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专题14.7 整式的乘法（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·河北·统考中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．（2023春·湖南张家界·八年级校考开学考试）如果计算 的结果是一个二项式，那么a
的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
3．（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）若 的积中 系数为 ，x的系数7，则a、b
的值为（ ）．
A．1、1 B． 、2 C．1、 D． 、1
4．（2023春·山东青岛·七年级校考阶段练习） 可以写成（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东菏泽·七年级统考期中）计算正确的是
A． B．
C． D．
6．（2022秋·八年级单元测试）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·安徽·七年级期中）已知 ， ，a，b均为正整数，则 ＝（ ）
A．mn2 B．m2n C． D．m2n28．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）若 则 的值为
（ ）
A． B．5 C．1 D．
9．（2023春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：
； ，四个学生一起做乘法 ，其中a是正
数，那么最后得出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·湖北随州·统考中考真题）设有边长分别为a和b（ ）的A类和B类正方形纸片、长为
a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类
纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·全国·七年级专题练习）若p、q、r均为整数 ，且 ，
则r的值为 ．
12．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知 ，则
13．（2022秋·八年级单元测试）若 ， ，且 ，则
．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“ （3x﹣■+1）＝
”那么“■”中的一项是 ．
15．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）已知 ，用含x，y的代数式表示
为 ；
16．（2023春·山东聊城·七年级统考期中）若 表示一种新的运算，其运算法则为
， 的值为 ．
17．（2021春·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）
18．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）根据多项式乘法法则可得： ；
； ；……．而早在宋朝，数学家杨辉就
用下面的图形来揭示 的系数规律，这个图形被称为“杨辉三角形”．请根据杨辉三角形及前面的几
个等式直接写出：计算 的结果中，字母部分为 的项的系数为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·重庆·七年级重庆一中校考期末）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）先化简，再求值．
（1） ，其中 ， ．
（2）已知 ，求 的值．
21．（10分）（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）若 的积中不含x项与
项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值．
22．（10分）（2018秋·江苏无锡·七年级校联考期中）某玩具厂去年生产某种玩具，每件成本为20
元/件，出厂价为28元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．
若今年每件玩具的生产成本比去年增加0.5x倍，每件玩具的出厂价比去年提高0.3x倍，则今年的年销售量是去年的1.5倍（0＜x≤1）．
（1）用含x的代数式表示：今年生产这种玩具的每件成本为_____________元／件，今年生产这种玩
具每件的出厂价为____________元／件，今年生产这种玩具每件的利润为___________元／件；
（2）请用含x的代数式表示今年销售这种玩具的总利润比去年增加了多少万元?并求当x=0.5时的值．
注：每件玩具的利润=每件玩具的出厂价—每件玩具的成本．
23．（10分）（2023秋·河南周口·八年级周口恒大中学校考阶段练习）观察下列算式特征，并完成相
应任务．
；
；
；
．
（1）任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ___________．
（2）任务二：问题与解决
如果 ，其中 均为整数，则 的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）任务三：拓展与猜想
若 ，则 ______， ______．
24．（12分）（2023秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读材料：面积与代数恒等式
通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式 ．人们习惯用平面面积解释
代数恒等式．实际上，教材中是用图2的面积来解释多项式与多项式相乘的法则：
．
请根据阅读材料，解答下列问题：
（1）请写出如图3所示的图形面积表示的代数恒等式．
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为 ．
（3）已知 ， ，请你利用（1）中的结论，求 的值．
参考答案
1．D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判
断即可得到结论．
解：A. = ，故选项A不符合题意；B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关
运算法则是解答此题的关键．
2．B
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果是一个二项式，即可求出 的值．
解： 是一个二项式，
或 ，
或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式、二项式的定义，理解二项式的含义是解题的关键．
3．B
【分析】先化简 ，根据 系数为 ，x的系数7，得出
，求出a、b的值即可．
解： ，
∵若 的积中 系数为 ，x的系数7，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法运算法则．4．B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．D
【分析】根据科学记数法、单项式乘法、积的乘方、合并同类项的法则分解判断即可得解．
解：A． ，故A项错误；
B． ，故B项错误；
C． ，故C项错误；
B． ，故D项正确；
故选；D．
【点拨】本题主要考查了科学记数法、单项式乘法、积的乘方、合并同类项，熟记同类项的定义及合
并同类项的法则是解题的关键．
6．C
【分析】由整式的乘法运算进行计算，然后进行判断，即可得到答案
解： ，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：C
【点拨】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算
7．D【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的
乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵ ，
∴ ．
∴
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘
法、幂的乘方的相关法则．
8．D
【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算等式的左边，再与等式的右边进行比较可得一个关于 的
二元一次方程组，解方程组可得 的值，然后代入计算即可得．
解： ，
，
，
，
解得 ，
则 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题
关键．
9．A
【分析】先将 展开，结合选项确定 或 ，根据题意即可求解．解：由题意得：
，
根据选项得：
或
或
a是正数，
，
．
故选：A
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意找出运算的规律是解题的关键．
10．C
【分析】计算出长为 ，宽为 的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，
即可看出应当需要各类卡片多少张．
解：长为 ，宽为 的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解 结果中 项
的系数即为需要C类卡片的张数．
11．2或 或14或-14
【分析】将 展开，根据结果得到 ， ，再结合p，q的范围求出具体值，
代入计算可得r值．
解： ，
则 ， ，p、q、r均为整数 ，
， 或 ， ， , 或， ，
或 ，
故答案为：2或 或14或-14．
【点拨】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p，q值．
12．1089
【分析】将所求式子利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则变形为 ，再整
体代入计算即可．
解：∵ ，
∴
故答案为：1089．
【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，灵活运用法则变形是解题的关键．
13．±2
【分析】把27看成33，64看成43， 看成 ，然后根据积的乘方（ab）n=anbn的逆用进行
化简，底数都是12，根据指数相等求出m；把底数统一化成2，根据同底数幂的乘法法则可以求得n=3，
然后把m，n的值代入得（x3）6=86，偶数次方相等，所以底数相等或互为相反数，从而求得x的值．解：∵27m×64m= ，
∴33m•43m= ，
∴（3×4）3m=123，
∴123m=123，
∴3m=3，
∴m=1；
∵128×512×64=2n+19，
∴27×29×26=2n+19，
∴27+9+6=2n+19，
∴222=2n+19，
∴n+19=22，
∴n=3；
把m=1，n=3代入（3n-m）6=（x3）6得：
（x3）6=86，
∴x3=±8，
∴x=±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题主要考查了幂的运算，考查学生的计算能力，解题时注意偶数次方相等，那么底数相等
或互为相反数，不要漏解．
14．
【分析】利用多项式除以单项式法则计算 即可得出“■”中的项，然后利
用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可．
解：∵
即 ，∴“■”中的一项是2y．
故答案为：2y．
【点拨】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项
式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
15．
【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得．
解： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算
法则是解题关键．
16．
【分析】根据新定义列出式子，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
解：依题意，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了单项式乘以单项式，理解新定义是解题的关键．
17．【分析】根据题目所给的信息得 表示 ， 表示 ，在进行单项式乘
以单向式的运算即可．
解：根据题意，得 表示 ， 表示 ，则
= × = ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的
信息写出相应的式子．
18．10
【分析】根据“杨辉三角形”，计算出 ，即可确定字母部分为 的项的系数．
解：根据“杨辉三角形”，可知 ，
∴字母部分为 的项的系数为10，
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，规律型，理解“杨辉三角”中系数的规律是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可；
（2）根据多项式乘以多项式化简即可；
（1）解：原式
（2）原式【点拨】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键．
20．（1） ，36；（2） ，44
【分析】（1）先算积的乘方同时计算中括号内的单项式乘以多项式，合并同类项，再算单项式乘以
多项式，赋值，计算即可；
（2）先利用多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，再整理，将条件整体代入求值即可．
解：（1） ，
，
，
，
把 ， ，
原式 ，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
∵ ，∴ ，
原式 ．
【点拨】本题考查整式乘除乘方混合运算化简求值问题，掌握整式幂指数运算法则，整式乘法与加减
混合运算的顺序是解题关键．
21．（1） ， ；（2）33
【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与 项可知x项
与 项的系数均等于0，解方程即可；
（2）由（1）中p、q的值得 ，将原式整理变形成 ，再将p、 的值代入计算
即可．
（1）解：
，
∵积中不含x项与 项，
∴ ，
解得 ， ；
（2）解：由（1）得 ，
∴
．【点拨】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关
键是正确求出p，q的值．
22．（1）20+10x ；28+8.4x ；8－1.6x ；（2）5.6万
【分析】（1）根据题意中等量关系即可求出答案；
（2）根据题意中等量关系即可求出答案.
解：（1）20+10x；28+8.4x；8－1.6x；
（2）今年销售这种玩具的总利润比去年增加了（单位：万元）（8－1.6x）×3－（28-20）×2=8－
4.8x，
当x=0.5时，原式=8－4.8×0.5=5.6万元
【点拨】本题考查代数式求值问题，注意题中的等量关系．
23．（1） ；（2）D；（3） ；
【分析】（1）根据前面4个运算式的提示，再归纳可得结论；
（2）由 ，从而可得答案；
（3）先通过计算可得： ，从而可得结论．
（1）解：∵ ；
；
；
；
归纳可得：
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 或 ，
故选D（3）∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题考查的是多项式乘以多项式的规律探究以及灵活应用，熟记多项式乘以多项式的运算法
则是解本题的关键．
24．（1） ；（2）见分析；（3）45
【分析】（1）通过两种方式求解图形的面积，即可；
（2）根据代数式，构造合适的几何图形，使得面积为 、 ；
（3）利用（1）中的式子，对 进行平方，求解即可．
（1）解：由题意可得：图形面积为 ，
也可以表示为： ，
则
（2）如图，
则
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了整式乘法的应用，解题的关键是理解题意，通过图形的面积正确的进行求解．
