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专题14 全等三角形中的动态问题（原卷版）
第一部分典例剖析+变式训练
类型一 单动点与全等三角形
典例1（2023春•惠济区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的
高，点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）试说明：∠A＝∠BCD；
（2）当点E运动多长时间时，CF＝AB？请说明理由．
变式训练
1．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的
速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运
动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
1
（1）运动 秒时，AE= DC；
3
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝ ，则∠ADE＝ （用含 的式子表示）．
α α类型二 双动点与全等三角形
典例2（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的
中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D
运动．
（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．
变式训练
1．（2023春•丰城市期末）如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP、BQ足够长，
PA⊥AB，QB⊥AB，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运
动的速度之比为3：4，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与
△BMN全等，求此时线段AC的长是多少？
2．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．
（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终
点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；
（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，
它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？类型三 线动与全等三角形
例3 （2020秋•新蔡县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出
这个等量关系，不需要证明）．
针对训练
1．（2020秋•沂源县期中）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM
摆 出 △ ABC ， 木 棍 AB 固 定 ， 木 棍 AC 绕 A 转 动 ， 得 到 △ ABD ， 这 个 实 验 说 明
．
2．（2020秋•宿豫区校级月考）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P
在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还
成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．类型四 形动与全等三角形
典例4（2021秋•兴化市期末）如图1，△ABC与△ADE是共顶点A的两个等腰三角形，其中AB＝AC，AD
＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．
（1）求证：CE＝BD；
（2）如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，若AD＝25，BC＝20，S△ABC ＝240，当点D旋转到线
段BC上时，求CE的长；
（3）如图3，设F为BD、CE的交点，G、H分别为BD、CE的中点，∠BFC＝ ，∠AGH＝ ，试探究
与 的数量关系，并说明理由． α β
α β针对训练
1．（2023•大新县校级模拟）已知：点P为∠AOB的角平分线的任意一点，∠EPF与∠AOB互补，∠EPF
的两边与∠AOB的两边交于E、F两点．
（1）如图1，当∠EPF绕着点P旋转时，PE和PF的数量关系是 ，请验证你的结论；
（2）如图2，若∠AOB＝90°时，∠EPF与∠AOB仍然互补，这时PE与PF还相等吗？并加以证明．
2．（2021秋•叙州区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关
系和位置关系？请说明理由． α α第二部分 专题提优训练
1．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现
有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动
时间为ts．
（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另
外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过
程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
2．（2023春•东源县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，
沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点
同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．3．（2023春•三水区校级期中）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、
BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°
至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为
定值，并求出该定值．
4．（2018秋•东胜区期末）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点 P（4，4）处，
两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA﹣OB的值．5．（2021秋•安徽期末）如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把
△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系
是 ．
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO、AD，猜想BO与AD之间有怎样的位置关系？画出图形，写出结论，无需
证明．
6．（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 ACBD以D为顶点作
∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数
量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则
AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）7．（2020春•市中区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB绕
点C顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）到△CEF的位置，点F在AC上．
（1）求 的度数θ； θ
（2）若θ3∠A＝2∠B，求∠CEF的度数．
（3）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
温馨提示：等腰三角形的两底角相等．
