甘肃省兰州市第六十一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理科）试卷_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考

兰化一中 2023 届高三第四次阶段考试 数学（理科） （命题人：李兰萍 杨润叶 2023 . 1 ） 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1. 已知z  1i  10，则 z =（ ） 1 2 A.1 B. 2 C. D. 2 2     2. 已知集合A xx2 4,xZ ,B  y| y  x2,xA,则A∩B（ ） A. B. C. D. 0,2,4  1 0,1 2 0,1,4 0,4 3. 已知sin  ，则cos2 （ ）  6 2  3  1 1 1 1 A． B． C． D． 4 2 4 2 4. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企 业统计了最近6 年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据， 并绘制成如图所示的散点图．已知 x，y 的平均值分别为x7，y10．甲统计员得到的回归 方程为  y1.69xa  ；乙统计员得到的回归方程为yˆ 2.52e0.17x ；若甲、乙二人计算均未出现错 误，有下列四个结论： ①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可 得年利润估计值为75.6（百万元）（取e3.4 30）； ②aˆ1.83； ③方程yˆ 1.69xaˆ比方程yˆ 2.52e0.17x拟合效果好； ④y与x 正相关． 以上说法正确的是（ ） A．①②④ B．②④ C．②③ D．①③④ 高三数学（理） 第 1 页 共 6 页5. 在等差数列 a 中a 0，且a a a  4038,则a a 的最大值等于（ ） n n 1 2 2019 1 2019 A．9 B．8 C．6 D．4 6. m1 是 椭圆mx2 3y2 6m0的焦距为4 的（ ） “ A”．充“ 分不必要条件 B．必要” 不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年 都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟， 在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参 观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中 随机选择4 个进行参观，所有选择中至少包含2 个最值得参观洞窟的概率是（ ） 4 3 1 1 A． B． C． D． 7 7 2 35 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 9 9 A. 4 B. C. 3 D.34 2 2 9. 已知抛物线C:x2 2py(p 0)的焦点为F ，准线为l，点M 在抛物线C 上，过点M 作 MAl，A为垂足，已知直线AF 的斜率为2， AFM 的面积为10，则 p等于（ ） △ A．4 B．6 C．8 D．10 10.若函数 f(x)ex cosxa 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） 0,π A． B． C． D． 11.在三棱[−锥P 2  ,+ AB ∞ C )中，侧[棱1, P + A ∞  )底面ABC ( , 1 P , A +  ∞ 5 )，如图是其底(面−  2 A , B + C ∞用) 斜二测画法所 画出的水平放置的直观图A'B'C'，其中O'B' O'C' O'A' 2，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ） 高三数学（理） 第 2 页 共 6 页A．36 B．41 C．48 D．50 lnx,0 x  e  12.已知函数 f (x)  e ，若0abc且满足 f(a) f(b) f(c)，则  ,x  e x af(b)bf(c)cf(a)的取值范围是（ ）  1   1 A．(1,) B． e,  C．1,e 1 D．e,2e   e   e 二、填空题（共 4 小题，每小题5 分，共 20分） 13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数 f  x    x 也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号 x 表示不超过  2k x 的最大整数，如： 2.39  2， 0.17  1．若函数 f  k   cos  kZ ，则 f  k 的值域为    3  _________． 14.  1ax 2 1x 5的展开式中，x4项的系数为35，则实数a的值为______． 15. 在 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若 ，则 3 2 acosB△  A _ B __ C ___. ( + )⋅ = 5| | bcosA 16. 已知数列 a 满足a a 2  1 n,nN*，且a 1，则a ________． n n n1 4 2023 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题，共 60 分 2cb cosB 1 17. (12分) 在①  ，② 2acosCc2b ，③ asin AcosC csin2A 3bcosA. a cosA 2 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 问题：锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且______. （1）求A； （2）求cosBcosC 的取值范围. 高三数学（理） 第 3 页 共 6 页18. (12分)2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增 强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有 200 名同学参赛．为了解竞赛成绩的 分布情况，将200名同学的竞赛成绩按 、 、 、 、 、 、 分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图． 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 （1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数； （2）学校决定对竞赛成绩不低于 80 分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低 于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党 史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80 分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望． 奖品数量（单位：本） 2 4 概率 3 1 4 4 19. (12分) 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九 章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题， 如图 1，E,F,G 分别是边长为 4 的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG 将等腰 直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB,CG就得到了 一个“刍甍”(如图2)． 高三数学（理） 第 4 页 共 6 页（1）若O是四边形EBCF 对角线的交点，求证：AO∥平面GCF . 2 （2）若二面角AEF B的大小为 ，求直线AB与平面GCF 所成角的正弦值. 3 x2 y2 20.(12分) 已知椭圆C:  1  a b0 ，倾斜角为30的直线过椭圆的左焦点F 和上顶点B， a2 b2 1 3 且S 1 （其中A为右顶点）. ABF 1 2 (1)求椭圆C的标准方程；   (2)若过点M(0,m)的直线l与椭圆C 交于不同的两点P，Q，且PM  2MQ ，求实数m的取 值范围. lnx 21.(12分) 已知函数 f (x)  aex  ,aR. x （1）若xe时， f(x)取得极值，求 f(x)的单调区间； （2）若函数g(x)  xf (x) x,x[1,),求使g(x)2恒成立的实数a的取值范围. 高三数学（理） 第 5 页 共 6 页（二）选考题（共 10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.） 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] x 2t 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数），以坐标原点O为极 y  3(1t)  π 点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin   ．  6 (1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程； 1 1 (2)直线l与y轴交于点P，与曲线C交于A,B两点，求  ． 2 2 PA PB 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知m2n2，且m1,n0. 1 2 （1）求  的最小值； m1 n m2 4n2 （2）求  的最小值. 2n2 m1 高三数学（理） 第 6 页 共 6 页