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专题13 解直角三角形之新定义模型
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试
题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数
学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对
学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这
方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
....................................................................................................................................................1
模型1.新定义模型...........................................................................................................................................1
..................................................................................................................................................16
模型1.新定义模型
新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、
面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用
初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
图1 图2 图3
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
1）正弦定理：如图1， （其中R是三角形外接圆的半径）。
证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径 ，连接 ，如图2，
则 ， ，∴ ，∴ ，
同理， ， ，∴ ；
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
2）正弦面积公式：如图1， .
证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在 中， ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ．∴ ．
同理可得 ．因此有 ．
3 ） 余 弦 定 理 ： 如 图 2 ，
．
证明：如图3，在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， 过点A作 于点 ，
则 ，即 ，于是 ．
在 中， ，在 中， ，，整理得 。
同理： ； 。
图4 图5
4）同角三角函数的基本关系式: ， 。
证明：如图4，设∠A= ，∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。
△
又∵ ， ，∴ ； 。
5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：
; （已证）.
; .
（已证）.
证明：如图4，在 中，在Rt ABC中，∠C=90°，设∠A= 。
△
如图5，取 的中点 ，连接 ，即： ，过点 作 于点 ，则 ，
利用锐角三角函数在 中表示 ， 。
∵ （等面积），即 ；
在 中， ，则 。例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：在 中，CD=asinB；在 中，
, .根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
， 。
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点 作 于点 ，在 中， ，
在 中， ， ， ；
(2)解：如图3，过点 作 于点 ， ， ， ，在 中，
又 ，即 ， ， ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问
题的前提．
例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系
的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是
这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另
外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．
【答案】
【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB AC cosA，将数值代入求得结果．
【详解】解：由题意可得，
BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4 cos60°＝13，∴BC＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
例3．（2023·山东青岛·三模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含a、b、 代数式
表示），写出探究过程．
探究三： 中， ， ， ，求 的面积（用a、b、 表示）写出探究过程．
【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形
的面积（用a、b、 表示）写出解题过程．
（2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、 、 表示），其
中 ， ， ， ， ， ．
【答案】探究二： ，见解析；探究三： ，见解析；（1） ，见解析；（2）
【分析】探究二：如图2中，作 于H，求出高 ，即可解决问题；探究三：如图3中，作
于H，求出高 ，即可解决问题；性质应用（1）：如图4中，作 于H，求出高 ，
即可解决问题；性质应用（2）：如图5，连接 ，由探究三的结论可得出答案．
【详解】解：探究二：如图2中，作 于H，
∵ ， ， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ；
探究三：如图3中，作 于H，
在 中， ，∴ ，∴ ∴ ；
性质应用（1）：如图4中，作 于H，
在 中， ，∴ ，∴ ∴ ；
性质应用（2）：连接 ，由探究三的结论可得： ，则 ，∴ ．
【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三
角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是 ，记
，那么三角形的面积为： ，在 中， ， ， 所对的
边长分别为 ，若 ， ， ，则 的面积为6；
【问题探索】如图一，在 中，设 ， ， ， ， 是 的内切圆，
分别与 的延长线、 的延长线以及线段 均只有一个公共点， 的半径为 ， 的半径为
．
(1)分析与证明：如图二，连接 ，则 被划分为三个小三角形，用 表示 的面积，
即 ．那么 是否成立？请证明你的结论．
(2)理解与应用：当 ， ， 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】（1）根据题意得到 、 、 ，再结合材料给出的面积公式即可解答；
（2）根据角平分线的判定得到 是 的角平分线，再利用锐角三角函数得到 ，最
后根据切线长定理得到 即可解答．【详解】（1）解： 成立，理由如下：∵ ，
∴ ，∵ ，∴ ．
（2）解：连接 ，连接 ，
∵ 与 相切于点 ， 与 相切于点 ，∴ ， ，∴ 是 的角平分
线，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 的半径为 ，∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，锐角三角函数，切线长定理，掌握锐角三角函数
是解题的关键．
例5．（2024·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①
；② ；③
．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特
殊角的三角函数来求值，如
．
【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求 的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物 上方的点 处测得建筑物顶端点 的俯角 为 ，
底端点 的俯角 为 ，此时直升机与建筑物 的水平距离 为 ，求建筑物 的高；
(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点 处往正东方向飞多远，居民在点
处看飞机的仰角恰好是 ．
【答案】(1) (2)84米(3)飞机再飞168米可使点 看飞机的仰角为
【分析】（1）根据 ，可求 的值；（2）根据 求得
AB，再根据ED= 求得A、E两点垂直距离ED，最后CD的长即可求得；（3）延长 交
于点 ，作 交 于点 ，并使 ，根据 可求EF的值，即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图，延长 交 于点 ，
∵ ， 米，∴ 米，
∵ ， 米∴ 、 垂直距离为ED= 米，
∴ 米．答：建筑物 的高为84米．
（3）解：延长 交 于点 ，作 交 于点 ，并使 ，
∴ 米，由（2）得 、 垂直距离 米，
∵ ， ，
∴ ，∴ 米，∴ 米．
答：飞机再飞168米可使点 看飞机的仰角为 ．
【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角函数并结
合图像解直角三角形．
例6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①， ______， ______， ______；
在图②中， ______， ______， ______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；(2)在图①中， ______， ______；
在图②中， ______， ______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
【答案】(1) ； ；证明见解析(2) ； ；证明见解析
【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出 ， ，
， ， ， 以及 和 的值；要证明结论就应该在一般的三角形中
求解，在边长分别为 、 、 的直角三角形中， ， ，计算 的结果证明结
论；
（2）在边长分别为 、 、 的直角三角形中计算 ， ，看结论是否相同即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角 的对边 与斜边 的比叫做 的正弦，记作 ，锐角
的邻边 与斜边 的比叫做 的余弦，记作 ，锐角 的对边 与邻边 的比叫做 的正切，记作
是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ，
规律：对于任意锐角 有 ，故答案为： ， ，1， ， ，1；
证明：如图所示，在 中， ，
， ， ， ．（2）解： ， ， ，
规律：对于任意锐角 有 ，
证明：如图， ， ， ．故答案为： ， ， ， ．
例7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小
与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中
建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．
如图①：在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大
小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是 ；
(3)如图②，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)1(2) (3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答
即可；（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）由 ，令 ， ，
则 ， ，在 上取点 ，使 ，
连接 ，作 ， 为垂足，表示出 的长，再计算出 ，最后由正对的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为 时，等腰三角形底角为 ，则三角形为等边三角形，
底边 腰长 ，故答案为：1；
（2）解：当 接近 时，底边长接近0，由定义知 接近0，
当 接近 时，等腰三角形的底接近腰的 倍，由定义知 接近 ，
的正对值 的取值范围是 ，故答案为： ；
（3）解：如图：在 中， ， ，
令 ， ，则 ，
∴ ， ，
在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ， 为垂足，
∴ ， ，
，∴ ，
．
例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在
中， ， ， ，求 （用含 ， 的式子表示）．聪明的小雯
同学是这样考虑的：如图2，取 的中点O，连接 ，过点C作 于点D，则 ，然后
利用锐角三角函数在 中表示出 ， ，在 中表示出 ，则可以求出．
阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ， ．
(1)如图3， ， ，若 ，则 ______， ______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 ， 的式子表示）．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）根据勾股定理求得 ，再根据三角函数的定义即可求得 和 ，再根据
求解即可；（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
，在 中表示出 ，勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理可得： ，
由三角函数的定义可得 ， ，
由材料可得： ，故答案为： ，
（2）解：取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，如下图：
则 ， ， ， ，
在 中， ， ， ，， 在 中， ，
， ， ．
【点睛】此题考查三角函数定义的应用，解题关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角
形．
例9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，完成后面题目．
0°-360°间的角的三角函数
在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，
∠A是锐角，那么sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA=
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），
在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r= （r
总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα= ，cosα= ，tanα= ，cotα=
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值
的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下
列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？
（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x， ），且cosα= x，求tanα的值．（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．
【答案】（1）sinα；（2） 或 ；（3） ；（4）1≤sinα+cosα≤ ．
【分析】（1）由点P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根据sinα= ，cosα= ，tanα= ，cotα=
，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．想办法求出OE的
长，根据三角函数的定义即可解决问题；（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当
α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα= ，由此即可解决问题.
【详解】（1）∵点P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，
∵sinα= ，cosα= ，tanα= ，cotα= ，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是
sinα．
（2）如图1中，
①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP= a，
∴sinα+cosα= ．
②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP= a，∴sinα+cosα= ．综上所述，sinα+cosα= 或 ．
（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．
由题意PE= ，cosα= ，∴OP=2 ，∴OE= ，∴tanα= ．
（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，
当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα= ，∴1≤sinα+cosα≤ ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学
会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在 中， 、 、
所对的边分别为 、 、 ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的
夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为： ， ，．在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴ 或 （舍去），故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．
2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣
β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）
＝ （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函
数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝ ＝1，利用上述公式计
算下列三角函数①sin105°＝ ，②tan105°＝﹣2﹣ ，③sin15°＝ ，④cos90°＝0，其中正
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= = ，故此选项正
确；
②tan105°=tan（60°+45°）= = = =-2- ，故此选项正确；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°= = ，故此选项正确；
④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°= =0，故此选项正确；
故正确的有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
3．（23-24九年级上·广西来宾·期末）已知两角和的余弦公式 ，利用该
公式计算非特殊角如 的值就显容易，即
，仿照计算 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是信息题，解答此题的关键是正确运用题干所给出的公式并灵活运用．把 化为
直接代入三角函数公式 计算即可．
【详解】 ，
故选：B
4．（2020·四川广元市·中考真题）规定：
给出以下四个结论：（1）
；（2） ；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1） ，故此结论正确；
（2） ，故此结论正确；
（3） 故此结论正
确；
（4） = =
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，
理解题中公式.
5．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比叫
做 的余割，用“ ”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余割、正弦与余弦的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；C、 ，则此项正确，符合题意；
D、 ，则此项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了余割、正弦与余弦，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．
再解答问题，三角函数中常用公式 ，求 的值，即
．试用公式
，求出 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问
题转化为已知问题解答．将 化为 和 两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来
解答．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
7．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）= ．例如：tan15°=tan（45°-30°）= = =
= =2- ．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
【答案】2+ ．
【分析】根据给定的公式，将 ， 代入 中计算化简即可．
【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）= = = = =2+ ．
故答案为：2+ ．
【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.
8．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
【答案】 1 1 1 1
【详解】sin230°＋cos230°＝ =1 ，
sin245°＋cos245°＝ =1 ，
sin260°＋cos260°＝ =1 ，
即可猜想出：对任意锐角 ，都有 故答案为：1；1；1；19．（2023·成都市九年级期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定
理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意 中，以边 为例，其它两边是
和 ， 和 的夹角为 ，根据余弦定理有 ，类似的可以得
到关于 和 的关系式．已知在 中， ， ， 是 和 的比例中项，那么
的余弦值为 ．
【答案】 /0.75
【分析】据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【详解】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，
∵AC是BC和AB的比例中项，∴AC2=AB•BC，
∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，即1×2=12+22-2×1×2×cosB，∴cosB= ，故答案为： ．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
10．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条
边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边
角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如果 中，
，那么顶角A的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对
值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那么 的值为
．
【答案】
【分析】过点 作 于 ，利用 的正弦函数值，设出 的长，根据勾股定理求出
，最后根据 的规定求值即可．【详解】解：过点 作 于 ，如图所示，
， 设 ， ，
， ， ，
；故答案为： ．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾
股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
11．（23-24九年级·山东临沂·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1， ＝tanα，利
用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2， ＝ ．
【答案】
【详解】由 ， 可得 ，再由 ，可得
，即5 ，所以 .
点睛：本题属于阅读理解题，根据题目中所给的规律（或运算方法）是解决这类题目的关键.
12．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
， ，
， ．例：．若已知锐角 满足条件 ，则
．
【答案】
【分析】先根据 求出 ，把 变为 ，然后根据
计算即可．
【详解】解：如图，在 中，
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ 为锐角，∴ ．
∵
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
13．（2024·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）科普书上和（差）角正切公式为 ，
根据公式求 .
【答案】
【分析】把15°写成60°-45°，然后代入公式计算即可．
【详解】解： ，设 ， ，代入差角正切公式：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，将已知度数写成两个特殊角的差的形式是解决此题的关键．
14．（23-24九年级上·湖北·周测）若 的三边长分别为 ,根据三角形面积公式 （h
为边a上的高）及正弦三角函数的定义，我们很容易得到 ；
(1)根据上述想法，试证明正弦定理 ；
(2)若 外接圆的半径为R，试用含R的代数式表示出上述正弦定理的比值结果
(3)若上述问题中 运用所得结论，求 的面积
【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】本题主要考查三角函数定义，圆周角定理和圆的性质：
（1）根据三角函数定义得 ， ， ，联立
等式后，再变形即可；
（2）作直径 ，连接 ，如图，则 ， ，由三角函数定义得
，求得 ，同理可得 ， ，于是可得到结论；
（3）由 ， 可得 ，代入 计
算即可
【详解】（1）证明：如图，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
同理可得 ．
因此有 ．
每项都除以 ，得 ，
故
（2）作直径 ，连接 ，如图，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
同理， ， ，
∴ ；
（3）∵
∴ ，
∵ , ,
∴ ,
∵
∴ ．
15．（2023·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例： = = = = = =根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，
小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请
帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据 ）
【答案】（1） ．（2）27.7米
【详解】分析：（1）把15°化为45°﹣30°以后，利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出
sin15°的值．（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
解：（1） = = = = = ．
（2）在Rt BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴∠DBE=15°．
△
∴ ．
∴AB="AE+BE=1.62+" （米）．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米
16．（2023秋·河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
，即p为 的周长的一半，则 （ 表示 的面
积），把这个公式称为海伦公式．【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的
三边长分别为 米， 米， 米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理
由．
【答案】这块三角形空地不能满足学校的需求．理由见解析
【详解】分析题意，首先利用给出的条件和公式，求得p的值，然后利用 及求得的 的值，将它们
代入到海伦公式进行计算即可
不能，理由如下：∵ ， ， ，∴ ，
∴ （平方米）．
∵ ， ∴这块三角形空地不能满足学校的需求．
【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算．
17．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．
如图（1），在锐角 ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则
， ，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即 ．同理有：
， ，所以 ．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相
等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向
正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔
A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1） 海里；（2）
【分析】（1）先根据题意得到 ， ， 海里，即可求出 ，过点B作
BM⊥AC于M，求出AM和MC即可得到AC的长；
（2）先根据 求出AB的长，再由 进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得： ， ， 海里，
∴ ，过点B作BM⊥AC于M，
∵ ，∴ 海里
在Rt ABM中，∠A=45°， ，
△
∵ ，即 海里，在Rt BMC中，∠BCM=60°，BC=40海里，
△
∴∠MBC=30°，∴ 海里，∴ 海里
（2）∵ ，∴ 海里
∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了方位角，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够准
确读懂题意．
18．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究 间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形 是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角 ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图2），
在角 的终边 上任取一点 ，它的横坐标是 ，纵坐标是 ，终边 可以看作是将射线 点O逆时针
旋转 后所得到的． 和原点 的距离为 （ 总是正的）然后把角 的三角函数规定为：
（其中 分别是点 的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值
的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角 的大小有
关，四个比值的正、负取决于角 的终边所在的象限，而与点 在角 的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下
列问题， (1)如图3，若 ，则角 的三角函数值 ，其中取正值的是
________．
(2)若角 的终边与直线 重合，则 ________．
(3)若角 是锐角，其终边上一点 且 ，则 ________．
(4)若 ，则 的取值范围是________．
【答案】(1) (2) 或 (3) (4)
【分析】（1）由点 在第四象限，推出 ，根据 ，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作 轴于E．求出 的长，根据
三角函数的定义即可解决问题；（4）根据题意可得 ，根据 ，可得
，再由 ，可得 ，从而得到 ，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点 在第四象限，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴取取正值的是 ；故答案为：
（2）解：如图1中，
①当点P在第一象限时，作 轴于E．设 ，则 ，
∴ ．
②当点P在第三象限时，作 轴于E．设 ，则 ，
∴ ．综上所述， 或 ；故答案为： 或 ；
（3）解：如图2中，作 轴于E．
由题意 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（4）解：根据题意得： ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学
会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
19．（2024·山东潍坊·九年级统考期中）【阅读理解】：如图，在 中，a，b，c分别是 ，
， 的对边， ，其外接圆半径为 ．根据锐角三角函数的定义： ， ，可
得 ，即 （规定 ）．
【探究活动】：如图，在锐角 中，a，b，c分别是 ， ， 的对边，其外接圆半径为 ，那
么： ___________ ___________ （用>，=或<连接），并说明理由．
【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 中，a，b，c分别是 ， ， 的
对边．已知 ， ， ，求 ．
【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 的高度，在 处用测角仪测得地
面点 处的俯角为45°，点 处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求
楼 的高度．（参考数据： ， ）【答案】探究活动： ， ；初步应用： ；综合应用：楼 高度约为 ．
【分析】探究活动：由锐角三角函数可得 ，可得解；
初步应用：将数值代入 可求解；
综合应用：由锐角三角函数即可求解．
【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径 ，连接 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
同理可证： ，∴ ，故答案为： ， ；
初步应用：∵ ， ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
综合应用：如图，由题意得： ， ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，设楼 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴楼 高度约为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结
论是解题的关键．
20．（2023春·陕西铜川·九年级校考阶段练习）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣
α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：
1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的
值及∠A和∠B的度数．
【答案】（1）sin120°= ，cos150°=﹣ ；（2）m=0，∠A=30°，∠B=120°
【分析】（1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可；
（2）根据内角之比，利用内角和为180°求出各自的度数，根据sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不
相等的实数根，求出m的值，进而确定出∠A和∠B的度数．
【详解】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°= ，
cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣ ；
（2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为 ，﹣ ，
把 代入方程得：1﹣ m﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣ 是4x2﹣1=0的根，故m=0；
②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为 ， ，不符合题意；
③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为 ， ，把 代入得：1﹣ m﹣1=0，解得：m=0，
经检验 不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，则m=0，∠A=30°，∠B=120°．
【点睛】此题考查了解直角三角形，方程的根，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的
关键．
