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专题 14.3 整式的乘法（十一大题型总结）
【题型一：单项式乘以单项式】
1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 1 a3b⋅ (2 ab ) 3 − ( − 1 a ) 2 ⋅(ab) 4
2 3 3
【思路点拨】
本题考查积的乘方，单项式乘单项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据相关运算法则计算各
项，再合并同类项，即可解题．
【解题过程】
解： 1 a3b⋅ (2 ab ) 3 − ( − 1 a ) 2 ⋅(ab) 4
2 3 3
1 8 1
= a3b⋅ a3b3− a2 ⋅a4b4
2 27 9
4 1
= a6b4− a6b4
27 9
1
= a6b4 ．
27
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
（1）6x y2 ⋅ ( − 1 x3y3) ．
2
（2）(−3x y2) 3 + 1 x y3 ⋅(−2x2y3)−(−3x y3) 2 ⋅x
2
【思路点拨】
（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解；
（2）利用积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则进行计算，再合并即可求解；
本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：原式=6× ( − 1) ×(x×x3)×(y2×y3)
2
=−3x4 y5；
（2）解：原式=−27x3y6−x3y6−9x2y6·x
=−28x3y6−9x3y6，
=−37x3y6．3．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：
（1）(2xn+1yn)⋅(−3xy)⋅ ( − 1 x2z ) ；
2
1
（2）−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(y−x) 2 ；
3
（3）(−3xy) 2 ⋅ ( − 1 x2y ) 3 ⋅ ( − 1 yz2) 2
5 4
【思路点拨】
本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方
的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可；
（2）应把x−y与y−x分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运
算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘
法运算法则运算得出即可．
【解题过程】
（1）解：(2xn+1yn)⋅(−3xy)⋅ ( − 1 x2z )
2
= [ 2×(−3)× ( − 1)) (xn+1 ⋅x⋅x2)(yn ⋅y)z
2
=3xn+4 yn+1z；
1
（2）−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(y−x) 2
3
1
=−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(x−y) 2
3
1
=−6× (m2 ⋅m)(n⋅n2)[(x−y) 3 (x−y) 2)
3
=−2m3n3(x−y) 5；
（3）(−3xy) 2 ⋅ ( − 1 x2y ) 3 ⋅ ( − 1 yz2) 2
5 4
=(9x2y2) ( − 1 x6 y3)( 1 y2z4)
125 16=9× ( − 1 ) × 1 (x2x6)(y2y3y2)z4
125 16
9
=− x8y7z4 ．
2000
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：(−3a3x)⋅(−2a2x2) 2 +7(ax) 3 ⋅(a2x) 2 −a7x5，
其中x=−2,a=−1．
【思路点拨】
本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项化简，最
后代值计算即可．
【解题过程】
解：(−3a3x)⋅(−2a2x2) 2 +7(ax) 3 ⋅(a2x) 2 −a7x5
=(−3a3x)⋅(4a4x4)+7a3x3 ⋅a4x2−a7x5
=−12a7x5+7a7x5−a7x5
=−6a7x5，
当x=−2,a=−1时，原式=−6×(−1) 7×(−2) 5=−6×(−1)×(−32)=−192．
【题型二：利用单项式乘法求字母的值】
1
5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知单项式4x y2与− x3y的积为mxny3，则m,n的值为
3
（ ）
4 4
A．m=− ,n=4 B．m=−12,n=−2 C．m= ,n=3 D．m=−12,n=3
3 3
【思路点拨】
4
本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得− x4 y3=mxny3 ，即可求解．
3
【解题过程】
1
解：∵单项式4x y2与− x3y的积为mxny3，
3
∴4x y2× ( − 1 x3y ) =mxny3 ，
3
4
即− x4 y3=mxny3 ，
34
∴m=− ,n=4．
3
故选：A
6．（23-24七年级下·全国·假期作业）若(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2n)=a5b3，则m+n的值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到am+1+2n−1bn+2+2n=a5b3，据此
{m+2n=5)
可得 ，解之即可得到答案．
3n+2=3
【解题过程】
解：∵(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2n)=a5b3，
∴am+1+2n−1bn+2+2n=a5b3，
{m+2n=5)
∴ ，
3n+2=3
13
{ m= )
3
∴ ，
1
n=
3
14
∴m+n= ，
3
14
故答案为： ．
3
7．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）已知−2x3m+1y2n与4xn−2y6−m的积和−4x4 y2是同类项，求
m,n的值；
2
（2）已知单项式− axby+8 与单项式4a2yb3x−y的和为单项式，求这两个单项式的积．
3
【思路点拨】
（1）先计算单项式乘以单项式，再根据同类项的定义得出二元一次方程组，解方程组可得答案；
（2）根据两个单项式的和为单项式可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的定义得出二元一次方程
组，解方程组可得x，y的值，然后再计算这两个单项式的积即可．
【解题过程】
解：∵−2x3m+1y2n ⋅4xn−2y6−m=−8x3m+n−1y2n−m+6，{3m+n−1=4)
∴ ，
2n−m+6=2
{m=2
)
解得： ；
n=−1
2
（2）∵单项式− axby+8 与单项式4a2yb3x−y的和为单项式，
3
2
∴单项式− axby+8 与单项式4a2yb3x−y是同类项，
3
{ x=2y )
∴ ，
y+8=3x−y
{x=4)
解得： ，
y=2
2
∴这两个单项式为− a4b10 和4a4b10，
3
2 8
∴这两个单项式的积为：− a4b10 ⋅4a4b10=− a8b20 ．
3 3
8．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知−2x3m+1y2n与4x−3y4的积与−4x4 y2是同类项．
（1）求m,n的值，
（2）先化简，再求值：5m3n⋅(−3n) 2+(6mn) 2 ⋅(−mn)−mn3 ⋅(−4m) 2．
【思路点拨】
本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出−2x❑ 3m+1y2n ⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4，再由同类
项的定义得到3m+1−3=4，2n+4=2，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【解题过程】
（1）解：−2x❑ 3m+1y2n ⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4，
∵−2x3m+1y2n与4x−3y4的积与−4x4 y2是同类项，
∴−8x3m+1−3y2n+4与−4x4 y2是同类项，
∴3m+1−3=4，2n+4=2，
∴m=2，n=−1；
（2）解：5m3n⋅(−3n) 2+(6mn) 2 ⋅(−mn)−mn3 ⋅(−4m) 2
=5m3n⋅9n2+36m2n2 ⋅(−mn)−mn3 ⋅16m2=45m3n3−36m3n3−16m3n3
=−7m3n3，
当m=2，n=−1时，原式=−7×23×(−1) 3=56．
【题型三：单项式乘多项式及求值】
9．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知x2−x−2=0，则代数式−x3+2x2+x+2017的值为
．
【思路点拨】
由已知的式子可得x2=x+2，x2−x=2，然后将所求的式子降次变形结合整体思想解答即可．
【解题过程】
解：∵x2−x−2=0，
∴x2=x+2，x2−x=2，
∴−x3+2x2+x+2017
=−x(x+2)+2x2+x+2017
=−x2−2x+2x2+x+2017
=x2−x+2017
=2+2017
=2019；
故答案为：2019．
10．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
（1）(−3 y)(4x2y−2xy)；
（2）(−3ab)⋅(−2ab2+ab−2)；
（3）−
1
x2y⋅
(2
y2−
1
x+
1)
；
2 3 3 4
（4）3a2(a3b2−2a)−4a(−a2b) 2 ；
（5）2a2 ⋅(3a2−5b)；
（6） (2 ab2−2ab ) ⋅ 1 ab．
3 2
【思路点拨】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：(−3 y)(4x2y−2xy)
=−12x2y2+6x y2；
（2）解：(−3ab)⋅(−2ab2+ab−2)
=6a2b3−3a2b2+6ab；
（3）解：−
1
x2y⋅
(2
y2−
1
x+
1)
2 3 3 4
1 1 1
= − x2y3+ x3y− x2y；
3 6 8
（4）解：3a2(a3b2−2a)−4a(−a2b) 2
=3a5b2−6a3−4a1+2×2b2
=3a5b2−4a5b2−6a3
= −a5b2−6a3；
（5）解：2a2 ⋅(3a2−5b)
=6a4−10a2b；
（6）解： (2 ab2−2ab ) ⋅ 1 ab
3 2
1
= a2b3−a2b2 ．
3
11．（2023八年级上·全国·专题练习）计算下列各题．
（1）3a2b(−4a2b+2ab2−ab)；
（2）−5x⋅(x2y−x y2)−2x2(1 xy+ y2) ．
2【思路点拨】
本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算；
（2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项．
【解题过程】
（1）解：原式=3a2b×(−4a2b)+3a2b×2ab2−3a2b×ab
= −12a4b2+6a3b3−3a3b2；
1
（2）解：原式=−5x⋅x2y+5x⋅x y2−2x2× xy−2x2y2
2
=−5x3y+5x2y2−x3y−2x2y2
=−6x3y+3x2y2．
12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：
(−3a) 2−2a(−ab+3b2)+4 ( ab2− 1 a2b− 9 a2) ，其中a，b满足 (a−4) 2+ | b+ 3) =0．
2 4 2
【思路点拨】
本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项化
简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【解题过程】
解：(−3a) 2−2a(−ab+3b2)+4 ( ab2− 1 a2b− 9 a2)
2 4
=9a2+2a2b−6ab2+4ab2−2a2b−9a2
=−2ab2，
∵(a−4) 2+
|
b+
3)
=0，(a−4) 2≥0，
|
b+
3)
≥0，
2 2
∴(a−4) 2=
|
b+
3)
=0，
2
3
∴a−4=0，b+ =0，
2
3
∴a=4，b=− ，
2
( 3) 2 9
∴原式=−2×4× − =−8× =−18．
2 4
【题型四：单项式乘多项式的应用】13．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为
(3a＋2b)米，宽为(2a＋b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a=3，b=2，求这两条小路的总面积．
【思路点拨】
本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法
则．
（1）根据小路的面积等于两个长方形面积和减去中间重叠部分的正方形的面积，即可计算．
（2）把a、b的值代入化简后的代数式中求值即可．
【解题过程】
（1）解：b(3a+2b)+b(2a+b)−b2
=3ab+2b2+2ab+b2−b2
=5ab+2b2；
答：这两条小路的总面积为(5ab+2b2 )m2．
（2）解：将a=3，b=2代入5ab+2b2，得
5×3×2+2×22=38(m2)．
答：这两条小路的总面积为38m2．
14．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．
客厅用地是长为(4a+2b)米，宽为3a米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为(3a−b)米的长方形．
（1）这块土地的总面积是多少平方米？
（2）求当a=2米，b=4米时，厨房的用地面积．
【解题过程】解：（1）由图可知：厨房长为(3a−b)米，宽为3a−2a=a米，这块土地的总面积为：
(4a+2b)3a+2a(3a−b)+a(3a−b)
=12a2+6ab+6a2−2ab+3a2−ab
=(21a2+3ab)平方米，
答：这块土地的总面积是(21a2+3ab)平方米．
（2）当a=2米，b=4米时，厨房用地面积为：
a(3a−b)=2×(3×2−4)=4（平方米）．
答：厨房的用地面积为4平方米．
15．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含
m、n的代数式表示△AEG的面积．
（2）如图2，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示△DBF的面积．
（3）如图3，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，已知
正方形CEFG的边长为8，则△AEN的面积为 （请直接写出结果，不需要过程）
【思路点拨】
本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用；
（1）由S ❑ ＝S ❑ +S ❑ ﹣S ❑ ，结合整式的乘法即可求解；
△ AEG 梯形 ABCG △ GCE △ ABE
（2）由S =S +S −S ，结合整式的乘法即可求解；
△DBF 梯形DCEF △BCD △BEF
（3）利用（1）（2）的结论即可求解．
【解题过程】
解：（1）S =S +S −S
△AEG 梯形ABCG △GCE △ABE
1 1 1
= (m+n)m+ n2− m(m+n)
2 2 2
1
= n2 ；
2
（2）S =S +S −S
△DBF 梯形DCEF △BCD △BEF1 1 1
= (m+n)n+ m2− n(m+n)
2 2 2
1
= m2 ；
2
（3）连接GE，如图3，
1
由（1）可得△AEG的面积= ×64=32，
2
1
由（2）可得：三角形GEN的面积为 ×64=32，
2
所以，△AEN的面积=32+32=64，
故答案为：64．
16．（23-24七年级上·广西南宁·期中）将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形
ABCD内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为S ，S ，已知小长方形的长为a，宽为b，
1 2
且a>b．
（1）当a=7，b=2，AD=20时，求长方形ABCD的面积；
（2）当AD=20时，请用含a，b的式子表示S −S 的值；
1 2
（3）当AD=m时，若S −S 的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？
1 2
【思路点拨】
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是观察图形，表示出长方形的长和宽．
（1）观察图形，求出长方形ABCD的宽和长，根据面积公式求出答案；
（2）观察图形，求出面积为S 和面积为S 的长方形的长和宽，列出式子，进行化简即可；
1 2
（3）把AD=m代入由（2）得S −S ，然后进行化简，然后解答即可．
1 2【解题过程】
（1）由图形可知：长方形ABCD的宽AB为a+4b，长为AD，
∴长方形ABCD的面积为：AD(a+4b)，
∴当a=7，b=2，AD=20时，
长方形ABCD的面积为：
20×(7+4×2)
=20×(7+8)
=20×15
=300；
（2）由图形可知：面积为S 的长方形的长为AD−a，宽为4b，面积为S 的长方形的长为AD−3b，宽为
1 2
a，
∴当AD=20时，
S −S
1 2
=4b(AD−a)−a(AD−3b)
=80b−4ab−20a+3ab
=80b−20a−ab；
（3）由（2）可知：S −S =4b(AD−a)−a(AD−3b)，
1 2
∴当AD=m时，
S −S
1 2
=4b(m−a)−a(m−3b)
=4mb−4ab−am+3ab
=m(4b−a)−ab，
∵S −S 的值与m无关，
1 2
∴4b−a=0，即a=4b．
【题型五：利用单项式乘多项式求字母的值】
17．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若x(x+2)=ax2+bx，则a+b=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拨】
本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相
等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解题过程】解：∵x(x+2)=x2+2x=ax2+bx，
∴a=1,b=2，
∴a+b=3，
故选：A．
18．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知M= y2+2y+a，N=−y，P= y3+2y2−5 y+2，且
M⋅N+P的值与y无关，则a= ．
【思路点拨】
先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于a的方程，求解即可．此
题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键．
【解题过程】
解：M⋅N+P=−y(y2+2y+a)+ y3+2y2−5 y+2
=−y3−2y2−ay+ y3+2y2−5 y+2
=(−a−5)y+2，
∵M⋅N+P的值与y无关，
∴−a−5=0，
∴a=−5．
故答案为：−5．
19．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知x(x−a)+b(x+a)=x2+5x−6，当x为任意数时该等式
都成立，则a(b−1)+b(a+1)的值为（ ）
A．17 B．−7 C．−1 D．-17
【思路点拨】
本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为x2+(−a+b)x+ab=x2+5x−6，根据当x为任意数
时该等式都成立，可得−a+b=5,ab=−6，然后代入，即可求解．
【解题过程】
解：x(x−a)+b(x+a)=x2+5x−6，
∴x2+(−a+b)x+ab=x2+5x−6，
∵x(x−a)+b(x+a)=x2+5x−6，当x为任意数时该等式都成立，
∴−a+b=5,ab=−6，
∴a(b−1)+b(a+1)
=ab−a+ab+b=2ab−a+b
=2×(−6)+5
=−7
故选：B
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）若x(ax3+x2+b)+3x−2c=x3+5x+4恒成立，求a+b+c的值．
【思路点拨】
本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式x(ax3+x2+b)+3x−2c=x3+5x+4转化
为ax4+(b−2)x−2c−4=0，则问题转化为ax4+(b−2)x−2c−4=0恒成立，即a=0且b−2=0且
−2c−4=0，即可解得a、b、c，进而可得答案．
【解题过程】
解：∵x(ax3+x2+b)+3x−2c=ax4+x3+bx+3x−2c，
又∵x(ax3+x2+b)+3x−2c=x3+5x+4恒成立，
∴ax4+x3+bx+3x−2c=x3+5x+4恒成立，
即：ax4+(b−2)x−2c−4=0恒成立，
∴a=0，b−2=0，−2c−4=0，
解得：a=0，b=2，c=−2，
∴a+b+c=0+2+(−2)=0，
即a+b+c的值为0．
【题型六：多项式乘多项式】
21．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
（1）(4m+5n)⋅(5m−4n)；
（2）(x+3)(x+4)−2(x+6)；
（3） (1 x2+x+4 )(1 x−2 ) ．
4 2
【思路点拨】
（1）多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先多项式与多项式的乘法法则和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可；
（3）多项式与多项式的乘法法则计算即可；
【解题过程】（1）原式=20m2−16mn+25mn−20n2
=20m2+9mn−20n2；
（2）原式=x2+4x+3x+12−2x−12
=x2+5x；
1 1 1
（3）原式= x3− x2+ x2−2x+2x−8
8 2 2
1
= x3−8．
8
22．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
（1）(x+2y)(x−2y)；
（2）(−2x+3)(−3x+5)；
（3）(a−b)(a2+ab+b2)；
（4）(1−x+ y)(x+ y)．
【思路点拨】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加．
（1）（2）（3）（4）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可．
【解题过程】
（1）(x+2y)(x−2y)=x⋅x−x⋅2y+2y⋅x−2y⋅2y
=x2−2xy+2yx−4 y2=x2−4 y2．
（2）(−2x+3)(−3x+5)
=−2x×(−3x)−2x×5−3×3x+3×5
=6x2−10x−9x+15=6x2−19x+15．
（3）(a−b)(a2+ab+b2)
=a⋅a2+a⋅ab+a⋅b2+(−b)⋅a2+(−b)⋅ab+(−b)⋅b2
=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3=a3−b3．
（4）(1−x+ y)(x+ y)=x+ y−x2−xy+xy+ y2
=x+ y−x2+ y2．
23．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
（1）(2x−3 y)(4x2+6xy+9 y2)；（2）(3a+2)(a−4)−3(a−2)(a−1)．
【思路点拨】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果．
【解题过程】
（1）解：(2x−3 y)(4x2+6xy+9 y2)
=8x3+12x2y+18x y2−12x2y−18x y2−27 y3
=8x3−27 y3；
（2）解：(3a+2)(a−4)−3(a−2)(a−1)
=3a2−12a+2a−8−3(a2−a−2a+2)
=3a2−12a+2a−8−3a2+3a+6a−6
=−a−14．
24．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
（1）(3a+2)(4a−1)；
（2）(3m−2n+2)(3m+2n+2)；
（3）(y−2)(y2+2y+4)−(y2+1)(y−1)．
【思路点拨】
利用多项式乘多项式，进行计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：原式=12a2−3a+8a−2=12a2+5a−2；
（2）解：原式=9m2+6mn+6m−6mn−4n2−4n+6m+4n+4
=9m2+12m−4n2+4；
（3）解：原式= y3+2y2+4 y−2y2−4 y−8−(y3−y2+ y−1)
= y3−8−y3+ y2−y+1
= y2−y−7；
【题型七：利用多项式乘多项式求字母的值】
25．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）若(x+3)(x−m)=x2+x+n，则m+n的值为 ．
【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则，等式的恒等原理的运用，熟练掌握等式的结构特征是解题的关键．
首先利用多项式乘以多项式法则进行运算，再根据等式两边的同类项系数相等，求出m、n的值，即可求
解．
【解题过程】
解：∵(x+3)(x−m)=x2+(3−m)x−3m，
又∵(x+3)(x−m)=x2+x+n，
∴x2+(3−m)x−3m=x2+x+n，
∴3−m=1，−3m=n
解得：m=2，n=−6，
∴m+n=2−6=−4，
故答案为：−4．
26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知m，n为常数，对于任意x的值都满足
(x−10)(x−8)+m=(x−9)(x−n)，则m+n= ．
【思路点拨】
本题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于m，n的方程，解方程得出m，
n的值，进而得出m+n的值．
【解题过程】
解：∵对于任意x的值都满足(x−10)(x−8)+m=(x−9)(x−n)，
∴x2−18x+80+m=x2−(9+n)x+9n，
∴9+n=18，80+m=9n，
∴n=9，m=1，
∴m+n=1+9=10，
故答案为：10．
27．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且(x+m)(x+n)=x2+ax+24，则a的值不
可能是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【思路点拨】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项式的运算法
则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值．
【解题过程】解：∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn=x2+ax+24，
∴m+n=a,mn=24，
∵m、n为整数，
∴mn=24=1×24=(−1)×(−24)=2×12 =(−2)×(−12)=3×8 =(−3)×(−8)=4×6=(−4)×(−6)，
∴a=m+n=±25或±14或±11或±10，
∴a的值不可能是12，
故选：C．
28．（2024·浙江宁波·二模）多项式M与多项式x2−3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx−3，则
2a+b+c= ．
【思路点拨】
本题考查的是多项式乘多项式和单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项
式和单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解题过程】
解：∵多项式M与多项式x2−3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx−3，
∴设多项式M=2x2+mx−3，
由题意得：
(2x2+mx−3)×(x2−3x+1)
=2x4−6x3+2x2+mx3−3mx2+mx−3x2+9x−3
=2x4+(m−6)x3−(3m+1)x2+(m+9)x−3，
∴m−6=a，−3m−1=b，c=m+9，
∴2a+b+c=2m−12−3m−1+m+9=−4，
故答案为：−4．
【题型八：已知多项式乘积不含某项求字母的值】
29．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）如果计算(5−na+3a2+ma3 )(1−4a2 )的结果不含a3项，那么m
和n之间的数量关系为( )
A．4m+n=0 B．m+4n=0 C．4m−n=0 D．m−4n=0
【思路点拨】
本题考查了多项式乘以多项式，根据其运算法则进行计算，然后合并同类项，根据题意的结果不含 项，即可求解．
(5−na+3a2+ma3 )(1−4a2 ) a3
【解题过程】
解： (5−na+3a2+ma3 )(1−4a2 )
=5−20a2−na+4na3+3a2+12a4+ma3−4ma5
=5−17a2−12a4−an+(4n+m)a3−4ma5
∵(5−na+3a2+ma3 )(1−4a2 )的结果不含a3项，
∴4n+m=0
故选：C．
30．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）若(ax−1)(−x2+bx−4)的结果不含x的二次项和一次项，则
4a−b的值为 ．
【思路点拨】
本题考查了多项式乘以多项式结果不含某项的问题，先根据多项式的乘法法则将算式展开，再根据其结果
不含x的二次项和一次项，让x的二次项和一次项系数分别为0，求出a和b的值，代入计算即可求解，掌握
多项式乘以多项式结果不含某项即该项得系数为0是解题的关键．
【解题过程】
解：(ax−1)(−x2+bx−4)=−ax3+abx2−4ax+x2−bx+4=−ax3+(ab+1)x2−(4a+b)x+4，
∵(ax−1)(−x2+bx−4)的结果不含x的二次项和一次项，
{ab+1=0)
∴ ，
4a+b=0
{ a= 1 ) { a=− 1 )
解得 2 或 2 ，
b=−2 b=2
∴4a−b=4或−4，
故答案为：4或−4．
31．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若(x2+mx−1)(x2+2x+n)的积中不含x项与x3项，则求代数
式(−m2n2) 2 +2m+n的值为 ．【思路点拨】
此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后
根据积中不含x和x2项，求出m与n的值，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键．
【解题过程】
解：(x2+mx−1)(x2+2x+n)
=x4+2x3+nx2+mx3+2mx2+mnx−x2−2x−n
=x4+(2+m)x3+(n+2m−1)x2+(mn−2)x−n，
∵(x2+mx−1)(x2+2x+n)的积中不含x项与x3项，
∴2+m=0，mn−2=0，
∴m=−2，n=−1，
∴(−m2n2) 2 +2m+n=[−(mn) 2) 2 +2m+n，
=(mn) 4+2m+n
=(−2×1) 4+2×(−2)−1=11，
故答案为：11．
32．（2023八年级·全国·专题练习）若(2x2−mx+2)(x2+3x−n)的乘积中不含 x2 与 x3 项，求m2−n2
的值．
【思路点拨】
多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中
不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于m，n的等式，求出后再求代数式值．
【解题过程】
解：原式=2x4+6x3−2nx2−mx3−3mx2+mnx+2x2+6x−2n，
=2x4+(6−m)x3−(3m+2n−2)x2+(mn+6)x−2n，
∵乘积中不含 x2 与 x3 项，
∴6−m=0，3m+2n−2=0，
解得：m=6，n=−8，
∴m2−n2=62−(−8) 2=−28．【题型九：多项式乘多项式的应用】
33．（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些
纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为(4x+3 y)和(3x+2y)的长方形．下列判断正
确的是（ ）
A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张
C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用
【思路点拨】
此题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，根据(4x+3 y)(3x+2y)=12x2+17xy+6 y2，得拼接这样
的一个长方形所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张，由此可得出答案．
【解题过程】
解：∵(4x+3 y)(3x+2y)=12x2+17xy+6 y2，
∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为(4x+3 y)和(3x+2y)的长方形，所需甲种纸片12张，乙种
纸片17张，丙种纸片6张，
∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，
∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张．
故选：C．
34．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片分别按图①和图
②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示．若长方形中边AB，AD的长度分别为m，n；设图①中阴影部分面积为S ，图②中
1
阴影部分面积为S ，当m−n=5时，S −S 的值为 ．
2 1 2
【思路点拨】
本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式
S −S =n(m−a)+(a−b)(n−a)−[m(n−a)+(a−b)(m−a))，再去括号，合并同类项即可求解．
1 2【解题过程】
解：图1中阴影部分的面积S =n(m−a)+(a−b)(n−a)，
1
图2中阴影部分的面积S =m(n−a)+(a−b)(m−a)，
2
S −S =n(m−a)+(a−b)(n−a)−[m(n−a)+(a−b)(m−a))
1 2
=nm−na+n(a−b)−a(a−b)−mn+am−m(a−b)+a(a−b)
=b(m−n)
=5b．
故答案为：5b．
35．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，某乡镇有一块长为(4a+b)米，宽为(3a+b)米的长方形
耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的长方形耕地，退耕还林．
（1）求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简）
（2）当a=200，b=100时，求退耕还林的面积．（结果用科学记数法表示）
【思路点拨】
本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
（1）根据图形及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知退耕还林的面积为(5a2+4ab)平方米，然后把a=200，b=100代入求解，最后用科学
记数法表示即可．
【解题过程】
（1）解：根据题意得：(3a+b)(4a+b)−(a+b)(2a+b)
=12a2+7ab+b2−(2a2+3ab+b2
)
=12a2+7ab+b2−2a2−3ab−b2
=(10a2+4ab)平方米；
（2）解：当a=200，b=100时，10a2+4ab=10×2002+4×200×100=480000=4.8×105，
答：退耕还林的面积4.8×105平方米．
36．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的
小长方形放入到大长方形内．
（1）大长方形的长a=______，宽b=______．（用含m，n的式子表示）
（2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示）
（3）设大长方形的面积为S ，大长方形内阴影部分的面积为S ，若S =4S ，求m与n的数量关系．
1 2 1 2
【思路点拨】
此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，
认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
（1）利用图形和整式的加减即可求解；
（2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
（3）表示出大长方形的面积和阴影不符的面积，然后结合S =4S 求解即可．
1 2
【解题过程】
（1）解：大长方形的长a=m+n+3m=4m+n，宽b=m+n+m=2m+n；
（2）解：(4m+n)(2m+n)−6m(m+n)
=8m2+4mn+2mn+n2−6m2−6mn
=2m2+n2
∴阴影部分的面积为2m2+n2；
（3）解：S =(4m+n)(2m+n)=8m2+6mn+n2，阴影部分的面积为2m2+n2
1
∵S =4S
1 2
∴8m2+6mn+n2=4(2m2+n2)=8m2+4n2
∴6mn=3n2
∴n=2m．
【题型十：整式的混合运算及化简求值】
37．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算：（1）(2x2) 3 −6x3(x3+2x2+x)；
（2）(2x−1)(x+4)+(2x+3)(x−5)．
【思路点拨】
（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可；
（2）根据多项式乘以多项式化简即可；
【解题过程】
（1）解：原式=8x6−(6x6+12x5+6x4)
=8x6−6x6−12x5−6x4
=2x6−12x5−6x4
（2）原式=2x2−x+8x−4+2x2+3x−10x−15
=(2x2+2x2)+(3x+8x−10x−x)+(−15−4)
=4x2−19
38．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ( − 3 x+ 2 y2) ⋅(3 y−2x2)−2y⋅ ( y2−x2y− 9 x ) ．
2 3 4
【思路点拨】
本题考查了整式的乘法运算，根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解．
【解题过程】
解： ( − 3 x+ 2 y2) ⋅(3 y−2x2)−2y⋅ ( y2−x2y− 9 x )
2 3 4
9 4 9
=− xy+3x3+2y3− x2y2−2y3+2x2y2+ xy.
2 3 2
4
=3x3+(2y3−2y3 )+(− x2y2+2x2y2 )
3
2
=3x3+ x2y2
3
39．（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：
1
（1）(2+a)(2−a)+a(a−5b)+3a5b3÷(−a2b) 2，其中ab=− ；
2
5
（2）2(2x−1)(2x+1)−5x(−x+3 y)+4x(−4x− y)，其中x=−1，y=2．
2
【思路点拨】本题考查整式乘法的化简求值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先利用多项式的乘法展开，然后合并化简，再整体代入解题即可；
（2）先利用多项式的乘法展开，然后合并化简，再代入数值解题即可
【解题过程】
（1）解：(2+a)(2−a)+a(a−5b)+3a5b3÷(−a2b) 2
=4−a2+a2−5ab+3ab
=−2ab+4，
1 1
当ab=− 时，原式=−2×(− )+4=5；
2 2
5
（2）解：2(2x−1)(2x+1)−5x(−x+3 y)+4x(−4x− y)
2
=8x2−2+5x2−15xy−16x2−10xy
=−3x2−25xy−2，
当x=−1，y=2时，原式=−3−25×(−1)×2−2=45．
40．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）先化简再求值： (2x+ y) 2−(y+2x)(2x−y)−2y(x+ y)，
( 4) 2 | 3)
其中 x− + y+ =0．
5 2
【思路点拨】
本题是化简求值问题，考查了乘法公式，单项式乘以多项式法则，整式的混合运算和求解，能正确运用以
上运算法则是解题的关键．
根据乘法公式、单项式乘以多项式法则进行展开，再合并同类项，求出x和y的值，代入式子计算即可．
【解题过程】
解：(2x+ y) 2−(y+2x)(2x−y)−2y(x+ y)，
=4x2+ y2+4xy−4x2+ y2−2xy−2y2
=4xy−2xy
=2xy．
( 4) 2 | 3)
当 x− + y+ =0时，
5 2
( 4) 2 | 3)
∵ x− ≥0， y+ ≥0，
5 24 3
∴x− =0，y+ =0，
5 2
4 3
解答x= ，y=− ，
5 2
4 ( 3) 12
故原式2xy=2× × − =− ．
5 2 5
12
故答案为− ．
5
【题型十一：多项式除以单项式】
41．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
（1）(12x3−18x2+6x)÷(−6x)
（2）(9x y2−6x2y+12x2y3)÷(−3xy)
（3）(2x2y2−3)⋅y−(9x2y2−15x4 y4)÷(3x2y)．
【思路点拨】
本题考查了整式的四则混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题；
（2）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题；
（3）先根据单项式乘多项式法则，以及多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，即可解题．
【解题过程】
（1）解：(12x3−18x2+6x)÷(−6x)
=12x3÷(−6x)−18x2÷(−6x)+6x÷(−6x)
=−2x2+3x−1；
（2）解：(9x y2−6x2y+12x2y3)÷(−3xy)
=9x y2÷(−3xy)−6x2y÷(−3xy)+12x2y3÷(−3xy)
=−3 y+2x−4x y2；
（3）解：(2x2y2−3)⋅y−(9x2y2−15x4 y4)÷(3x2y)
=2x2y3−3 y−3 y+5x2y3=7x2y3−6 y．
42．（2023八年级上·全国·专题练习）计算：
（1）(8x4−5x3 )÷(−2x2 )；
（2）(45a3b2−12a2b3 )÷3a2b；
（3）(−28x y3+77x y2−84x)÷(−7x)；
（4） ( − 5 xyz2−x2yz+ 3 x y2z ) ÷ 1 xyz．
12 4 12
【思路点拨】
各小题直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【解题过程】
（1）解：(8x4−5x3 )÷(−2x2
)
=8x4÷(−2x2 )−5x3÷(−2x2
)
5
=−4x2+ x；
2
（2）解：(45a3b2−12a2b3 )÷3a2b
=45a3b2÷3a2b−12a2b3÷3a2b
=15ab−4b2；
（3）解：(−28x y3+77x y2−84x)÷(−7x)
=−28x y3÷(−7x)+77x y2÷(−7x)−84x÷(−7x)
=4 y3−11y2+12；
（4）解： ( − 5 xyz2−x2yz+ 3 x y2z ) ÷ 1 xyz
12 4 12
5 1 1 3 1
=− xyz2÷ xyz−x2yz÷ xyz+ x y2z÷ xyz
12 12 12 4 12
=−5z−12x+9 y．
43．（23-24八年级上·四川泸州·期中）先化简再求值： ，其中
[(x+2y)(2x−y)−2x(x+4 y))÷4 y3
x=− ,y=1．
5
【思路点拨】
本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题
关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法，然后计算多项式除以单项式，
最后代入计算即可得．
【解题过程】
解：原式=(2x2−xy+4xy−2y2−2x2−8xy)÷4 y
=(−5xy−2y2)÷4 y
=−5xy÷4 y−2y2÷4 y
5 1
=− x− y，
4 2
3 5 ( 3) 1 1
将x=− ,y=1代入得：原式=− × − − ×1= ．
5 4 5 2 4
44．（23-24六年级下·山东烟台·期末）化简求值：[3x(x2y−x y2)+xy(xy−x2))÷(x2y)，其中
|x−2024)+(y−2023) 2=0．
【思路点拨】
本题考查了整式的化简求值，先算乘法，再合并同类项，然后计算除法化简原式，利用非负数的性质求出
x与y的值，代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【解题过程】
解：[3x(x2y−x y2)+xy(xy−x2))÷(x2y)
=(3x3y−3x2y2+x2y2−x3y)÷x2y
=(2x3y−2x2y2)÷x2y
=2x−2y，
∵|x−2024)+(y−2023) 2=0，
∴x−2024=0，y−2023=0，当x=2024，y=2023时，
原式=2(x−y)=2×(2024−2023)=2．
