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专题 14.5 乘法公式（6 大知识点 19 类题型）（知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】平方差公式
(1)平方差公式的推导：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)语言叙述：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
(3)公式的特点：
①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；
②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先
平方后作差)．
【特别提示】平方差公式的特征 利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特
点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减
去相反项的平方，千万不要颠倒了．
【知识点2】完全平方公式
（1）两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
（2）语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．
（3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都
是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，
二者也仅差一个“符号”不同．
（4）完全平方公式的特征： 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．
【知识点3】添括号法则
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括
到括号里的各项都改变符号．
【特别提示】添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变
符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，
而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．
【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．
(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，
合并后即可推导出平方差公式．
(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公
式．
【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用
添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，
然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．
【知识点6】运用乘法公式解探索规律题
解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规
律．
这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确
性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．
知识点与题型目录
【知识点一】平方差公式
【题型1】平方差公式的辨析...................................................3;
【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................3;
【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................3;
【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................3;
【题型5】平方差公式的逆运算.................................................4;
【题型6】平方差公式与规律问题...............................................4;
【题型7】平方差公式与几何图形...............................................5;
【知识点二】完全平方公式
【题型8】完全平方公式的辨析.................................................6;
【题型9】运用完全平方公式进行运算...........................................6;
【题型10】运用完全平方公式变形进行求值......................................7;
【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算..............................7;
【题型12】求完全平方公式的字母系数..........................................7;
【题型13】运用完全平方公式进行化简求值......................................8;
【题型14】完全平方公式与规律问题............................................8;
【题型15】完全平方公式与几何问题............................................9;
【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................10;
【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................11;
【直通中考与拓展延伸】
【题型18】直通中考.........................................................12;
【题型19】拓展延伸.........................................................12.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】平方差公式的辨析
【例1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列多项式的乘法中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】运用平方差公式进行运算
【例2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算 的结果是（ ）
A． B．－32 C．0 D．78
【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： ．
【题型3】运用平方差公式进行有理数简便运算
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算
(1) ； (2) ．
【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习） 的计算结果是（ ）．
A． B．0 C．1 D．【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．
【题型4】运用平方差公式进行化简求值
【例4】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【变式1】（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知 ，则 的值（ ）
A． B．8 C．13 D．15
【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知 ，则代数式 值为
．
【题型5】平方差公式的逆运算
【例5】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）若 ， ，则代数式 的值是
．
【变式1】（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）已知 ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组 的解，则代
数式 ．
【题型6】平方差公式与规律问题
【例6】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这
个正整数为“智慧数”．因为 ， ， ， ，……，所以按从小到大的
顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第
个“智慧数”．
【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现： ， ， ， ，
， ， ， ，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2】（2024·山东菏泽·一模）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n
为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法
则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和
……
请根据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是
【题型7】平方差公式与几何图形
【例7】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），
其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，且 ．(1)这张长方形大铁皮的长为____ ，宽为_____ ；（用含a、b的代数式表示）
(2)①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）；
②若一个小长方形的周长为 ，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为 ，求a、b的值，并
求这张长方形大铁皮的面积S．
【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）正方形 和正方形 如图摆放（点E，G分别在线
段
上），已知 ， ．若 ， ，则该图中两个阴影三角形的面积和为 ．
【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正
方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8】完全平方公式的辨析
【例8】下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】下列多项式中不是完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型9】运用完全平方公式进行运算
【例9】计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【变式1】若 ，则 的结果是（ ）
A．23 B．8 C． D．
【变式2】计算： ．
【题型10】运用完全平方公式变形进行求值
【例10】已知 ， ，求下列代数式的值：
(1) (2)
【变式1】若 ， ，则 ．
【变式2】若 ，则 ．【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算
【例11】用简便方法计算：
(1) ； (2) ； (3)
【变式1】用简便方法计算 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明在计算 时，找不到计算器，去向小
华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把 拆分为 ，把 拆分为
．
【题型12】求完全平方公式的字母系数
【例12】（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式 ，整式 ．
(1)化简： ；
(2)若 是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式 ．
【变式1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式 化简后为一个完全平方式，且
当 时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那
么m的值是 ．
【题型13】运用完全平方公式进行化简求值
【例13】（23-24八年级上·全国·课后作业）试说明 的值与x
的取值无关．
【变式1】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．7 C．9 D．10
【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）已知 ，则代数式
的值为 ．
【题型14】完全平方公式与规律问题
【例14】（23-24八年级上·河南安阳·期末）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式
表示出来并证明．
(1)观察与发现：
；
；
；
；
……
那么 ； ；（直接写出答案）
(2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想．
规律： ；
例如：当 ， 时，
则： ；
(3)请证明（2）中的规律成立．证明：
【变式1】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开
式的系数规律，如：第三行的三个数 ，恰好对应 展开式中各项的系数；第四
行的四个数恰好对应着 的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律
计算求值： （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨
辉三角”就是一例，如下所示，它给出了 （ 为非负整数）的展开式（按 的次数由大到小的顺序
排列）的系数规律，例如：
请利用以上规律求出 的展开式 中 的值为
．
【题型15】完全平方公式与几何问题
【例15】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）图1是一个长为 ，宽为 的长方形纸片，先沿图中
虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含 、 式子表示）；
(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： 方法2： ；
(3)观察图2，尝试写出 、 、 三个式子之间的等量关系式是：
【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为
的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，
c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为 ，面积为 ，
图2中阴影部分周长为 ，面积为 ，若 ，则 的值为 ．
【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）计算： ；
（2）已知 ，求 的值．
【变式1】若 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若
，则 的值为（ ）
A．51 B． C．15 D．
【题型17】利用完全平方公式配方求最值
【例17】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式 的最小值为 ；
（2）
∵
∴
∴代数式 的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式 的最小值为 ；
(2)已知 ； ，请比较 与 的大小，并说明理由．
【变式1】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知 ， 满足 ，则 ．
【变式2】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在求解代数式 的最值（最大值或最小值）时，
老师给出以下解法：
解：原式 ，
∵无论a取何值， ，
∴代数式 ，
即当 时，代数式 有最小值为4．
仿照上述思路，则代数式 的最值为（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型18】直通中考
【例1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，
把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写
出第n个数对： ．【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2
号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮 ，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰
收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少 ，其中“丰收1号”小麦种植在边长为 的正方形
去掉一个边长为 的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为 的正方
形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【题型19】拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足 ，则 的最大值与最
小值的和为 ．
【例2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的
图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为______；
(2)利用上面的规律计算： ；
(3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程）
