文档内容
河北省示范性高中高三年级调研考试
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 , 则集合
A. B. C. D.
2. 若复数 ( 为虚数单位, 且 )为纯虚数, 则
A. B. C. D.
3. “ ” 是“直线 与直线 互相垂直”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知等差数列 的前 项和为 , 若 , 且 , 则
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 关于二项式 ,若展开式中含 的项的系数为 21 , 则
A.3 B.2 C.1 D.-1
6. 已知某圆锥的母线长为 2 , 记其侧面积为 , 体积为 , 则当 取得最大值时, 母线与底面所
成角的正弦值为
A. B. C. D.
7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等
于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 作直
线 交椭圆于 、 两点,若弦 中点坐标为 , 则椭圆的面积为
A. B. C. D.8. 已知 , 则下列结论不正确的是
A. 是奇函数 B. 在区间 上单调递增
C. 有 3 个零点 D.
二、多项选择题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求, 全部选对得 5 分, 部分选对得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知第一象限内的点 在直线 上, 则
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是
A. 若样本数据 的方差为 4 , 则数据 的标准差为 4
B. 已知随机变量 , 且 , 则
C. 若线性相关系数 越接近 1 , 则两个变量的线性相关性越弱
D. 若事件 满足 , 则有
11. 已知函数 , 其图象相邻对称中心间的距离为 , 直线
是其中一条对称轴, 则下列结论正确的是
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 点 是函数 图象的一个对称中心
D. 将函数 图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标缩短为原来的一半, 再把得到的图象
向右平移 个单位长度, 可得到正弦函数 的图象
12. 意大利著名数学家莱昂纳多 • 斐波那契( Leonardo Fibonacci) 在研究兔子繁殖问题时, 发现
有这样一列数: ,该数列的特点是: 前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都
等于它的前面两个数的和,人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”. 同时,随着 趋于无穷大,其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 , 因此又称“黄金分割数列”, 其通项公
式为 , 它是用无理数表示有理数数列的一个范例. 记斐波那契数列为
, 其前 项和为 , 则下列结论正确的有
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 其中16 题第一空 2 分, 第二空 3 分, 共 20 分.
13. 已知 , 且 , 则 _____.
14. 已知抛物线 的焦点为 , 过 的直线 交抛物线为 、 两
点, 点 为准线与 轴的交点,则 面积的最小值为_____
15. 如右图, 在四棱锥 中, 底面 为菱形, 底面
, 若 , 则三棱锥
的外接球表面积为_____
16. 进人冬季某病毒肆虐, 已知感染此病毒的概率为 , 且每人是否感染这种病毒相互独
立.记 100 个人中恰有 5 人感染病毒的概率是 , 则 的最大值点 的值为_____；为确保
校园安全, 某校组织该校的 6000 名学生做病毒检测, 如果对每一名同学逐一检测, 就需要检测
6000 次,但实际上在检测时都是随机地按 人一组分组, 然后将各组 个人的检测样本混
合再检测. 如果混合样本呈阴性, 说明这 个人全部阴性, 如果混合样本呈阳性, 说明其中至少有
一人检测呈阳性, 就需要对该组每个人再逐一检测一次. 当 取 时, 检测次数最少时 的值为
_____.
参考数据:
四、解答题: 本题共 6 小题, 第 17 题 10 分, 第 $18 \sim 22$ 题每题 12 分, 共 70 分. 解答
应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 10 分) 已知数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 证明: 为等比数列, 并求 的通项公式;
(2) 求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分 12 分) 如图 1, 一副标准的三角板中,
将两三角板的边 与 重合, 拼成一个空间图形 , 且三角板 可绕边 旋
转. 设 是 的中点, 是 的中点.
(1) 如图 2, 若 , 求证: 平面 平面 ;
(2) 如图 3, 若 , 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分 12 分) 如图, 在 中, 为 的中点, 且 .
(1) 证明: ;
(2) 若 , 求 .
20. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行一场比赛, 在每一局比赛中, 都不会出现平局, 甲获胜的概
率均为 .
（1）若比赛采用五局三胜制, 则求甲在第一局失利的情况下, 反败为胜的概率;
(2) 若比赛采用三局两胜制, 且 , 则比赛结束时, 求甲获胜局数 的期望;
(3) 结合 (1) (2), 比较甲在两种赛制中获胜的概率, 谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响.21. (本小题满分 12 分) 已知圆 , 直线 (与 轴不重合)过点 交圆 于
、 两点, 过点 作直线 的平行线交直线 于点 .
(1) 证明： 为定值, 并求点 的轨迹方程;
(2) 设点 的轨迹方程为 , 直线 与曲线 交于 、 两点, 线段 的垂直平分线交 轴于点
, 是否存在实常数 , 使得 , 若存在, 求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
22. (本小题满分 12 分) 已知函数 .
(1) 若 时, 恒有 , 求 的取值范围;
(2) 证明: 当 时, .下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
