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专题 14.4 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题
目录
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】................................................................................................1
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】........................................................................................................2
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................................................................2
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】........................................................................................3
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】............................................................................................................5
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】............................................................................................................5
【典型例题】
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（2024·陕西榆林·三模）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，(2)先化简，再求值： ．
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若 ，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知 ，当x为任意数时该等式都
成立，则 的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式 展开后不含x的一次项，则
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含 的项，则常数a的值
为 ．
2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若 的积中不含 项与 项，则求代数式
的值为 ．
3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
5．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式 与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式 ，B中x的一次项系数为0，则 ．
(2)若B为 ，求 的值．
(3)若A为关于x的二次三项式 ，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c
的值；如果不可能，请说明理由．
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽为
的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出
一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并说
明理由．【变式训练】
1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成 部分，除阴影图形
外，其余 部分为形状和大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 ．
(1)计算：小长方形 的长 ________，小长方形 的周长 ________；（用含 的代数式表示）；
(2)小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释．
2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块，除阴影
外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ．
(1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含 的代数式表示）；
(2)分别计算阴影 的周长（用含 的代数式表示），并说明阴影 与阴影 的周长差与 的取值无关；
(3)当 时，比较阴影 面积的大小
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式 ，所以 ，则 ．
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未
被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化时，
的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式 ，所以 ，即 ．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角的
面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）若 是完全平方式，则常数 的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值为
．
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式 是一个完全平方式，则
3．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式 是一个完全平方式，则 ．
4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足 ，那么 ．
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式 （ 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外
两个多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式， 的绝对值是这组平衡多
项式的平衡因子．
例如：对于多项式 ，因为 ，所以多项式 是一
组平衡多项式，其平衡因子为 ．
任务：
(1)小明发现多项式 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：
，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；(2)判断多项式 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由；
(3)若多项式 （ 是常数）是一组平衡多项式，求 的值．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·湖北咸宁·期中）定义：若 ，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是
关于1的伴随数， 与 是关于-3的伴随数．
(1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与 是关于2的伴随数．
(2)若a与 是关于3的伴随数， 与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求
的值.
(3)现有 与 (k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值．
2．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）定义 ，如 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的值与 无关，求 值．
3．（23-24八年级上·福建福州·期中）若整式A只含有字母 ，且A的次数不超过3次，令
，其中 ， ， ， 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：
为整式 的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式
，则 ， ， ， ，故A的关联点坐标为
(1)若 ，则A的关联点坐标为_______________
(2)已知整式 是 与 的乘积，其中 ，若整式 的关联点为 ，求 和 的值
(3)若整式，整式是只含有字母的一次多项式，整式是整式与整式的平方的乘积，若整式的关联点为，请直
接写出整式的表达式。
