文档内容
专题 14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
....................................................................................................................................................1
模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰 中， ， 是 边上的高，
， 是 上一动点，则 的最小值为 ．
例2．（23-24·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
例3．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形 中， ， ， 是对角线 上的任
意一点，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
例4．（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
例5．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）已知如图， 中直径 ， ，点 是射
线 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．例6．（2024·广西崇左·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 点，且与
轴的正半轴交于点 ， 点是该抛物线对称轴上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例7．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、
轴于 、 两点，若 是 轴上的动点，则 的最小值( )
A． B． C． D．例8．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP
的中点Q，连接CQ．当AB＝6 ，AD＝4 ，tan∠ABC＝2时，求CQ＋ BQ的最小值．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接 ．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．1．（2023.广西九年级期中）如图， 是圆 的直径， ，弧 ，点 是弦 上的一个动
点，那么 的最小值为
A． B． C． D．2．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一
动点，则 的最小值为
A．4 B．5 C． D．
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点，
则 的最小值为
A． B．6 C． D．3
4．（2024·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、
C重合），连接BP，则 AP+PB的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 、 相交于点O， ．点E是 的中点，若点F是对角线 上一点，则 的最小值是
．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ， ，
点 是直线 上一点，连接 ，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 ，
则 的最小值为 （用含 的代数式表示）．
ABCD AB AC 10 AC BD O
8．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点 ，1
点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则MP PB的最小值是______．
M AC AM 3 P BD 2
A 0，15
9.（2024·山东校考一模）如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D的坐标为 ．
10．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，
▱
则 的最小值为______．
11．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
．12．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形 中，点 ， 分别为 上的两点，连接
、 ，并延长交于点 ，连接 ， 为 上一点，连接 、 ， .
(1)如图1，若 为 的中点， ，且 ，求线段 的长；
(2)如图2，若 ，过点 作 于点 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， 为线段 （包含端点 、 ）上一动点，连接 ，过点 作 于点 ，
将 沿 翻折得 ， 为直线 上一动点，连接 ，当 面积最大时，直接写出
的最小值．
13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x
轴的负半轴上，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形 为菱形．(1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，E为 中点，连接 ，P为 上一点，连接 ，设P点横坐标
为t， 的面积为s，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图3，在（2）
的条件下，以 为边向右作等边 ，M为 中点，连接 ，求 的最小值．
14．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点
，与x轴交于点 ，点C为 中点，反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A
沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
15．（2024·江苏苏州·二模）如图，抛物线 的图像与 轴交于 、 两点（点 在点 左
侧），与 轴交于点 ，其中点 坐标(1,0)，点 坐标 ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 是抛物线
上一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点 为 轴上一个动点，则 最小值为_______．16．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形 中， ， ，点 、 分别为线段 、
上的动点，点 为边 的中点，连接 ， ．(1)求 的长；(2)连接 ，若 ，
求证： ；(3)若 ，试求 的最小值．
17．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于
的对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．
y kx2 y x2 bxc b0
18．（2020·湖南·中考真题）已知直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的一个
A(1,0) M(m,0) y kx2 y x2 bxc
交点为 ，点 是x轴正半轴上的动点．（1）当直线 与抛物线
b0
（b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
1 27 2
b
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 2，当 2AM 2DM 的最小值多 4 时，求b的值．
