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专题 14.1 幂的运算【八大题型】
【人教版】
【题型1 幂的基本运算】..........................................................................................................................................1
【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】.........................................................................................................2
【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】.................................................................................................2
【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】.........................................................................................................2
【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】..................................................................................................................3
【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】.................................................................................................3
【题型7 幂的运算法则（混合运算）】..................................................................................................................3
【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】..............................................................................................................4
【知识点1 幂的运算】
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（ ）
A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6
C．（﹣m）2m4＝m8 D．x6 y
=x3y
x2
5 2
【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）( ) 2005×(2 ) 2004=（ ）
12 5
5 2 5
A．1 B． C．2 D．( ) 2003
12 5 12
【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（ ）
A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（ ）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】
【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和
ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab
＞cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520 420，961 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比较233与322的大小；
（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c
【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．
（写出过程）
【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】
【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝ ．
【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为 ．
1
【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若xm＝5，xn= ，则x2m﹣n＝（ ）
4
5 25
A． B．40 C． D．100
2 4
【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：
（1）34m的值；
（2）33n的值；
（3）34m﹣6n的值．
【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】
【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝ ．
【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝ 8 ．
1
【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×( ) c的值是 ．
8【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝ ．
【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】
【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝ ，若3×9m×27m＝311，则m的值为
．
【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x
的值为 ．
【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ ．
【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有
____组．
【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】
a2m+3 am+1
【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若 = =1．
y x
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x＝4，求此时y的值．
【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．
【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．
（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．
【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结
论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【题型7 幂的运算法则（混合运算）】
【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：
（1）（﹣a）2•a3
1
（2）（﹣8）2013•（ ）2014
8
（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
（ 4 ）（a2•a3）4．
【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：
（1）y3•y2•y
（2）（x3）4•x2（3）（ a4•a2）3•（﹣a）5
（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2．
【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题
4
（1）（ ）2015×（﹣1.25）2016．
5
1 8
（2）（3 ）12×（ ）11×（﹣2）3．
8 25
【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．
【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】
【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为
正整数），类似地我们规定关于任意正整数 m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h
（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2022）的结果是
（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，
记作x＝log N．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log 8＝3；由于a1＝a，所以1是
a 2
以a为底a的对数，记作log a＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果 a＞0，且a≠1，M＞
a
M
0，N＞0，那么（1）log （M•N）＝log M+log N；（2）log =log M﹣log N；（3）log Mn＝nlog M．
a a a a a a a a
N
16
根据上面的运算性质，计算log （23×8）﹣log -log 10的结果是 ．
2 2 2
5
【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b
＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2
1
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※ =-2，
36
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么
（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，
15）成立．证明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．
∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．
∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ ； （5，25）＝ ； （3，27）＝
．
（2）计算：（5，2）+（5，7）＝ ，并说明理由．
（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
