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专题 14.5 乘法公式（十大题型总结）
【题型一：乘法公式的基本运算】
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列式子：①(x−y)(x+ y)；②(x−y)(−x+ y)；③(x+ y)(y−x)；④
(−y−x)(y−x)；⑤(x+ y)(−y−x)；⑥(−x−y)(x−y)中符合平方差公式特征的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
本题考查平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式
相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项
的平方）；公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可．
【解题过程】
解：①(x−y)(x+ y)符合平方差公式的特点；
②(x−y)(−x+ y)不符合平方差公式的特点；
③(x+ y)(y−x)=(y+x)(y−x)，符合平方差公式的特点；
④(−y−x)(y−x)=(−x−y)(−x+ y)，符合平方差公式的特点；
⑤(x+ y)(−y−x)不符合平方差公式的特点；
⑥(−x−y)(x−y)=(−y−x)(−y+x)，符合平方差公式的特点；
∴符合平方差公式特征的有4个．
故选：C．
2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．(−2a−b)(b−2a) B．(−2a−b)(2a+b)
C．(−3a+2b)(3a+2b) D．(3a+2b)(3a−2b)
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个
三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号
相同．根据完全平方公式的特点逐项判断即可．
【解题过程】
解：A、(−2a−b)(b−2a)=−(2a+b)(b−2a)，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公
式计算，不符合题意；
B、(−2a−b)(2a+b)=−(2a+b)(2a+b)=−(2a+b) 2，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意；
C、(−3a+2b)(3a+2b)=−(3a−2b)(3a+2b)，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方
公式计算，不符合题意；
D、(3a+2b)(3a−2b)，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意．
故选B．
3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）(−2−3x2) 2 计算结果正确的是（ ）
A．9x4−12x+4 B．9x4+12x2+4 C．9x4−12x−4 D．−9x4−12x+4
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【解题过程】
解：(−2−3x2) 2 =(2+3x2) 2 =22+2×2×3x2+(3x2) 2 =9x4+12x2+4，
故选：B．
4．（24-25七年级上·上海·期中）(a+b−c)(a−b−c)的计算结果是（ ）
A．a2+b2−c2 B．a2−b2+c2
C．a2−2ab+b2−c D．a2−2ac+c2−b2
【思路点拨】
本题考查多项式乘多项式，将原式转化为(a−c+b)(a−c−b)，然后利用平方差公式展开，再利用完全平
方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【解题过程】
解：(a+b−c)(a−b−c)
=(a−c+b)(a−c−b)
=(a−c) 2−b2
=a2−2ac+c2−b2．
故选：D．
【题型二：乘法公式的验证】
5．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a>b
），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）A．a2+b2=(a+b)(a−b) B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C．a2+2ab+b2=(a+b) 2 D．a2−2ab+b2=(a−b) 2
【思路点拨】
此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式得到这两个图形阴影部分的面积相等，即可得
到结论，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【解题过程】
解：左侧图形阴影部分的面积为：a2−b2，
1
右侧图形阴影部分的面积为： (2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)．
2
根据两个图形面积相等得：a2−b2=(a+b)(a−b)，
故验证的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：B．
6．（23-24七年级下·山东济南·期中）在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b) 2=(a−b) 2+4ab的图
形是（ ）
A． B．C． D．
【思路点拨】
用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【解题过程】
解：A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证(a+b) 2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；
C、可以验证(a+b) 2=(a−b) 2+4ab，该选项符合题意；
D、可以验证a2=(a−b) 2+2ab−b2，即(a−b) 2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．
故选：C．
7．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下
列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的
关键，根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论．
【解题过程】
解：A.图形的面积可以看作两个正方形的差，即a2−b2，也可以看作两个长方形的面积和，即
a(a−b)+b(a−b)=(a+b)(a−b)，因此(a+b)(a−b)=a2−b2，不符合题意，故该选项错误；B.图形的面积可以看作两个正方形的差，即a2−b2，也可以看作三个梯形的面积和，即
1 a−b 1
(a+b)⋅ ⋅2+ (a+b)(a−b)=(a+b)(a−b)，因此(a+b)(a−b)=a2−b2，不符合题意，故该选项
2 2 2
错误；
C.图形的面积可以看作一个正方形的面积，即(a+b) 2，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即
a2+2ab+b2，因此(a+b) 2=a2+2ab+b2，符合题意，故该选项正确；
D. 图形的面积可以看作两个正方形的差，即a2−b2，也可以看作四个梯形的面积和，即
1 a−b
(a+b)⋅ ⋅4=(a+b)(a−b)，因此(a+b)(a−b)=a2−b2，不符合题意，故该选项错误，
2 2
故选：C．
8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积
法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【思路点拨】
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的
关键．
根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．
【解题过程】
解：图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是底为
a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，所以图①可以验证平方差公式；
图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是长为a+b，
宽为a−b的矩形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，所以图②可以验证平方差公
式；
图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是底为a+b，
高为a−b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有
a2−b2=(a+b)(a−b)，所以图③可以验证平方差公式；
图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即(a+b) 2−(a−b) 2’，拼成的如图阴影部分是
长为2a，宽为2b的长方形，因此面积为4ab，所以有(a+b) 2−(a−b) 2=4ab，所以图④不能验证平方差
公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故选∶C．
【题型三：利用完全平方式确定系数】
1
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果x2+ mx+k是一个完全平方式，那么k等于 ．
2
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，
先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，然后把另一个数平方，列式求出k的值，即可得解．
【解题过程】
1
解：∵ x2+ mx+k是一个完全平方式，
2
∴ x2+ 1 mx+k=x2+2× 1 mx+ (1 m ) 2 ，
2 4 4
1
∴ k= m2 ．
16
1
故答案为：
m2
．
16
10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知代数式a2+(2t−1)ab+4b2是一个完全平方式，且t为正数，则
t的值为 ．
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．直接利用完全平方公式求解．
【解题过程】
解：∵代数式a2+(2t−1)ab+4b2是一个完全平方式，
∴a2+(2t−1)ab+4b2=a2+2⋅a⋅(±2b)+(±2b) 2=(a±2b) 2，
∴2t−1=±4，
5 3
解得t= 或t=− ，
2 2
∵t为正数
3
∴t=− 应舍去，
2
5
∴t= ．
2
5
故答案为： ．
2
11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式x2+(2k+3)x+(k−1) 2是完全平方式，那么k的值
是 ．
【思路点拨】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可得到
k的值．
【解题过程】
解：∵x2+(2k+3)x+(k−1) 2是二次三项式，
∴2k+3≠0且k−1≠0，
3
∴k≠− 且k≠1，
2
∵二次三项式x2+(2k+3)x+(k−1) 2是一个完全平方式，
∴±(2k+3)=2(k−1)，
当(2k+3)=2(k−1)时，方程无解；
1
当−(2k+3)=2(k−1)时，解得：k=− ．
4
1
故答案为：− ．
412．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）已知(a+m) 2=a2+(2t−1)ab+4b2，则t的值为（ ）
5 5 5 3 3
A． B．± C． 或− D．±
2 2 2 2 2
【思路点拨】
将(a+m) 2展开得到a2+2am+m2，得到(2t−1)ab=2am，m2=4b2，化简求值可得t的值．
【解题过程】
解：∵(a+m) 2=a2+2am+m2，
由题意(a+m) 2=a2+(2t−1)ab+4b2，
∴ (2t−1)ab=2am，m2=4b2，
(2t−1)b
∴m= ，
2
(2t−1) 2b2
∴m2= =4b2，
4
得(2t−1) 2=16，
∴2t−1=±4，
5 3
∴t= 或− ，
2 2
故选：C．
【题型四：利用乘法公式的运算】
13．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题：
（1）102×98；
（2）1.2342+0.7662+2.468×0.766．
【思路点拨】
本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方和公式等知识，熟记乘法公式，恒等变形是解决问题的关
键．
（1）利用平方差公式变形求解即可得到答案；
（2）利用完全平方和公式变形求解即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：102×98=(100+2)(100−2)
=1002−4
=9996；
（2）解：1.2342+0.7662+2.468×0.766
=1.2342+2×1.234×0.766+0.7662
=(1.234+0.766) 2
=4．
14．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）试确定(102+82+62+42+22)−(92+72+52+32+12)的值．
【思路点拨】
本题考查了利用平方差公式变形求值，灵活运用平方差公式是解题关键．去括号，然后两两结合用平方差
公式变形得到(10+9)(10−9)+(8+7)(8−7)+(6+5)(6−5)+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)，再计算
即可．
【解题过程】
解：(102+82+62+42+22)−(92+72+52+32+12)
=102−92+82−72+62−52+42−32+22−12
=(10+9)(10−9)+(8+7)(8−7)+(6+5)(6−5)+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)
=19+15+11+7+3
=55．
15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ( − 1 −x ) 2 − 1 (2x−3)(x+2)+(2x+1) 2 (2x−1) 2 ．
2 2
【思路点拨】
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式
以及平方差公式分别展开，再进行整式的加减计算即可．
【解题过程】
解： ( − 1 −x ) 2 − 1 (2x−3)(x+2)+(2x+1) 2 (2x−1) 2
2 2
= 1 +x+x2− 1 (2x2+4x−3x−6)+[(2x+1)(2x−1)) 2
4 2
= 1 +x+x2−x2− 1 x+3+(4x2−1) 2
4 21 1
= + x+3+16x4−8x2+1
4 2
1 17
=16x4−8x2+ x+ ．
2 4
16．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(2a+3b−1)(1+2a−3b)+(1+2a−3b) 2．
【思路点拨】
本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解．
【解题过程】
2
解：原式=[2a+(3b−1))[2a−(3b−1))+[2a−(3b−1))
=4a2−(3b−1) 2+4a2−4a(3b−1)+(3b−1) 2
=8a2−4a(3b−1)
=8a2−12ab+4a．
【题型五：整式的化简求值】
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）先化简，再求值．
1
(x−2y) 2−2(y−x)(x+ y)−y(2y−3x)，其中x=−2，y= ．
2
【思路点拨】
本题主要考查了整式化简求值，正确完成整式化简是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式和单
1
项式乘以多项式法则进行运算，再进行整式加减运算完成化简，然后将x=−2，y= 代入求值即可．
2
【解题过程】
解：原式=x2−4xy+4 y2−2(y2−x2)−2y2+3xy
=x2−4xy+4 y2−2y2+2x2−2y2+3xy
=3x2−xy，
1
当x=−2，y= 时，
2
1
原式=3×(−2) 2−(−2)×
2
=12+1
=13．18．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值：[(3x+ y) 2−(x+ y)(y−x))÷(−2x)，其
中x，y满足x2+4x+4+|y−1)=0．
【思路点拨】
本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，括号内先利用平方差公式和完全平方公式进行计
算，再合并同类项，最后计算除法即可化简，由非负数的性质得出x=−2，y=1，代入计算即可得解．
【解题过程】
解：[(3x+ y) 2−(x+ y)(y−x))÷(−2x)
=[9x2+6xy+ y2−(y2−x2))÷(−2x)
=(9x2+6xy+ y2−y2+x2)÷(−2x)
=(10x2+6xy)÷(−2x)
=−5x−3 y，
∵x2+4x+4+|y−1)=0，
∴(x+2) 2+|y−1)=0，
∴x+2=0，y−1=0，
∴x=−2，y=1，
∴原式=−2×(−5)−3×1=10−3=7．
19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 A=(a+b) 2−3b2,B=2(a+b)(a−b)−3ab，若
(a−3) 2+|b−4)=0，则A−B的值为（ ）
A．51 B．−69 C．15 D．−21
【思路点拨】
把A和B的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化
简式计算即可．
【解题过程】
解： ∵A=(a+b) 2−3b2，B=2(a+b)(a−b)−3ab，∴A−B=(a+b) 2−3b2−[2(a+b)(a−b)−3ab]
=a2+2ab+b2−3b2−(2a2−2b2−3ab)
=a2+2ab+b2−3b2−2a2+2b2+3ab
=−a2+5ab；
∵(a−3) 2+|b−4|=0，
∴a−3=0，b−4=0，
∴a=3，b=4，
∴A−B=−a2+5ab
=−32+5×3×4
=−9+60
=51．
故选：A．
20．（24-25七年级上·上海·期中）设b=ma，是否存在有理数m，使得
[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a=2a总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说
明理由．
【思路点拨】
本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算．
5−m
先化简[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a，并把b=ma代入后得到 a，因此根据题意得到
2
5−m
=2，求解即可解答．
2
【解题过程】
解：当b=ma时，
[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a
=(a2+4ab+4b2+4a2−b2−4ab−4b2)÷2a
=(5a2−b2)÷2a=(5a2−m2a2)÷2a
5−m2
= a，
2
∵[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a=2a，
5−m2
∴ =2，
2
∴m=±1，
∴当m=±1时，[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a=2a总成立．
【题型六：利用平方差公式求值】
21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知a2−b2=4，那么(a+b) 2 (a−b) 2的结果是（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【思路点拨】
本题考查了代数式求值，平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更加简便，把
(a+b) 2 (a−b) 2利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可．
【解题过程】
解：(a+b) 2 (a−b) 2
2
=[(a+b)(a−b))
=(a2−b2) 2 ，
∵a2−b2=4，
∴原式=(a2−b2) 2 =42=16，
故选：B．
22．（2023·四川广安·二模）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14 y的值为 ．
【思路点拨】
先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代
入计算即可求解．【解题过程】
解：∵x−y−7=0，
∴x−y=7，
∴x2−y2−14 y
=(x+ y)(x−y)−14 y
=7(x+ y)−14 y
=7x+7 y−14 y
=7(x−y)
=49．
故答案为：49．
23．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知a>0，b>0，(3a+3b+1)(3a+3b−1)=899，则a+b=
．
【思路点拨】
本题考查平方差公式，掌握(a+b)(a−b)=a2−b2，是正确解答的关键．根据平方差公式得出
(3a+3b) 2=900，再由a>0，b>0，可求出3a+3b=30，进而求出a+b=10．
【解题过程】
解：∵(3a+3b+1)(3a+3b−1)=899，
∴(3a+3b) 2−1=899，
即(3a+3b) 2=900，
又∵(±30) 2=900，a>0，b>0，
∴3a+3b=30，
即a+b=10，
故答案为：10．
24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+ y=
．（2）求x，y的值分别为 ．
【思路点拨】
{x+ y=−4)
由(x2+xy)−(y2+xy)可得(x+ y)(x−y)=4，再根据x−y=−1，可得x+ y=−4，可得 ，进
x−y=−1而可得x，y的值．
【解题过程】
解：∵x2+xy=10，y2+xy=6，
∴(x2+xy)−(y2+xy)=10−6=4，即：x2−y2=4，
∴(x+ y)(x−y)=4，
∵x−y=−1，
∴x+ y=−4，
5
{ x=− )
{x+ y=−4) 2
可得 ，解得：
x−y=−1 3
y=−
2
5 3
即：x，y的值分别为x=− ，y= ；
2 2
5 3
故答案为：−4；x=− ，y= ．
2 2
【题型七：利用完全平方公式求值】
25．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若M=(t−3) 2，N=16−(t−5) 2，且M=N，则
(t−3)(t−5)的值为 ．
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得[(t−3)−(t−5))
2+2(t−3)(t−5)=16，即可
求解；掌握(a−b) 2、a2+b2、ab之间的关系是解题的关键．
【解题过程】
解：∵ M=N，
∴ (t−3) 2=16−(t−5) 2，
∴ (t−3) 2+(t−5) 2=16，
∴[(t−3)−(t−5))
2+2(t−3)(t−5)=16，
∴4+2(t−3)(t−5)=16，∴(t−3)(t−5)=6；
故答案：6．
26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知(x−2020) 2−(x−2028) 2=18，则x−2024的值是
（ ）
9
A．1 B． C．3 D．4
8
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式进行求解是解题的关键．根据题意原式可化
为[(x−2024)+4) 2 −[(x−2024)−4) 2=18，再运用完全平方公式计算，应用整体思想合并同类项，即可
得出答案．
【解题过程】
解：∵(x−2020) 2−(x−2028) 2=18，
∴[(x−2024)+4) 2 −[(x−2024)−4) 2=18，
∴(x−2024) 2+8(x−2024)+16−(x−2024) 2+8(x−2024)−16=18，
∴16(x−2024)=18，
9
∴x−2024= ．
8
故选：B．
27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 a,b,c满足：a−b=4,ab+c2−4c+8=0，求代数式
a+b+c的值（ ）
A．6 B．2 C．-4 D．-8
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 a−b=4变形为a=b+4，将其代
入整理得(b+2) 2+(c−2) 2=0，再根据偶次方的非负性求出b，c的值，再求出a的值，再代入计算即可.
【解题过程】
解: ∵a−b=4,
∴a=b+4，∴ab+c2−4c+8=b(b+4)+c2−4c+8=(b+2) 2+(c−2) 2=0，
∴b+2=0,c−2=0，
∴b=−2,c=2，
∴a=b+4=2，
∴a+b+c=2−2+2=2，
故选：B
28．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a=m+2020，b=m+2021，c=m+2022，则代数式
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【思路点拨】
此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算
a−b,a−c,b−c，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可．
【解题过程】
解：∵a=m+2020，b=m+2021，c=m+2022，
∴a−b=m+2020−m−2021=−1,a−c=m+2020−m−2022=−2,b−c=m+2021−m−2022=−1
，
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac
=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)
=(a−b) 2+(a−c) 2+(b−c) 2
=(−1) 2+(−2) 2+(−1) 2
=1+4+1
=6，
故选：C．
29．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a，b，c满足
4a2+2b−4=0，b2−4c+1=0，c2−12a+17=0，则a2+b2+c2的值为（ ）
21 29
A． B． C．14 D．2016
4 4
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意可得4a2+2b−4+b2，利用完全平方公式变形为 ，再由平方的非负性
−4c+1+c2−12a+17=0 (b+1) 2+(2a−3) 2+(c−2) 2=0
求解即可；
【解题过程】
解：∵4a2+2b−4=0，b2−4c+1=0，c2−12a+17=0，
∴4a2+2b−4+b2−4c+1+c2−12a+17=0，
∴(b2+2b+1)+(4a2−12a+9)+(c2−4c+4)=0，
∴(b+1) 2+(2a−3) 2+(c−2) 2=0，
∴b+1=0,2a−3=0,c−2=0，
3
∴b=−1,a= ,c=2，
2
9 29
∴a2+b2+c2= +1+4= ，
4 4
故选：B．
1 1
30．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知 −|x)=1，则 +|x)的值为 ．
x x
【思路点拨】
1 1
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，根据 −|x)=1得到 =|x)+1，则可
x x
(1 ) 2 (1 ) 2 1
推出x>0，再由完全平方公式的变形可得 +|x) = −|x) +4⋅ ⋅|x)，据此求解即可．
x x x
【解题过程】
1
解：∵ −|x)=1，
x
1
∴ =|x)+1，
x
∵|x)≥0，
1
∴ =|x)+1≥1，
x
∴x>0，
∵ (1 −|x) ) 2 =12 ，
x(1 ) 2 (1 ) 2 1 1
∴ +|x) = −|x) +4⋅ ⋅|x)=1+4⋅ ⋅x=1+4=5，
x x x x
1
∴ +|x)=❑√5，
x
故答案为：❑√5．
【题型八：整式乘法中的规律探究】
31．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，
46=4096，47=16384，48=65536，依据上述规律，通过计算判断
3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拨】
本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇
偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【解题过程】
解：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，46=4096，47=16384，48=65536，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结
果的个位数字是6；
3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(4−1)×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(42−1)×(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(44−1)(44+1)…(432+1)+1
=464．
由规律可得464的个位数字是6，
∴3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1的结果的个位数字是6．
故选：C．
32．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整
数为“智慧数”．因为3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个
“智慧数”．
【思路点拨】
本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用；分别考虑奇数、4的倍数的数，及被4除余2与3的
数；设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数，即(k+1) 2−k2=2k+1，表明大于1的奇数都是
“智慧数”；考虑(k+1) 2−(k−1) 2=4k，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；证明4k+2不是“智
慧数”；据此可以判断自然数中的 “智慧数”；找到规律后，即可完成求解．
【解题过程】
解：对于相邻两个自然数k+1，k，其中k≥1，且k为整数，
由于(k+1) 2−k2=2k+1， k为正整数，
因而k+1和k−1就是两个自然数，
表明大于1的奇数都是“智慧数”；
对于两个自然数k+1，k−1，其中k≥1，且k为整数，
则(k+1) 2−(k−1) 2=4k，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；
对于4k+2的自然数，下面证明它不是“智慧数”；
若它是“智慧数”，则必有m、n，满足4k+2=m2−n2=(m+n)(m−n)，
当m、n奇偶性不同时，m+n，m−n都是奇数，其积也是奇数，但上式左边是偶数，矛盾，即4k+2不
是“智慧数”；4k+3=2(2k+1)+1是奇数，故是“智慧数”；
综上知，所有正整数中，1、4及4k+2(k≥0)不是“智慧数”外，其余都是“智慧数”；
则“智慧数”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前两个3与5外，其余都是3个一组
的连续整数，且中间一个数为4的倍数，且2024所在的组三个数为：2023，2024，2025，而2022则不是
“智慧数”，由于2022=4×505+2，即从2开始到2022，形如4k+2(k≥0)的数共有506个数不是“智
慧数”，去掉1与4两个，共有508个数不是“智慧数”，故2024是第2024−506−2=1516个“智慧
数”；
故答案为：1516．
33．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算：1
（1）1− = ；
22
( 1 )( 1 )
（2） 1− 1− = ；
22 32
( 1 )( 1 )( 1 )
（3） 1− 1− 1− = ；
22 32 42
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
（4）请你利用你找到的简便方法计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ．
22 32 42 20142 20152
【思路点拨】
本题考查有理数混合运算，涉及有理数加减乘除混合运算，找到规律是解决问题的关键．
（1）利用平方差运算展开，在分别计算加减，最后由乘法运算求解即可得到答案；
（2）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案；
（3）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案；
（4）先由平方差展开，在计算加减，找到各个式子的规律，除了首项及尾项，中间均约掉即可得到答
案．
【解题过程】
1 ( 1)( 1) 1 3 3
（1）解：1− = 1− 1+ = × = ，
22 2 2 2 2 4
3
故答案为： ；
4
( 1 )( 1 )
（2）解： 1− 1−
22 32
( 1)( 1)( 1)( 1)
= 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3
1 3 2 4
= × × ×
2 2 3 3
1 4
= ×
2 3
2
= ，
3
2
故答案为： ；
3( 1 )( 1 )( 1 )
（3）解： 1− 1− 1−
22 32 42
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)
= 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3 4 4
1 3 2 4 3 5
= × × × × ×
2 2 3 3 4 4
1 5
= ×
2 4
5
= ，
8
5
故答案为： ；
8
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
（4）解： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 20142 20152
( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )
= 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3 2014 2014 2015 2015
1 3 2 4 3 2014 2013 2015 2014 2016
= × × × × ⋯×× × × × ×
2 2 3 3 4 2013 2014 2014 2015 2015
1 2016
= ×
2 2015
1008
= ．
2015
34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答：
（1）填空：(a−b)(a+b)=________；(a−b)(a2+ab+b2)=________；(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=
________；
（2）类推：(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)=________（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）的结论计算：
① 221+220+219+⋯+23+22+2+1 ；
② 716−715+714−713+712−711+⋯−73+72−7．
【思路点拨】
（1）按照多项式乘多项式即可完成；（2）根据（1）中的结果，可以猜想得到结论；
（3）①根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；
②根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：(a−b)(a+b)=a2−b2；
(a−b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3=a3−b3；
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3−a3b−a2b2−ab3−b4=a4−b4，
故答案为：a2−b2，a3−b3，a4−b4；
（2）解：(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)=an−bn，
故答案为：an−bn；
（3）解：① 221+220+219+⋯+23+22+2+1 ，
=(2−1)(221+220+219+⋯+23+22+2+1)
=222−1；
② 716−715+714−713+712−711+⋯−73+72−7
[7−(−1))[716+715×(−1)+714×(−1) 2+713×(−1) 3+712×(−1) 4+711×(−1) 5+⋯+73×(−1) 13+72×(−1) 14+7×(−1) 15)
=
8
717−(−1) 17
=
8
717+1
= ．
8
【题型九：平方差公式的几何应用】
35．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的
面积是 ．【思路点拨】
本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．
设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AB=a−b，由题意可得a2−b2=24，将S 转化为
阴影部分
1
S +S ，即 (a2−b2 )，代入计算即可．
△ABC △ABD 2
【解题过程】
解：如图，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AB=a−b，
由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即a2−b2=24，
S =S +S
阴影部分 △ABC △ABD
1 1
= (a−b)⋅b+ (a−b)⋅a
2 2
1
= (a+b)(a−b)
2
1
= (a2−b2 )
2
1
= ×24
2
=12．
故答案为：12
36．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的
正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方
形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为
（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【思路点拨】
本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形ABMN的边
长为a，小正方形EFGH的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到a2−b2=12，再根据
正方形的面积公式求解即可．
【解题过程】
解：设大正方形ABMN的边长为a，小正方形EFGH的边长为b，
则阴影面积的底为AD=BC=a+b，高之和为NE+MF=a−b，
1
∴阴影面积为 (a+b)(a−b)=6，即a2−b2=12，
2
∵大正方形ABMN的面积为a2=15，
∴b2=3，即小正方形EFGH的面积为3，
故选：D．
37．（23-24七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，把一块面积为48的大长方形木板分割成3个正方形①、
②、③和2个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为9，则标号为②的正方形的面积为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将④⑤长方形的长
和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为9及大长方形的面积为48，得出x2与y2的数量关系，然后
解得y2即可．
【解题过程】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为④⑤的长方形长为(x+ y)
，宽为(x−y)，
∵每个小长方形的面积均为9，
∴(x+ y)(x−y)=9，
∴x2−y2=9，
∴x2=9+ y2．
∵大长方形的长等于标号为⑤的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为⑤的小长方
形的宽与标号为③的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为：[（x+ y）+x]=2x+ y，宽为：[(x−y)+x]=2x−y，
∵大长方形的面积为48，
∴(2x+ y)(2x−y)=48，
∴4x2−y2=48，
∴4(9+ y2)−y2=48，
∴y2=4，
即标号为②的正方形的面积为4．
故选：B．
38．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
（2）知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：(a+b−2c)(a+b+2c)；
②若4x2−9 y2=10，4x+6 y=6，求2x−3 y的值．
【思路点拨】
本题考查了平方差公式的几何背景；
（1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差；
（2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可；②由题意，根据平方差公式计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：S =S −S =a2−b2，
阴 大正方形 小正方形
故答案为：a2−b2；
（2）解：①(a+b−2c)(a+b+2c)
=[(a+b)−2c)[(a+b)+2c)
=(a+b) 2−4c2
=a2+2ab+b2−4c2；
②∵4x+6 y=6，
∴2x+3 y=3，
∵4x2−9 y2=(2x+3 y)(2x−3 y)=10，
∴3(2x−3 y)=10，
10
∴2x−3 y= ．
3
【题型十：完全平方公式的几何应用】
39．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中
②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①a−b=5，ab=−6，求(a+b) 2和a2+b2的值；
1 1
②已知x−
=3，求x2+
的值．
x x2
【思路点拨】
本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．
（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（2）①由（1）得到(a+b) 2−4ab= (a−b) 2，把a−b=5，ab=−6，代入求(a+b) 2，再利用完全平方公
式求a2+b2的值；
②由完全平方公式可知， ( x− 1) 2 =32 ，即x2+ 1 −2x⋅ 1 =32=9则x2+ 1 的值可求．
x x2 x x2
【解题过程】
（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即
(m+n) 2−4mn；
方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于m−n，所以其面积为(m−n) 2；
∴(m+n) 2−4mn= (m−n) 2；
故答案为：(m+n) 2−4mn= (m−n) 2；
（2）①由（1）可知(a+b) 2−4ab= (a−b) 2
∵a−b=5，ab=−6，
∴(a+b) 2−4×(−6)=52，
解得，(a+b) 2=1，
∵(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴1=a2+b2+2×(−6)，
∴a2+b2=13．
1
②∵x− =3，
x
∴ ( x− 1) 2 =32
x
1 1
即x2+ −2x⋅ =32=9，
x2 x
1
∴x2+ =11．
x240．（23-24八年级上·浙江台州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是
边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一
张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b) 2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片______
张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知(x−2021) 2+(x−2023) 2=20，求x−2022的值．
【思路点拨】
本题考查完全平方公式的意义和应用；
（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出(a+b) 2，a2+b2，ab三者的关系；
（2）计算(a+2b)(a+b)的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x−2022，从而得到a+1=x−2021，代入计算即可．
【解题过程】
（1）解：大正方形的面积可以表示为：(a+b) 2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有(a+b) 2=a2+b2+2ab；
（2）解：∵(a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+b2=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）解：①∵(a+b) 2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，∴25=11+2ab，
∴ab=7，即ab的值为7；
②令a=x−2022，
∴x−2021.
=[x−(2022−1)).
=x−2022+1.
=a+1，
x−2023.
=[x−(2022+1)).
=x−2022−1.
=a−1，
∵(x−2021) 2+(x−2023) 2=20，
∴(a+1) 2+(a−1) 2=20，
解得a2=9．
∴(x−2022) 2=9．
∴x−2022=±3．
41．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：(a±b) 2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多
的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b) 2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+ y=8，x2+ y2=40，则xy的值为______；
（2）拓展：若(4−x)x=3，则(4−x) 2+x2=______．
（3）应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x
，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为
160，求图中阴影部分的面积和．
【思路点拨】
（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，
ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解题过程】
（1）解： ∵x+ y=8，x2+ y2=40，
∴2xy=(x+ y) 2−(x2+ y2 )
=82−40
=64−40
=24，
∴xy=12．
（2）解：设4−x=a，x=b，
∴a+b=4−x+x=4，
∵(4−x)x=3，
∴ab=3，
∴(4−x) 2+x2=a2+b2=(a+b) 2−2ab
=42−2×3
=16−6
=10．
（3）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=20，AD=BC=12，
∵BE=DF=x，
∴FC=DC−DF=20−x，CE=BC−BE=12−x，
设FC=20−x=a，CE=12−x=b，
∴a−b=20−x−(12−x)=8，
∵长方形CEPF的面积为160，
∴FC⋅CE=(20−x)(12−x)=ab=160，
∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积
=CF2+CE2
=(20−x) 2+(12−x) 2
=a2+b2
=(a−b) 2+2ab
=82+2×160
=64+320
=384，
∴图中阴影部分的面积和为384．
42．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺
数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个
等式，进而可以利用得到的等式解决问题．（1）根据图1，可以得到等式：(a+b) 2=a2+2ab+b2，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是
______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．
数形结合
（2）根据图2，可以得到等式：______；
（3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个
大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26．利用①中所得到的等式，直接写出代数式a2+b2+c2的值为
______；
（4）画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．
【知识迁移】
（5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6
个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式
为______；
②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，直接写出代数式a3+b3的值为______．
（6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形
的变化关系，写出一个代数恒等式：______．【思路点拨】
（1）体现的数学思想是数形结合；
（2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面
积，由两个结果相等即可得出结论；
②利用①中的等式直接代入求得答案即可；
（4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将(2a+b)(a+2b)展开即可；
（5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
（6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式．
【解题过程】
（1）解：这体现的数学思想是数形结合；
故选：D；
（2）解：由题意得阴影部分的面积(a−b) 2=a2−2ab+b2．
故答案为：(a−b) 2=a2−2ab+b2；
（3）解：①∵正方形面积为(a+b+c) 2，
小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴由面积相等可得：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
②由①可知a2+b2+c2=(a+b+c) 2−(2ab+2bc+2ac)，
∵a+b+c=9，ab+bc+ac=26，
∴a2+b2+c2=(a+b+c) 2−(2ab+2bc+2ac)=81−2×26=29，
故答案为：29；
（4）解：面积为(2a+b)(a+2b)的长方形如图所示：∴(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2；
（5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积，
得到的等式为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3；
②∵a+b=5，ab=6，
∴a3+b3=(a+b) 3−3a2b−3ab2
=(a+b) 3−3ab(a+b)
=125−3×6×5
=125−90
=35．
故答案为：(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3；35；
（6）解：左边体积=大正方体的体积−小长方体的体积=x3−x；
右边体积=长方体的体积=x(x−1)(x+1)；
∴x3−x=x(x−1)(x+1)，
故答案为：x3−x=x(x−1)(x+1)．
