝EF＝a，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠MFB＝∠AFE，
∴∠BMF＝∠BFM，
∴BM＝BF，
∴AC＝BF＝b．
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADC≌△BDM是解题的关键．
12．（2023•滕州市模拟）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一
倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图
2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： A ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
（2）AD的取值范围是 1 ＜ AD ＜ 6 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，
∠GEF＝90°，求GF的长．
【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，由SAS即可证明问题；
（2）由三角形三边的关系即可求出AD的取值范围；
延长CB，GE交于M，即可证明△AGE≌△BME，得到GE＝ME，BM＝AG＝2，由线段垂直平分线的
性质定理得到FG＝FM＝6．
【解答】（1）证明：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
{
AD=DE
)
∠ADC=∠BDE ，
DC=BD
∴△BDE≌△CDA（SAS）．
故选：A；
（2）∵△BDE和△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝5，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6，
故答案为：1＜AD＜6；
如图3，延长CB，GE交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBM＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠EBM，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵∠AEG＝∠BEM，
∴△AGE≌△BME（ASA），
∴GE＝ME，BM＝AG＝2，
∵∠GEF＝90°，
∴FE垂直平分MG，
∴FG＝FM，
∵FM＝FB+BM＝4+2＝6，
∴FG＝FM＝6．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应
用，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
类型四 截长补短法
13．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以
D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 6
．【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边
长来表示，所以需要作辅助线，延长 AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及
△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
【点评】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的
关键．14．（2021秋•龙亭区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E
为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD．
【分析】过D分别作直线BC、AC垂线，分别交于F、G点，则DF＝DG，可证△DEF≌△DAG，即可
解题．
【解答】解：过D分别作直线BC、AC垂线，分别交于F、G点，则DF＝DG，
∵AB＝AC，∠A＝100°
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∵BE＝DE∴∠B＝∠BDE＝40°，
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝20°
∴∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BCD﹣∠BDE＝80°，
∴∠CED＝180°﹣80°﹣20°＝80°，
∴CD＝CE，
∵DF⊥BC，DG⊥CG，
∴∠DAG＝180°﹣∠DAC＝80°，
∵在△DEF和△DAG中，
{
∠DAG=∠≝=80°
)
∠DGA=∠DFE=90° ，
DG=DF
∴△DEF≌△DAG（AAS），
∴DE＝DA＝BE，
∴BC＝CE+BE＝CD+AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 AD＝BE是解题的关键．
类型五 角平分线+平行线构造等腰三角形
15．（2022春•驿城区校级期中）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，
PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC＝15°，根据平行线的性质可
得∠DPO＝∠AOP＝15°，从而可得PD＝OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最
后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO＝∠AOP＝15°，
∴∠BOC＝∠DPO，
∴PD＝OD＝8cm，
∵∠AOB＝30°，PD∥OA，
∴∠BDP＝30°，
1
∴在Rt△PDF中，PF= PD＝4cm，
2
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∴PE＝PF＝4cm．
【点评】此题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等
于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂
足为E．求证：AC＝2BE．
【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分
∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得
AC＝2BE．
【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，
∴AD＝DF，AB＝AF，
∵AE⊥BD，
1
∴BE＝EF= BF，
2
∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，
∴AC＝2BE．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数
形结合思想的应用．
17．（2022秋•淮滨县期末）已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．
（1）求点B的横坐标；
（2）如图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当
∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．【分析】（1）过B作BD⊥OA于点D，由△AOB为等边三角形，点A（﹣10，0）可得OA＝OB＝AB＝
10，∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，由BD⊥OA，根据等边三角形三线合一可得OD的长，即可得出点
B的横坐标；
（2）过点M作MF∥AB交OA于点F，根据平行线的性质及等边三角形的性质得出∠FMN＝∠OME，
MF＝MO，MN＝ME，证明△MFN≌△MOE，得出∠MOE＝∠MFN＝60°，再由三角形内角和定理即可
求出∠MEO的度数．
【解答】解：（1）如图，过B作BD⊥OA于点D，
∵△AOB为等边三角形，点A（﹣10，0），
∴OA＝OB＝AB＝10，∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵BD⊥OA，
1 1
∴AD＝OD= OA= ×10＝5，
2 2
∴点B的横坐标为﹣5；
（2）如图2，过点M作MF∥AB交OA于点F，∵MF∥AB，
∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴△MOF为等边三角形，
∴∠FMO＝60°，MF＝MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME＝60°，MN＝ME，
∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°，
∴∠FMN＝∠OME，
在△MFN和△MOE中，
{
MF=MO
)
∠FMN=∠OME ，
MN=ME
∴△MFN≌△MOE（SAS），
∴∠MFN＝∠MOE＝60°，
∵∠EMO＝45°，
∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO
＝180°﹣60°﹣45°
＝75°．
【点评】本题考查了等边三角形及坐标，掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三
角形内角和是解决问题的关键．
类型六 角平分线+垂直构造等腰三角形
9．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要
的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题
如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平
分线．求证：2AD＝BF
思路引领：（1）在AB上取点G，使AG＝AD．证明△ADC≌△AGC（SAS），再利用等腰三角形的性
质即可解决问题．
（2）分别延长AD、BC交于点H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（1）证明：在AB上取点G，使AG＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠GAC，
∵AD＝AG，∠DAC＝∠GAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴DC＝GC，
∠CDA＝∠CGA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CGE+∠AGC＝180°，
∴∠B＝∠CGE，
∴CB＝CG，
又∵DC＝GC，
∴CB＝DC．
解法二：如图，过点CR⊥AD交AD的延长线于R．∵AC平分∠DAB，CR⊥AR，CE⊥AB，
∴CR＝CE，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDR+∠ADC＝180°，
∴∠CDR＝∠B，
∵∠R＝∠CEB＝90°，
∴△CRD≌△CEB（AAS），
∴CB＝CD．
（2）证明：分别延长AD、BC交于点H．
∵BD平分∠CBA，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵AD⊥BF交BF延长线于点D，
∴∠ADB＝∠HDB＝90°，
∵∠ADB＝∠HDB，BD＝BD，∠DBC＝∠ABD，
∴△ADB≌△BDH（ASA）
∠DAB＝∠DHB，AB＝BH，
∴△ABH为等腰三角形，
又∵BD平分∠CBA，AD＝DH，即2AD＝AH，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠DAB＝0.5（180°﹣∠B ）＝90°﹣22.5°＝67.5，
∴∠HAC＝22.5°＝∠CBD，
∵∠HAC＝∠DBC，AC＝CB，∠ACH＝∠BDA
∴△ACH≌△BCF（ASA）
∴BF＝AH，
又∵2AD＝AH，
∴2AD＝BF．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解
决问题，属于中考常考题型．
