文档内容
绝密★启用前
永州一中 2023 年高三元月大联考
数学
注意事项：
本卷满分150分，考试时间120分钟.
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点的坐标是
（ ）
A. B. C. D.
3.已知 为等差数列 的前 项和， ，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成
为行业唯一增长的高端机品类.下图是某数据公司统计的2022年第一季度中国折叠屏手机
市场份额.现有2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过5%的品牌折叠屏手机各一部，
从中任取2部手机，则其中有 品牌折叠屏手机的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.在平面内， 是两个定点， 是动点，若 ，则点 的轨迹为
（ ）
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
6.已知直线 是圆 的一条对称轴，设直线 与 轴的交点为 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转 得到直线 ，则直线 被圆 截得的
弦长为（ ）
A.1 B. C.2 D.
7.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.四面体 的各个顶点都在球 的表面上， 两两垂直，且
是线段 上一点，且 ，过 作四面体
外接球 的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 为函数 的一个周期
B. 是曲线 的一个对称中心
C.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的最大值为
D.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象
10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线 上一点 作 的垂线，垂足
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.准线 的方程为
B.若过焦点 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则
C.若 ，则 的最小值为3
D.延长 交抛物线 于点 ，若 ，则
11.若实数 满足 ，则 的值可以是（ ）
A.1 B. C.2 D.
12.如图，已知正三棱柱 中， 为 的中点，直线
与平面 的交点为 ，则以下结论正确的是（ ）A.
B.直线 平面
C.在线段 上不存在一点 使得
D.以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则曲线 在
处的切线方程为__________.
14. 的展开式中所有有理项的系数之和为__________.
15.已知 ，且 ，则 __________.
16.已知 为坐标原点，双曲线 的左､右焦点分别是 ，离
心率为 ，点 是 的右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂
线，垂足是 ，若点 满足 ，则 的最
小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
18.（12分）
已知在 中， ，点 在边 上且满足 .（1）若 的面积为 ，求 的值；
（2）若 ，求 的大小.
19.（12分）
近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面
越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带
货，成就了一批带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类
似，存在竞争关系.
（1）现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行
调查，得到如下数据：
选择甲公司购物平台 选择乙公司购物平台 合计
用户年龄段 岁 40 10 50
用户年龄段 岁 20 30 50
合计 60 40 100
根据小概率值 的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短
视频的用户的年龄有关？
（2）（i）若小李第一天等可能地从甲､乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，
那么第二天去甲平台的概率为 ；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为
0.8.求小李第二天去甲平台购物的概率；
（ii）双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成
功的概率均为 ，三人是否抢购成功互不影响.若 为三人下单成功的总人数，
且 ，求 的取值范围.
参考公式： ，其中 .
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：
20.（12分）
如图①，已知矩形 的长为4，宽为 ，点 是边 上的点，且 .如
图②，将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，平面
平面 .（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 （不包含端点）上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹
角的余弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知 为坐标原点，椭圆 的左､右焦点分别为 ，直线
与椭圆 交于 两点，当 的周长取得最大值8时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率存在且不为0的直线 交椭圆 于 两点，若 ，直线 与
直线 交于点 ，记直线 的斜率分别为 ，试判断 是否为定值，
若是，求出该定值；若不是，说明理由.
22.（12分）
设函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）若 存在极值，求实数 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立（ 为 的导函数），求实数
的值.
永州一中 2023 年高三元月大联考
数学·全解全析及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D B A C A A ABD BCD BC AB
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1.B 【解析】 ，即 ，由
，得 .故选B.2.C 【解析】由 ，得 ，所以
复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，故选C.
3.D 【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，由 ，得
，即 ，解得 ，所以
，则 ，故选D.
方法二：设等差数列 的公差为 ，因为
，所以 .由 可得
，由 得 ，所以 ，则
，故选D.
4.B 【解析】方法一：由题意，知市场份额超过 的折叠屏手机品牌有 ，且
现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，有 品牌折叠屏手机的概率为
，故选 .
方法二：由题意，知市场份额超过 的折叠屏手机品牌有 ，且现有这四个品
牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，基本事件有 ，共6
种，其中有 品牌折叠屏手机的是 ，共3种，所以所求概率为 .故
选B.
5.A 【解析】设 为线段 的中点， .因为 ，所以
，所以 ，所以 ，当点 在点 或 时也满足
，所以点 的轨迹为以线段 为直径的圆.故选 .
6.C 【解析】根据题意，得点 在直线 上，所以 ，
所以 ，故圆 的圆心坐标为 ，半径为 .由直线 得
直线 与 轴的交点为 ，所以 ，所以圆心到直线 的距离为
，故直线 被圆 截得的弦长为 .故选C.
7.A 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以
，又 ，所以 ，所以，故选A.
8.A 【解析】设所得截面圆的面积为 ，半径为 ，由 两两垂直可将四面体
放入长方体中，如图所示，易得外接球半径 ，过
作球 的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面， ；所得截面
圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.在 内， ，所以
，所以 ，所以 ，即
，所以 .故选A.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABD 【解析】对于 ：函数 的最小正周期为 ，所以 为函数
的一个周期，故A正确；
对于B：令 ，解得 ，当 时， ，所以
点 是曲线 的一个对称中心，故B正确；
对于 ：由 ，得
，令 ，得 ，因为 在区间
上单调递增，所以实数 的最大值为 ，故C错误；
对于D：将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到
的图象，易知 为偶函数，
故D正确.
综上，故选ABD.10.BCD 【解析】因为抛物线 的方程为 ，所以 ，所以准线 的方程为
错误；由题意可知 ，B正确；由抛物线 上
的点到焦点 与到准线的距离相等可知 ，所以当 三点共
线时， 取得最小值，即为点 到准线的距离，所以最小值为 正确；如图所
示，不妨设 在第一象限，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，过
作准线 的垂线，垂足为 ，设准线与 轴的交点为 ，则
，易知
，则有 ，即 ，解得 ，则
，D正确.故选BCD.
11.BC 【解析】 ，设
，则由题意得 ，即 .因为
，即 ，当且仅当 ，即 时等
号成立，解得 ，所以 的取值范围是（1，2].故选BC.
12.AB 【解析】如图，延长 交于点 ，连接 ，因为 ，所以
，又 为 的中点，所以 ，所以
，所以 ，故 正确；
连接 交 于点 ，因为四边形 为矩形，所以 是 的中点，
连接 ，则 为 的中位线，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以直线 平面 ，故B正确；
取 的中点 ，连接 ，则 ，又由 可得 平面，故 .过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 平面
，所以 ，故C不正确；
因为 平面 ，所以所求交线即为平面 内以 为圆心，半径为
的圆与侧面 的交线，交线为 该圆，所以交线长为
，故D不正确.故选 .
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【解析】求导可得 ，则 ，又
，则曲线 在 处的切线方程为 ，整理，
得 .故填 .
14. 【解析】由二项式定理，可得 的展开式通项为
，当 ，即 ，时， 为有理
项，所以所有有理项的系数之和为
.故填 .
15. 【解析】 ，即
或 （舍去），
.故填 .
16. 【解析】设半焦距为 ，延长 交 于点 ，由于 是 的平分线，
，所以 是等腰三角形，所以 ，且 是 的中点.根据
双曲线的定义可知 ，即 ，由于 是 的中点，所以 是的中位线，所以 ，又双曲线的离心率为 ，所以
，所以双曲线 的方程为 ，根据题意，知所求的是双曲线右支上
一点到直线 的距离的最小值的平方.设与直线 平行的直线方程为 ，联
立 ，消去 ，可得 ，所以 ，
所以 或1（舍去），所以切点到直线 的距离为 ，所以
的最小值为 .故填 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解析】（1）由 ，得 ①，
当 时， ②，
①-②整理得 ，
当 时， ，即 ，
数列 是以9为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可知 ，
，即 ，
.
18.（12分）
【解析】（1） .
由余弦定理，得 ，
.（2）设 .
由 是等腰三角形及 可得 ，解得 .
在 内，由正弦定理，得 ，
在 内，由正弦定理，得 ，
，
即 或 或 .
的大小为 或 .
19.（12分）
【解析】（1）零假设为 ：用户使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年
龄无关.
根据列联表可得
，
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即用户使用哪家购物平
台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 .
（2）（i）设 “第一天去甲平台购物”， “第一天去乙平台购物”，
“第二天去甲平台购物”，根据题意得
，
则 .
（ii）当 时，由题意知 的所有可能取值为 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
20.（12分）
【解析】（1） ，又 平面 平面 平面
.
又 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 平面 .
（2）假设存在点 .
由题意知 ，
又 由勾股定理可得 ，
.
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，
过点 作垂直于平面 的直线 ，以 点为原点，分别以 所在
直线为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，则
，
设 为平面 的法向量， ，
，则 ，令 ，则 ，
为平面 的一个法向量.
设 ，由题意，知 ，则 ，
设 为平面 的法向量， ，
，令 ，则 ，
则 为平面 的一个法向量，
由 得 ，
解得 .
在线段 （不包含端点）上存在一点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦
值为 ，此时点 为线段 的中点.
21.（12分）
【解析】（1）如图，当直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴交于 点时，
连接 ，由椭圆定义可知 ，显然 ，
同理可知， ，显然 ，
所以当直线 经过焦点 时， 的周长最大，
最大值为 ，所以 .
此时 ，则 ，
即 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆 方程联立得，
设 ，则 ，
可得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
，
所以 为定值，值为1.
22.（12分）
【解析】（1）求导，得 .
若 ，则对任意的 ，
函数 在 上单调递增，此时 无极值.
若 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 存在极小值.
综上所述，若函数 存在极值，则实数 的取值范围是 .（2）不等式 恒成立，即 恒成立.
方法一：设 ，则 ，
当 时，令 ，则 ，
在 上单调递增.
，
存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，
当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增.
，即 ，两边取对数得 ，
的最小值为 ，
.
令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，当且仅当 时，等号成立.
当且仅当 时， 在 上恒成立.
综上， .
方法二：设 ，
易知 在 上单调递增.
又当 时， 当 时， .
当 时， .
的值域为 .
对于 上任意一个值 ，都有唯一的一个正数 ，使得 .
，即 ，
即 .
设 ，
要使 ，只需 .
时，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增.
.
设 ，
则 ，当 时，
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减.
，当且仅当 时，等号成立.
又 .
综上， .
说明：
第（2）问另解：不等式 恒成立，
即 恒成立，令 ，令
，
，当 单调递增，当
单调递减， ，设
，
则 ，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减.
，当且仅当 时，等号成立.
又 .
