文档内容
专题 14 课题学习 图案设计（2 个知识点 2 种题型 1 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.认识图案的形成过程（重点）
知识点2.图案的设计形成过程（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
题型2.利用轴对称和中心对称设计方案
【方法三】 仿真实战法
考法. 运用几何变换设计图案
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 能够利用平移、轴对称和旋转进行一些简单的图案设计。
2. 掌握简单图案的设计步骤和设计技巧。
3. 在应用图形变换进行图案设计的过程中，体会数学知识在生活中的应用价值，增强数学的应用意识。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1.认识图案的形成过程（重点）
图案的设计通常是利用基本图形的变换来进行的，每种基本变换都有一个共同特征，那就是变换前后
图形的形状、大小不发生变化，只有位置发生了变化，它们都属于全等变换，图案的设计较多的形式都是
经过组合变化而成的。
【例1】（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过
什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
【变式】（2021·河北·九年级专题练习）如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩
形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等．
（1）当m＝1时，a＝ ，b＝ ；
（2）当a＝24时，求b的值；
（3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由；
（4）直接写出a与b的数量关系．
知识点2.图案的设计形成过程（重点）1设计依据
应用基本图形的平移，轴对称、旋转变换进行图案设计。
2设计步骤
（1）明确设计目的与要求，在进行图案的设计时注意明确设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设
计要求及设计目的的条件下，才能合理地进行图案设计；
（2）确定基本图案和整体图案；
（3）分析整体图案是通过“基本图案”怎样变换（平移、轴对称或旋转）形成的。
【例2】（2023秋·吉林·九年级统考期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个
网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小
题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【变式】（2022秋·广东河源·九年级校考阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（ ）所示的瓷砖．请你用
块如图（ ）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（ ）、图（
）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴
影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）
【方法二】实例探索法
题型1.综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计1．（2023秋•潍坊月考）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是
轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图
就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
2．（2023•东莞市一模）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023•赣州三模）下列我国传统图案设计的四个图案中，有几个是轴对称图形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023•南关区校级模拟）小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计
α
出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则 可以为（ ）
α
A．30° B．60° C．90° D．120°5．（2023•岳池县模拟）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形
被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另
两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．
6．（2023•岳池县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案
与以上四幅图中的图案不能相同）
7．（2023•宁波模拟）如图，方格纸上画有两条线段，请再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对
称图形（找出符合条件的所有线段）．8．（2022•华蓥市模拟）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白
色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符
合要求的图形（画出三种即可）．
题型2.利用轴对称和中心对称设计方案
9．（2022春•新田县期中）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方
形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）选取2个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
10．（2022•岳池县模拟）下图是“弦图”，请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，
在以下方格纸中设计另两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图
案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
11．（2023•宁波模拟）如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．
（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的
涂法）；
（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．
12．（2023•江北区一模）如图，下列3×4网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小
正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
请将以上两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可．
13．（2023春•薛城区期中）如图，在5×5的正方形网格中，有4个小正方格被涂黑成“L形”．
（1）如图1，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）如图2，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图
形是中心对称图形但不是轴对称图形．
14．（2023•鄞州区校级一模）如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小
正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）
（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．
15．（2023春•新田县期中）正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对
称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图 1、图2补成既是轴对称图形，又是
中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母O．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
16．（2022秋•无为市期末）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有 3个小正
方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图（1）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心
对称图形；
（2）在图（2）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴
对称图形；
（3）在图（3）中选取2个小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形（请选用两种
不同的方案，分别填在图（3）两个图形中）．
17．（2023•余姚市一模）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正
三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（1）使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
18．（2022•大同模拟）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直
线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
（1）图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【方法三】 仿真实战法
考法. 运用几何变换设计图案
1．（2023•淄博）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
2．（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这
个图案绕着它的中心旋转角 （0°＜ ＜360°）后能够与它本身重合，则角 可以为 度．
（写出一个即可） α α α
3．（2022•温州）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移 2个单位后的图
形．
（2）在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转
180°后的图形．
4．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为 1的小
等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边
三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出
4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·九年级专题练习）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能
用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
3．（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）如图，将正方形图案绕中心 旋转 后，得到的图案
是（ ）A． B． C． D．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已
知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块
（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④
5．（2020·河北沧州·统考二模）下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称
图形，添加方法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020秋·全国·九年级专题练习）如图，两个全等的长方形 与 ，旋转长方形 能和长
方形 重合，则可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为
2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴
影部分图形的面积和为（ ）A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π
8．（2023春·四川绵阳·九年级专题练习）如图是某公司的商品标志图案，则下列说法：①整个图案是按照
中心对称设计的；②外部图案部分是按照轴对称设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内
层“A”是按轴对称设计的．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022秋·全国·九年级专题练习）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端
点按顺时针方向旋转 ，之后所得到的图形是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
11．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填
“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点
.（填“ ”或“ ”或“ ”）
12．（2020秋·九年级课时练习）如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序
实数对表示，如A点为(5，1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是
中心对称图形，则下列摆放正确的是 （请填写正确答案的序号）
①黑(1，5)，白(5，5)；②黑(3，2)，白(3，3)；③黑(3，3)，白(3，1)；④黑(3，1)，白(3，3)
13．（2022·九年级单元测试）如图所示，图形（1）经过 变换成图形（2），图形（2）经过
变换成图形（3），图形（3）经过 变换成图形（4）．
14．（2022·北京海淀·校考模拟预测）小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度 的最小值为 ．
15．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再
将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有 种不同的涂法．
16．（2021秋·全国·九年级专题练习）如果 ，那么 ．
17．（2022秋·全国·九年级专题练习）把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6
个涂上了阴影现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构
成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得 种轴对称图形．
18．（2020秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是
△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程
．
三、解答题
19．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．（2022秋·全国·九年级专题练习）动手操作，解决问题：如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸
片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、
图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给的四块直角三角形纸片拼
成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，
并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中
的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；
(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积分别是： ， ， ；
(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长分别是： ， ， ．
21．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形－－筝形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形 是筝形，其中 ， ．
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
(1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
(2)请仿照图1的画法，在图2所示的 网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的
新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．
22．（2023秋·江苏·九年级专题练习）画一画：
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽
与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 （分别用三个图的代号 、
、 填空）．
(2)请你在图 、 两个圆中，按要求分别画出与 、 、 图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画
均可，但要尽可能准确些，美观些）． 是轴对称图形但不是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心
对称图形．
23．（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中， 的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与 成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与 成轴对称且与 有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
24．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格
点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以 为腰的 ．(2)在图2中画一个四边形 ，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图 方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的
顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
26．（2022秋·全国·九年级专题练习）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，
剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四
幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
