热点1-2常用逻辑用语与一元二次不等式恒（能）成立（6题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习

热点 1-2 常用逻辑用语与一元二次不等式恒（能）成立 常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见考查真假命题的判断；全称量词、特称量词命题以及命题的否 定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考考查， 常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点是“充要条件”，考生复习时需多注意这方 面。 不等式是高考数学的重要内容。其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何 等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。 【题型1 含有一个量词命题的否定】 满分技巧 对全称(存在)量词命题进行否定的方法 全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： (1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题 的否定． 【例1】（2023·四川成都·统考二模）命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【变式1-1】（2023·山东青岛·高三青岛二中校考期中）命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）命题“ ”的否定为（ ）A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）命题“ ”的否定为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知命题 ，则命题 的否定为（ ） A． B． C． D． 【题型2 根据量词命题的真假求参数】 满分技巧 利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关 于参数的不等式（组）求参数的取值范围。 【例2】（2023·陕西·校联考模拟预测）命题“ ”是假命题，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）“若 ， 恒成 立”是真命题，则实数 可能取值是（ ） A． B． C．4 D．5 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ， ”是真命题，则实数a的取 值范围为 ． 【变式2-3】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）设命题 ， ，若 是假命题，则实数 的取值范围是 .【变式2-4】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若命题 ：“ ， ”是假命题，则 的取值范围是 . 【题型3 充分与必要条件的判断】 满分技巧 充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p q，q p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． ⇒ ⇒ （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【例3】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知实数a，b满足 ，则“ ”是“ ” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2023·广东·高三执信中学校联考期中）已知 ， ，则p是q的（ ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设 ，则“ ”是“ ”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设 是两个实数，命题“ 中至少有一个数大于1”的充分条 件是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·陕西西安·高三校考期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江 海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 根据充分与必要条件求参数】 满分技巧 根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将 恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式 (组)求出参数的值或取值范围． 【例4】（2023·全国·高三专题练习）若 是 的必要不充分条件，则实数m的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知不等式 成立的一 个必要不充分条件是 ，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·上海松江·高三校考期中）已知 ，且 是 的充分不 必要条件，则实数 的取值范围是 . 【变式4-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）已知 ：“ ”， ：“ ”，若 是 的必 要不充分条件，则实数 的取值范围是 ． 【变式4-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知集合 ， 函数 的值域为集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求正数 的取值范围． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 满分技巧1、一元二次不等式在实数集上的恒成立 ab0 a 0   ax2＋bx＋c 0 x c0 Δ<0 （1）不等式 对任意实数 恒成立⇔ 或 ab0 a0   ax2＋bx＋c0 x c0 Δ<0 （2）不等式 对任意实数 恒成立⇔ 或 2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 f(x)0 A A f(x)0 方法一：若 在集合 中恒成立，即集合 是不等式 的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； f(x) [m,n] 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数 的值域为 ， f(x)a f(x) a ma f(x)a f(x) a na 则 恒成立⇒ min ，即 ； 恒成立⇒ max ，即 . 【例5】（2023·全国·高三课时练习）若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知对一切实数x，不等式 恒成立，求实数a 的取值范围． 【变式5-2】（2023·上海黄浦·高三向明中学校考期中）若对任意的 ，不等式 恒成立， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·河南信阳·高三信阳实验中学校考阶段练习）设函数 ，若对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知关于x的不等式 在 上恒成立，则a的最小值为 . 【题型6 一元二次不等式能成立问题】 满分技巧 不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：x[m,n] a  f(x) a f(x) （1）若存在 ， 有解⇒ min； x[m,n] a  f(x) a f(x) 若对任意 ， 无解⇒ min . x[m,n] a f(x) a f(x) （2）若存在 ， 有解⇒ max； x[m,n] a f(x) a f(x) 若对任意 ， 无解⇒ max. 【例6】（2023·山东泰安·高三校考阶段练习）若不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ） A． 或 B． C． D． 【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）若不等式 在 上有解，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考期中）（多选）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-4】（2023·湖北随州·高三曾都区第一中学校考开学考试）设 ，则关于 的不等式 有解的一个必要不充分条件是（ ） A． B． 或 C． D． （建议用时：60分钟） 1．（2023·河南南阳·高三统考期中）命题“ ， ”的否定为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ，2．（2023·四川成都·统考二模）命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．（2023·黑龙江·高三哈尔滨第六中学校校考期中）若 ，则“ ”是复数“ ” 为纯虚数的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）“ ”是“ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知向量 ， 是非零向量，设甲：向量 ， 共线；乙：关于x的 方程 有实数根；则（ ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 6．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国 四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一， 东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备 军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东 风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·江苏盐城·高三统考期中）数列 满足 ， ，则“ ”是“ 为单调递增数 列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知 ，那么“ 是正整数”是“ 为正整数”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 9．（2023·全国·高三专题练习）“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高三专题练习）设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件为（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 11．（2023·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2023·辽宁大连·高三育明高中校考期中）下列命题错误的是（ ） A．已知非零向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件 B．已知 ， 是实数，则“ ”的一个必要不充分条件是“ ” C．命题“ ， ”的否定为“ ， ”D．若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是 13．（2023·北京·高三景山学校校考开学考试）使得命题“ ”为真命题的k的取值 范围（ ） A． B． C． D． 14．（2023·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则实 数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 15．（2023·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）若命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．（2023·山东潍坊·高三统考期中）若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 17．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当 时，不等式： 恒成立，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．（2023·江西·高三南昌二中校考开学考试）若不等式 对任意实数x均成立， 则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．（2023·四川乐山·高二校考期中）若 ， 为假命题，则 的取值范围为 . 20．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取 值范围是 .