文档内容
2022--2023 学年第一学期第一次阶段测试卷
高三数学
考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知命题 ： ， （ 为自然对数的底数），则命题 的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
5.已知函数 ， ，则 的图像大致是
A. B.C. D.
6.已知函数 ，当 时， 取得最大值，则
A. B. C. D.
7. 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 满 足 ， 当 时 ，
，则当 时，
A. B.
C. D.
8.已知函数 ，设甲：函数 在区间 上单调递增，乙： 的取值
范围是 ，则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知 ，则下列不等关系中正确的是
A. B. C. D.
10.将函数 的图像向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不
变），得到函数 的图像，下列结论中正确的是A.
B.函数 的图像关于点 对称
C.函数 的一个零点为
D.函数 的图像关于直线 对称
11.两位同学解关于 的方程 ，其中一个人写错了常数 ，得到的根为 或 ，
另一人写错了常数 ，得到的根为 或 ，则下列是原方程的根的是
A. B. C. D.
12.已知函数 ， ，若不等式 对一切
实数 恒成立，则实数 可能取到的正整数值为
A.9 B.8 C.6 D.4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. __________.
14.已知 ， ，且有 ，则 的最小值为__________.
15.已知奇函数 的定义域为 ，导函数为 ，若对任意 ，都有 恒成
立， ，则不等式 的解集是__________.
16.已知 ， 均为锐角， ，则 的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
函数 .（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的值域.
18.（本小题满分12分）
已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，解关于 的不等式 .
20.（本小题满分12分）
已知函数 的图像如图所示，直线 经过 图像的最高点M和最低点
N， 且 .
（1）求 解析式；
（2）计算 .
21.（本小题满分12分）
函数 .
（1）若 有三个解，求 的取值范围；（2）若 ，且 ， ，求实数 的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，当 ，求证： .
2022-2023 学年第一学期第一次阶段测试卷
高三数学答案
1.B【解析】因为 ， ，则 ，故选B.
2.D
3.C【解析】∵ ， ，∵ ，∴ ，∴
，故选C.
4.C【解析】对于A， 在 上单调递减，故A错误；
对于B，由对数函数定义易知， 在 上单调递减，故B错误；
对于 C，设 ，∵ 在 上单调递增，又 在 上单调递增，所以
在 上单调递增，故C正确；
对于D，由函数 的图像知， 在区间 上递减，不符合题意，故D错误.故选C.
5.C【解析】 ，函数 为奇函数，排除BD； ，排除
A；故选C.
6.A 【 解 析 】 ， （ 其 中， ）
当 时 ， 取 得 最 大 值 ， 此 时 ， 得 到 ，
.故选A.
7.B【解析】由题意知 ，则 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，又当 时， ，且 是定义在 上的奇
函数，
所以 时， ， ，
所以当 时， ， .故选B.
8.B 【 解 析 】 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 令 ， 则
，
∴ ，故选B.
9.ABD【解析】对A，由 ，得 ，A正确；
对B，由 ，得 ，根据基本不等式知，B正确：
对C，显然错误；对D，由 ，所以 ，所以D正确.故选：ABD.10.BCD 【 解 析 】 函 数 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 得 到
的图像，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），得到
的图像，故 A 错误；当 时， ，故 B 正确；当 时，
，故C正确； ，故D正确.
故选BCD.
11.BD【解析】令 ，则方程即为： ，
则一人写错了常数 ，得到的根为 或 ，由两根之和得：
另一人写错了常数 ，得到的根为 或 ，由两根之积得： ，
所以方程为 ，解得： 或 ，即 或 ，
解得： 或 .故选BD.
12.CD【解析】若不等式 对一切实数 恒成立，
即不等式 对任意实数 恒成立，
令 ，∴ ，令 得 ，
∴函数 在 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
令 ， ，令 得 ，
易得 在 上递增，在 上递减，取 ， ，取 ， ，
所以 的最大正整数为7.故选CD.
13.
14. 【 解 析 】 因 为 ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时， 取得最小值.故答案为 .
15. 【解析】设 ， 为奇函数，∴ ，即 是偶函数.
∵ 对 任 意 ， 都 有 恒 成 立 ， ∴
∴函数 在 上为增函数，
∵ ∴ ，
又 ∴ ∴ .
16. 【解析】由题意，整理得 ，
等式两边同除以“ ”得： .
∴
∵ 为锐角，∴令 ，∴
∴当 时， 取到最大值 .17.【解析】（1）函数 ，
， ，
， ；
∴ 的单调增区间为 ， ；
（2）令 ，
∴
∴ .
18.【解析】（1）因为 ，∴ ，
又 ，所以 ，
所以
（2）因为 ， ，则 ，
又 ，∴ ，∴ ，
由（1）知，
，所以
19.【解析】（1）由题设，令 ，
由函数 的定义域为 ，
∴ ，可得 .
∴ 的取值范围为 .
（2）由题意， ，
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 .
20.【解析】（1）因为M、N分别是图像的最高点和最低点，
所以M、N的纵坐标分别为1和-1， ，
由此可得 ，解得 ，故 ，故 ，
又 ，将点 代入 ，得 ，
故 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
∴ .
（2）∵ 周期为 ， ，∴ .
21.【解析】（1） 的定义域为 ，由 得 ，
当 或 时， ；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故 有极大值 ，有极小值 .
时， ； 时， ；
若 有三个解，则 .
（2）因为 ， ，
即 ，得 ，
令 ，则 在 上恒成立.
由 得 ，且 .
①当 即 时，由 ，得 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 符合题意.
②当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ，此时 递增，所以 ，这与 相矛盾，所以 不合题意.
综上知， .
22.【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，故切点坐标为 .
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）证明：因为 ，设 ，
故有 ，则 ，
令 ，则 ，
显然 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，
于是得 在 上单调递增，
令函数 ，
∴ ，
令 ，则 ，
当且仅当 时取等号，即有 在 上单调递增，
而 ，即当 时， ，当 时， ，
因此， 在 单调递减，在 上单调递增，
，
从而有 ， ，
因为 ，
故 .
