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热点 4-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理
平面向量属于高考的必考内容。纵观近几年的高考情况，主要以选择题及填空题的形式出现，向量的
线性运算、基本定理以及坐标运算属于热门考点。同时也作为工具，与三角函数、解析几何结合出现在综
合性大题中，难度中等。预计2024年的高考对于这部分内容考察主要还是以小题为主，若出题大概率以题
的形式出现。
【题型1 平面向量的基本概念辨析】
满分技巧
解决向量概念问题的关键点
1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向
量．
4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
5、非零向量 与 的关系： 是 方向上的单位向量，因此单位向量 与 方向相同．
6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．
7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零
向量是否也满足条件．
【例1】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，能使 一定
成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，故 同向.
对于A: ， 方向相反,A选项错误；对于B: ，得出 ,不能得出方向，B选项错误；
对于C: , 方向向相同,则 成立，C选项正确；
对于D: ,不能确定 的方向，D选项错误，故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A． 与 的方向相反 B． 与 的方向相同 C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当 时， 与 的方向相同，当 时， 与 的方向相反，故A不正确；
对于B，显然 ，即B正确；
对于C， ，由于 与1的大小不确定，
故 与 的大小关系不确定，故C不正确；
对于D， 是向量，而 表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B
【变式1-2】（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．若 ，则 B．若 与 共线，则 或
C．若 ， 为单位向量，则 D． 是与非零向量 共线的单位向量
【答案】BC
【解析】对于A，根据零向量的定义，若 ，则 ，故A正确；
对于B，当 时，显然 与 共线，但是零向量的方向是任意的，
所以不一定有 或 ，故B错误；
对于C，设 ， ，显然 为单位向量，但 ，故C错误；
对于D，由 ，则 为单位向量，由 ，则向量 与 共线，
即 是与非零向量 共线的单位向量，故D正确，故选：BC.
【变式1-3】（2023·重庆沙坪坝·高三南开中学校考阶段练习）（多选）已知非零向量 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．与向量 共线的单位向量是
C．“ ”是“ 与 的夹角是锐角”的充分不必要条件
D．若 是平面的一组基底，则 也能作为该平面的一组基底
【答案】AD
【解析】对于A，非零向量 ，由 ，得存在非零实数 ，使得 ，
则 ，即 ，A正确；
对于B，与 共线的单位向量是 ，B错误；
对于C，当 与 同向共线时，满足 ，而 与 的夹角为0，不是锐角，C错误；
对于D， 是平面的一组基底，则 不共线，假设向量 共线，
则存在实数 ，使得 ，即 ，显然 不同时为0，
于是 共线，与 不共线矛盾，即假设是错的，
因此向量 不共线，D正确.故选：AD
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且 ＝ ，则四边形ABCD为平行四边形
C． 的充要条件是 且
D．已知λ，μ为实数，若 ，则 与 共线
【答案】ACD
【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为 ＝ ，所以 ＝ 且 ，
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，
所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当 时， 与 可以为任意向量，满足 ，
但 与 不一定共线，故选:ACD.
【题型2 平面向量的线性运算】满分技巧
向量的运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：
（1）平面四边形法则：平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；
（2）三角形法则：两箭头间向量是差，箭头与箭尾向量是和；
（3）平面向量多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个
向量终点的向量，即 。特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的
向量和为零向量．
【例2】（2023·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）在等腰梯形ABCD中， ，M为BC的
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在等腰梯形ABCD中， ，所以 ,
因为M为BC的中点，
所以
,故选:B.
【变式2-1】（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
，若 ，则 的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由题意及图可得，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ , ．
∵ ，∴ ， ，解得： ， ， ，故选：C．
【变式2-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）如图是一个正六边形 ，下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对A， ，故A正确；
对B，由图易得 ，直线 平分角 ，且 为正三角形，
根据平行四边形法则有 ，与 共线且同方向．
易知 ， 均为含 角的直角三角形，
故 ，则 ，
而 ，故 ，故 ，故B正确；
对C，因为 ， ，故C错误；
对D， ，则 在 上的投影向量为 ，故D正确．故选：ABD．
【变式2-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在平行四边形 中， 为对角线
上靠近点 的三等分点，延长 交 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知， ，所以 ，
又 ，所以 ，即 为 的中点，
所以 .故选：A【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知 的边 的中点为D，点E在 所在平面内，且
，若 ，则 （ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，故 .故选：A．
【题型3 平面向量共线定理及应用】
满分技巧
1、证明向量共线：若存在实数λ，使 ，则 与非零向量 共线；
2、证明三点共线：若存在实数λ，使 ， 与 有公共点A，则A，B，C三点共线；
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
【例3】（2022·四川绵阳·统考二模）已知平面向量a，b不共线， ， ，
则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】D
【解析】对A， 与 不共线，A错误；
对B， 则 与 不共线，B错误；
对于C， 则 与 不共线，C错误；
对于D， ，即 ，
又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确，故选：D.
【变式3-1】（2023·陕西铜川·高三校考期末）在 中，若 ，则点 （ ）
A．在直线 上 B．在直线 上 C．在直线 上 D．为 的外心
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，所以 和 共线，因为 和 有公共端点 ，所以 三点共线，所以点 在直线 上，故选：A
【变式3-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知平面向量 与 不共线，向量
，若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】C
【解析】由 ，且 均不为零向量，则 ，
可得 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ．故选：C．
【变式3-3】（2024·全国·高三专题练习）在 中， 是边 的中点， ，过点 的直线 交
直线 分别于 两点，且 ，则 .
【答案】
【解析】由题意：
由 三点共线知， .
，消去 ，得 .
【变式3-4】（2024·全国·高三专题练习）在 中， 为边 上的中线， 为 上一点，且
，若 ，且 （ ），则 ．
【答案】
【解析】如图所示，由 为边 的中点，得到 ，而 ，
因此 ，
所以 ，因为 ，得 ，
因为 ，设 （ ），所以 ，
所以 ，即 ．
因为 与 不共线，所以 ，得 ，故 ．
【题型4 平面向量基本定理及应用】
满分技巧
平面向量基本定理的实质及解题思路
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运
算，一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量的间的关系；
2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决。注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分
解是唯一的。
【例4】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）在 中，点D，E分别是 ， 的中点，记 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， ， ．
两式相减，得 ，所以 ．故选：D．
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）设向量 是平面内一个基底，且 ，则
向量 可以用另一个基底 表示，即 .
【答案】
【解析】设 ，因为 ，
所以 ，因为 不共线，所以 ，解得 ， .
【变式4-2】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知 ， 是两个不共线的向量， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， 是两个不共线的向量，设 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，故选：C
【变式4-3】（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）直角梯形 中，角 为直角，
， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以
，
可得 ， ，
又 ，所以 .故选：B.
【变式4-4】（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）如图，在 中， 分别是边
上的动点.（1）证明： ；
（2）当 分别是边 的中点时，用 表示 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）因为 分别是边 上的动点，
所以存在 使 ，
所以 .
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 分别是边 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
故 .
【题型5 平面向量的坐标运算】
满分技巧
1、向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用。
2、平面向量共线的坐标表示问题的解题策略：
（1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“ ，则 的充要条件
是 ”；
（2）在求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向量为
【例5】（2023·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）已知 是 的边 上的高，且 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
由 得 ，解得 ，
故 ，故选：B
【变式5-1】（2024·陕西西安·统考一模）已知平面向量 ，若 与 共线，则实数
．
【答案】2
【解析】 ，
若 与 共线，则 ，解得 .
【变式5-2】（2024·北京大兴·高三统考期末）设向量 ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故选：D
【变式5-3】（2024·河北保定·高三阜平中学校联考期末）已知向量 ， ， ，若正
实数 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故选：A.
【变式5-4】（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故
综上， 的取值范围是 .故选：B
【题型6 向量运算在几何中的应用】
满分技巧
利用向量运算解决几何问题时由两种方法：
一几何法：利用向量的线性运算求解几何关系；
二坐标法：根据题设条件建立合适的直角坐标系，通过坐标运算解决。
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若O是 所在平面内的一点，且满足
，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】∵ ， ，∴ ，两边平方，化简得
∴ ，∴ 为直角三角形.
因为 不一定等于 ，所以 不一定为等腰直角三角形，故选：D.
【变式6-1】（2023·黑龙江绥化·高三校考期中）在 中， ，则
是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为 ， ， ， ，
所以 ，所以 是等边三角形．故选：A．
【变式6-2】（2024·山东菏泽·高三鄄城县第一中学校考阶段练习）已知 的面积为24，平面 中
的点 分别满足 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】如图，由题意， ，
同理 ， ，
所以 ．故选：A．
【变式6-3】（2024·河南焦作·高三统考期末）已知 所在平面内一点 满足 ，则
的面积是 的面积的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【答案】A
【解析】设 的中点为 ，因为 ，
所以 ，所以 ，所以点 是线段 的五等分点，所以 ,
所以 的面积是 的面积的5倍．故选：A.
【变式6-4】（2023·陕西铜川·高三校考期末）如图，在直角梯形 中， ， ，
， 为 上靠近 的三等分点， 交 于 ．
（1）用 和 表示 ；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ， ，
又 为 上靠近 的三等分点，
，
；
（2） 交 于 ， ，
由（1）知 ．
．
三点共线， ，解得 ，
．即
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）设 为单位向量，下列命题中：①若 为平面内的某个向量，则 ；②若 与 平行，则 ；③若 与 平行且 ，则 ，假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量， 与 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；
若 与 平行，则 与 的方向有两种情况：
一是同向，二是反向，反向时 ，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3．故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）下列各式化简结果正确的是（ ）
A． ＋ ＝ B． ＋ ＋ ＋ ＝
C． ＋ － ＝0 D． － － ＝
【答案】B
【解析】对A， ＋ ，A错误；
对B， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ,B正确；
对C， ＋ － ＝ ，C错误；
对D， － － ＝ － ＝ ,D错误；故选:B.
3．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知在 中，点 在边 上，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中， ，
又点 在边 上，且 ，
则 ，故选：A.
4．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一
张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对
折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上
角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意
图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不妨设 ，则 ，
对于A项，显然 与 方向不一致，所以 ，故A项错误；
对于B项，由图知 是钝角，则 ，故B项错误；
对于C项，由题意知点 是线段 的中点，
则易得： ,即得： ，故C项正确；
对于D项，由 ，
而 与 显然不共线，故 ．即 项错误，故选：C．
5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量 ， ， 均为单位向量，则“ ”是“
与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】平面向量 ， ， 均为单位向量，则 ，
当且仅当 同向共线时取等号，则当 时， 与 共线，
反之， 与 共线并且方向相反时， ，
所以“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件，A正确，故选：A
6．（2023·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点 满足 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】 ,
，即 ， ， .故选：D.
7．（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）在 中，点 满足 ，点 满足 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 满足 ，所以 为 的中点，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选：C
8．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨
斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另
一部分与这部分之比，黄金分割比为 .如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，
，且点 为线段 的黄金分割点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，显然 ， ，
同理有 ， ，
所以 ，故 ，
因为 ，
所以 ，故选：D
9．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形 满足
，平面内点 满足 ， 与 交于点 ，若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为 ，所以 ,
又因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以，在平面四边形 中， ,
所以 且
所以 相似于 相似比为 ，所以 ,
,
所以 ，故选:B.
10．（2023·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为 的边 ，
的中点，若 ， ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由P，Q分别为 的边 ， 的中点， ，得 ，
点 为坐标原点， ，
因此 ，所以点C的坐标为 ，故选：A
11．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ．若 ，则 （
）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】向量 ， 满足 ， ，
，
由 ，则 ，解得 ，故选：D
12．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）设向量 ，若 ，
则实数m的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D【解析】向量 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以实数m的值为 ，故选：D
13．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知向量 ， ， ，若
，则 （ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由 ， ，
又由 ，可得： ，解得 ，故选：A.
14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在直角梯形ABCD中 ，
，点E为BC边上一点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，
设 ， ，
因此有
因为 ，
所以有 ，
而 ，所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，所以 的取值范围是 故选：B
15．（2024·山东青岛·高三青岛第十七中学校考期末）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（
）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取 ，满足 ， ，但 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对，故选：ABC.
16．（2023·山东青岛·高三统考期中）（多选）在 中，点 是 边的中点， 是边 的三分之一
分点，（靠近点 的）， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，点 是 边的中点， 是边 的三分之一分点，
可得 ，所以A正确；
设 为 的中点，连接 ，则 ，
在 中，因为 分别为 的中点，可得 且 ，
在 中，由 分别为 的中点，且 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以B正确；
由 ，可得 且 ，
则 ，且 ，
所以 ，所以C不正确；
由 ， ，且 ，
所以 ，所以D正确.故选：ABD.
17．（2023·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）已知向量 ， ， ，若
与 共线，则 .
【答案】
【解析】 ， ， ， ， ，
与 共线， ，得 .
18．（2024·陕西西安·高三统考期末）在 中， 在 上，且 ， 在 上，且 .
若 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 .
19．（2024·天津和平·高三统考期末）如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线
于不同的两点 ，记 ，用 表示 ；设 ，若
，则 的最小值为 ．
【答案】 ；
【解析】由题知， ，即 .
由 ， ，
所以 ，因为 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
20．（2022·湖南岳阳·统考三模）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧 上运动(包含B，C两个端点)，
∠BAC＝ ，且 ，x＋y的取值范围为 ．
【答案】[1，2]
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
，设 ，
所以 ，因此有 ，
因为 ， ，
所以有 ，
于是有 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
