热点2-1函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习

热点 2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调 性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题 部分，一般与导数结合，考查难度较大。 【题型1 判断函数的单调性】 满分技巧 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断 单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。 【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间 上是增 函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，函数 满足 ，且 ， 在 单调递减，则（ ） A． 在 单调递减 B． 在 单调递减 C． 在 单调递减 D． 在 单调递减【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数 在区间 上单调递减，则 函数 的单调增区间是 ． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，对任意 ， 且 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是增函数 B． 是减函数 C． 是增函数 D． 是减函数 【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数 在定义域中满足 ，且在 上单调递减，则 可能是（ ） A． B． C． D． 【题型2 利用函数的单调性求参数】 满分技巧 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。 【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数 在 上是减函数的一个充分不必要 条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数 在区间 上单调递减” 成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． 1 C． D． 0 【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D．【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若 ，都有 成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知 是R上的单调递减函数， 则实数a的取值范围为 ． 【题型3 函数的奇偶性及应用】 满分技巧 1、常见的奇函数与偶函数 （1） （ ）为偶函数； （2） （ ）为奇函数； （3） （ ）为奇函数； （4） （ ）为奇函数； （5） （ ）为奇函数； （6） 为偶函数； （7） 为奇函数； 2、函数奇偶性的应用 （1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； （3）求参数：利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等 性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。 【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 ，下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数 为奇函数，则实数的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数 ，若 为奇函数，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知 为奇函数， 为偶函数，且满 足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【题型4 奇函数+常数求值】 满分技巧 已知 为奇函数，则 ， 设 （其中 为常数），则 ， 【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数 ，且 ，则 的值为 . 【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数 为奇函数，且 ，若 ，则 ． 【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数 的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则 ．【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数 在 上 的最大值和最小值分别为M，N，则 （ ） A． B．0 C．2 D．4 【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数 的最大值和 最小值之和为4，则 ． 【题型5 函数的周期性及应用】 满分技巧 a （ 是不为0的常数） f xa f x f xa f xa T a T 2a （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； 1 f xa f xaf x f x T 2a T 2a （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 ； 1 f xa f x f xa f xb T  ab T 2a a b （5）若 ，则 ； （6）若 ，则 （ ）； 【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 是定义域为 上的奇函数，满足 ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ， 当 时， ，则 （ ） A．0 B． C． D．3 【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函 数，若 ，则 ． 【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数 满足 ， ，则 .【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的奇函数 满足 ，当 时， ，则 . 【题型6 函数的对称性及应用】 满分技巧 1、关于线对称：若函数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别 地，当a＝b＝0时，函数 关于y轴对称，此时函数 是偶函数． f 2ax2b f x 2、关于点对称：若函数 满足 ，则函数 关于点(a，b)对称，特别 地，当a＝0，b＝0时， ，则函数 关于原点对称，此时函数 是奇函数． 【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 的图象的对称轴是（ ） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．不能确定 【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数 在区间 上所有零 点之和为（ ） A．16 B．32 C．36 D．48 【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数 ，则方程 在区间 上的所有实根之和为（ ） A．0 B．3 C．6 D．12 【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数 与函数 的图象 交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为 ，则实数 .【题型7 利用函数的性质比较大小】 【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，设 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．若 为偶函数， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知 ， ， ， ， 则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知 是定义域为 的单调函数， 且 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【题型8 利用函数的性质解不等式】 满分技巧 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 或 的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反， 列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。 【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知 是偶函数， ，且当 时， 单调递 增，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数 ，则 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，对任意正数 ， ，都有 ，且 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则a的取值范围为 . 【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集 为 ． （建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则函数 是（ ） A．偶函数，且在 上是减函数 B．奇函数，且在 上是减函数 C．偶函数，且在 上是增函数 D．奇函数，且在 上是增函数 2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若 为奇函数，则 的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设 ，则（ ） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ；当 时， ，则 （ ） A．-24 B．-12 C． D． 7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ， ，当 时， ，则 （ ） A． B．2 C． D．3 8．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ，且其图像关于直线 对称，若当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知 的定义域为 且 为奇 函数， 为偶函数，且对任意的 ， ，且 ，都有 ，则下列结论正确的是（ ） A． 是偶函数 B． C． 的图象关于 对称 D． 10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数 与 的定义域均为 ， ， ，且 ， 为偶函数，下列结论正确的是（ ） A． 的周期为4 B． C． D． 11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则 ． 12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的偶函数，当 且 时，总有 ，则不等式 的解集为 ． 13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设 为奇函数，若 在 的最大值为3，则 在 的最小值为 . 14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函 数． （1）求 的解析式，并判断 的单调性； （2）已知 ， ，且 ，求 的取值范围． 15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数 对任意 ， ，总有 ，且当 时， ， ． （1）求证： 是 上的奇函数； （2）求证： 是 上的减函数； （3）若 ，求实数 的取值范围．