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专题13 解直角三角形之新定义模型
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试
题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数
学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对
学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这
方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
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模型1.新定义模型...........................................................................................................................................1
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模型1.新定义模型
新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、
面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用
初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
图1 图2 图3
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
1）正弦定理：如图1， （其中R是三角形外接圆的半径）。
证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径 ，连接 ，如图2，
则 ， ，∴ ，∴ ，
同理， ， ，∴ ；
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
2）正弦面积公式：如图1， .
证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在 中， ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ．∴ ．
同理可得 ．因此有 ．
3 ） 余 弦 定 理 ： 如 图 2 ，
．
证明：如图3，在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， 过点A作 于点 ，
则 ，即 ，于是 ．
在 中， ，在 中， ，，整理得 。
同理： ； 。
图4 图5
4）同角三角函数的基本关系式: ， 。
证明：如图4，设∠A= ，∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。
△
又∵ ， ，∴ ； 。
5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：
; （已证）.
; .
（已证）.
证明：如图4，在 中，在Rt ABC中，∠C=90°，设∠A= 。
△
如图5，取 的中点 ，连接 ，即： ，过点 作 于点 ，则 ，
利用锐角三角函数在 中表示 ， 。
∵ （等面积），即 ；
在 中， ，则 。例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：在 中，CD=asinB；在 中，
, .根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
， 。
例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系
的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是
这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另
外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．
例3．（2023·山东青岛·三模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含a、b、 代数式
表示），写出探究过程．
探究三： 中， ， ， ，求 的面积（用a、b、 表示）写出探究过程．
【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形
的面积（用a、b、 表示）写出解题过程．
（2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、 、 表示），其
中 ， ， ， ， ， ．
例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三
角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是 ，记
，那么三角形的面积为： ，在 中， ， ， 所对的
边长分别为 ，若 ， ， ，则 的面积为6；
【问题探索】如图一，在 中，设 ， ， ， ， 是 的内切圆，
分别与 的延长线、 的延长线以及线段 均只有一个公共点， 的半径为 ， 的半径为
．(1)分析与证明：如图二，连接 ，则 被划分为三个小三角形，用 表示 的面积，
即 ．那么 是否成立？请证明你的结论．
(2)理解与应用：当 ， ， 时，求 的面积．
例5．（2024·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①
；② ；③
．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特
殊角的三角函数来求值，如
．
【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求 的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物 上方的点 处测得建筑物顶端点 的俯角 为 ，
底端点 的俯角 为 ，此时直升机与建筑物 的水平距离 为 ，求建筑物 的高；
(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点 处往正东方向飞多远，居民在点
处看飞机的仰角恰好是 ．例6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①， ______， ______， ______；
在图②中， ______， ______， ______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
(2)在图①中， ______， ______；在图②中， ______， ______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
例7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小
与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中
建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．
如图①：在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大
小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是 ；
(3)如图②，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在
中， ， ， ，求 （用含 ， 的式子表示）．聪明的小雯
同学是这样考虑的：如图2，取 的中点O，连接 ，过点C作 于点D，则 ，然后
利用锐角三角函数在 中表示出 ， ，在 中表示出 ，则可以求出
．
阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ， ．
(1)如图3， ， ，若 ，则 ______， ______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 ， 的式子表示）．
例9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，完成后面题目．
0°-360°间的角的三角函数
在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，
∠A是锐角，那么sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA=
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r= （r
总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα= ，cosα= ，tanα= ，cotα=
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值
的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下
列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？
（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x， ），且cosα= x，求tanα的值．
（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．
1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在 中， 、 、
所对的边分别为 、 、 ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为： ， ，
．在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣
β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）
＝ （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函
数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝ ＝1，利用上述公式计
算下列三角函数①sin105°＝ ，②tan105°＝﹣2﹣ ，③sin15°＝ ，④cos90°＝0，其中正
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24九年级上·广西来宾·期末）已知两角和的余弦公式 ，利用该
公式计算非特殊角如 的值就显容易，即
，仿照计算 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020·四川广元市·中考真题）规定：
给出以下四个结论：（1）；（2） ；（3） ；（4）
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比叫
做 的余割，用“ ”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．
再解答问题，三角函数中常用公式 ，求 的值，即
．试用公式
，求出 的值是 ．
7．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的
公式求得：tan（α±β）= ．例如：tan15°=tan（45°-30°）= = == =2- ．
请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
8．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
9．（2023·成都市九年级期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定
理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意 中，以边 为例，其它两边是
和 ， 和 的夹角为 ，根据余弦定理有 ，类似的可以得
到关于 和 的关系式．已知在 中， ， ， 是 和 的比例中项，那么
的余弦值为 ．
10．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条
边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边
角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如果 中，
，那么顶角A的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对
值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那么 的值为
．
11．（23-24九年级·山东临沂·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1， ＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2， ＝ ．
12．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
， ，
， ．例：
．
若已知锐角 满足条件 ，则 ．
13．（2024·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）科普书上和（差）角正切公式为 ，
根据公式求 .
14．（23-24九年级上·湖北·周测）若 的三边长分别为 ,根据三角形面积公式 （h
为边a上的高）及正弦三角函数的定义，我们很容易得到 ；
(1)根据上述想法，试证明正弦定理 ；
(2)若 外接圆的半径为R，试用含R的代数式表示出上述正弦定理的比值结果
(3)若上述问题中 运用所得结论，求 的面积15．（2023·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例： = = = = = =
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，
小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请
帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据 ）
16．（2023秋·河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
，即p为 的周长的一半，则 （ 表示 的面
积），把这个公式称为海伦公式．【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的
三边长分别为 米， 米， 米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理
由．
17．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．
如图（1），在锐角 ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则
， ，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即 ．同理有：
， ，所以 ．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相
等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向
正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔
A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
18．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究 间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形 是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角 ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图2），
在角 的终边 上任取一点 ，它的横坐标是 ，纵坐标是 ，终边 可以看作是将射线 点O逆时针
旋转 后所得到的． 和原点 的距离为 （ 总是正的）然后把角 的三角函数规定为：
（其中 分别是点 的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值
的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角 的大小有
关，四个比值的正、负取决于角 的终边所在的象限，而与点 在角 的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下
列问题， (1)如图3，若 ，则角 的三角函数值 ，其中取正值的是
________．
(2)若角 的终边与直线 重合，则 ________．
(3)若角 是锐角，其终边上一点 且 ，则 ________．
(4)若 ，则 的取值范围是________．19．（2024·山东潍坊·九年级统考期中）【阅读理解】：如图，在 中，a，b，c分别是 ，
， 的对边， ，其外接圆半径为 ．根据锐角三角函数的定义： ， ，可
得 ，即 （规定 ）．
【探究活动】：如图，在锐角 中，a，b，c分别是 ， ， 的对边，其外接圆半径为 ，那
么： ___________ ___________ （用>，=或<连接），并说明理由．
【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 中，a，b，c分别是 ， ， 的
对边．已知 ， ， ，求 ．
【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 的高度，在 处用测角仪测得地
面点 处的俯角为45°，点 处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求
楼 的高度．（参考数据： ， ）
20．（2023春·陕西铜川·九年级校考阶段练习）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣
α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：
1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的
值及∠A和∠B的度数．
