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专题13 解直角三角形之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题
转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三
角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角
三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
【重要模型】
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图所示，小明上学途中要经过 ， 两地，由于 ，
两地之间有一片草坪，所以需要走路线 ， ．小明想知道 ， 两地间的距离，测得 ，
， ，请帮小明求出两地间距离 的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即
可）例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的
俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．(1)求教学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿
平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线
．
例3．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工
通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道 在水平直线上，且
无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 米的高度上水平飞行，到达点 处测得点 的俯
角为 继续飞行 米到达点 处，测得点 的俯角为 ．（1）填空： _______度，
______度；（2）求隧道 的长度(结果精确到 米)．(参考数据： )
例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 ，楼顶C
点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；
如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；
如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；
如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023年湖南省长沙市中考数学真题） 年 月 日 点 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发
射的过程中，飞船从地面 处发射，当飞船到达 点时，从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ，
仰角为 ； 后飞船到达 处，此时测得仰角为 ．(1)求点 离地面的高度 ；(2)求飞船从 处到
处的平均速度．(结果精确到 ，参考数据： )
例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 ．如图所示，一架
水平飞行的无人机在 处测得河流左岸 处的俯角为 ，无人机沿水平线 方向继续飞行12米至 处，
测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一
条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）．
例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，为了测量百货大楼 顶部广告牌 的高度，在距离百
货大楼30m的A处用仪器测得 ；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得 ，仪
器高度忽略不计，求广告牌 的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据： ， ， ， ）例4．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如
图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚 为起点，沿途修建 、 两段长度相等的
观光索道，最终到达山顶 处，中途设计了一段与 平行的观光平台 为 ．索道 与 的夹角
为 ， 与水平线夹角为 ， 两处的水平距离 为 ， ，垂足为点 ．（图中所有
点都在同一平面内，点 在同一水平线上）(1)求索道 的长（结果精确到 ）；(2)求水平距离
的长（结果精确到 ）．（参考数据： ， ， ， ）
模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。例1．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观
光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房
的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端 B点处观测电视
塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）
（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；（2）求电视塔的高度．
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF
放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在 G处（A、F、G三点在一条直线上），测得
楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一
平面内，结果精确到0.1米， ≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
例3．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公
楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得
教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部
（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 ．(1)求
的长；(2)设塔 的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求
塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
课后专项训练
1．（2022·湖南衡阳·中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万
里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测
量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ， ．已
知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为_________ ．（结果精确到 ．参考数据：
）
2．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为 的等腰三角形外框和
3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据： ， ，
）3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 地和 地之间的一
处垃圾填埋场进行改造，把原来 地去往 地需要绕行到 地的路线，改造成可以直线通行的公路 ．
如图，经勘测， 千米， ， ，则改造后公路 的长是 千米（精
确到 千米；参考数据： ， ， ， ）．
4．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A
60 12n mile C A 30� A BC
在北偏东 方向上；航行 到达 点，这时测得小岛 在北偏东 方向上．小岛 到航线
n mile 3 1.73
的距离是__________ （ ，结果用四舍五入法精确到0.1）．
5．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，
某校数学兴趣小组在 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰角为 ，仪器与气球的水平距离
为20米，且距地面高度 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 是 米（结果精确到0.1米，
）．6．（2023年青海省中考数学真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从
图中 ， 两处分别向 处铺设，现测得 ， ， ，求 ， 两点间的
距离．（结果取整数，参考数据： ， ， ）
7．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所
示．在截面图中，墙面 垂直于地面 ，遮阳棚与墙面连接处点 距地面高 ，即 ，遮阳棚
与窗户所在墙面 垂直，即 ．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为 (若
经过点 的光线恰好照射在地面点 处，则 )，为使正午时窗前地面上能有 宽的阴影区域，
即 ，求遮阳棚的宽度 ．(结果精确到 ．参考数据： )
8．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，
海岛C位于码头A北偏东 方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西 方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油
资源，勘测发现位于码头A北偏东 方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管
道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）9．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度 进行测量，他
在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是 ，测得大厦顶部的仰角是 ，已知他家楼顶B处距地面的高度
为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
(1)求两楼之间的距离 （结果保留根号）；(2)求大厦的高度 （结果取整数）．
（参考数据： ， ， ， ）
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山
途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索
道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道 （如图所示），使得，从点B出发按 方向前进20米到达点E，即 米，测得 ．已知 ， ，
求A、B两点间的距离．
11．（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿
灯”一辆车从被山峰 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 ，
，线段 的延长线交直线 于点D．
(1)求 的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西 方向上，其中 米．问该轿车至
少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）12．（2023年四川省成都市数学中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心
在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为 米，与水平
面的夹角为 ，且靠墙端离地高 为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．
（结果精确到 米；参考数据： ）
13．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉
练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 点和 点，行进路线为 ．
点在 点的南偏东 方向 处， 点在A点的北偏东 方向，行进路线 和 所在直线的夹
角 为 ．(1)求行进路线 和 所在直线的夹角 的度数；(2)求检查点 和 之间的距离
（结果保留根号）．14．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组
成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确
定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器
的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成
一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯
角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵
同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器
用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径
刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角
．
________．
测出眼睛到地面的距离 ．
测出所站地方到古树底部的距离 ． ．
．
【步骤四】计算古树高度 ．（结果精确到 ）
（参考数据： ）
请结合图①、图④和相关数据写出 的度数并完成【步骤四】．
15．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游
玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学
小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 是平行四边形，座板 与地面 平行， 是等腰三角形且 ， ，靠背
，支架 ，扶手的一部分 ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 点距地面（
）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：
， ， ）
16．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航
天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂
，两臂夹角 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 ，参考数据
， ， )
17．（2023年福建省中考真题数学试题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽
度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出
，且测量的次数最少，才能得满分）．
18．（2023•铁岭中考模拟）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如
图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安
全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
19．（2023•郴州中考模拟）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i ＝1：1．
1
为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 i ＝1： ，
2
求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73．结果精确到0.1m）
20．（2023·广东深圳·校考模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把
囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗
口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明
为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午
12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=
≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太
阳照射到室内区域面积为___________ ．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内，求此时CD的长．（结果保留根号）
