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专题 15.3 根据分式解的情况求值
{ − x ≤− m +1 ) 1 m−y
【典例1】若关于x的不等式组 2 2 有解，且使得关于y的分式方程 − =2有非
y−2 2−y
−2x+1≥4m−1
负整数解，求所有的整数m的和．
【思路点拨】
解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定 m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出
y，根据方程有非负数解结合m的取值范围确定符合条件的m即可求解．
【解题过程】
{ − x ⩽− m +1① )
解： 2 2 ，
−2x+1⩾4m−1②
解①，得 x⩾m−2，
解②，得 x⩽−2m+1，
因为关于x的不等式有解，
∴m−2⩽−2m+1，
∴m⩽1，
1 m−y
解分式方程 − =2，
y−2 2−y
5+m
得 y= (m≠1)，
3
由于分式方程有非负整数解
∴y≥0
5+m
∴ ≥0
3
解得m≥-5
∴m的取值范围为-5≤m≤1
又∵y是整数
∴m=-5，-2，1又∵y≠2（y=2是分式方程的增根）
∴m≠1
∴所有的整数m的和是−5−2=−7．
{2x−1
−
5x+1
≥1,)
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式组 3 2 有解，且使关于y
x+5>a
ay−2 1
的分式方程 =2− 的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
y−3 3−y
A．8 B．5 C．3 D．2
【思路点拨】
2x−1 5x+1
− ≥1① ay−2 1
解不等式组{3 2 ，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于 =2−
y−3 3−y
x+5>a②
3
， 得到：y= ，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1；
2−a
即可求解；
【解题过程】
2x−1 5x+1
− ≥1①
解：{3 2
x+5>a②
由①得：x≤-1，
由②得：x＞a-5，
因为不等式组有解，
∴a-5＜x≤-1;
∴a-5＜-1;
∴a＜4，
ay−2 1
由 =2− ，
y−3 3−y
ay−2 2y−5
得 = ，
y−3 y−3
3
得到：y= ，
2−a∵a＜4，且y≠3，为整数，
∴a=3，-1；
3+（-1）=2．
故选：D
2．（2022春·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考期中）若数a使关于x的不等式组
{x−5
+1≤
x+1
) a−3 2
2 3 至少有五个整数解，关于y的分式方程 − =2的解是非负整数，则满足条件
y−1 1−y
5x−2a>2x+a
的所有整数a之和是（ ）
A．15 B．14 C．8 D．7
【思路点拨】
解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情
况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可.
【解题过程】
{x−5
+1≤
x+1
①)
解： 2 3
5x−2a>2x+a②
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
a−3 2
− =2
y−1 1−y
a−3+2=2(y−1)
a−1=2y−2
2y=a+1
a+1
y=
2
∵y−1≠0
∴y≠1
a+1
∴ ≠1
2∴a≠1
∵y≥0
a+1
∴ ≥0
2
∴a≥−1
∴−1≤a<7,且a≠1，a为整数
a+1
又∵ 为整数
2
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故选：D
a y−6
3．（2022春·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）关于y的分式方程3− = 有正整数解，且关
y−2 2−y
3
{ 3x+ <3a)
2
于x的不等式组 无解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2x−3 2
≥
6 3
A．−4 B．0 C．−8 D．−12
【思路点拨】
依据不等式组无解，即可得到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞-12且a≠-4，进而得出-12＜
a+12
a≤4且a≠-4，根据y= 是正整数，可得a=-8，0，4，计算和可得结论．
4
【解题过程】
3 2a−1
解：解不等式3x+ <3a得，x＜ ，
2 2
2x−3 2 7
解不等式 ≥ 得，x≥ ，
6 3 2
∵不等式组无解，
7 2a−1
∴ ≥ ，
2 2
解得a≤4；
a y−6
由分式方程3− = ，
y−2 2−ya+12
解得：y= ，
4
∵分式方程有正整数解，
∴y＞0且y≠2，
a+12 a+12
即 ＞0且 ≠2，
4 4
解得a＞−12且a≠−4，
∴−12＜a≤4且a≠−4，
a+12
∵ 是正整数，
4
∴a=−8，0，4，
∴满足条件的所有整数a的和=−8+0+4=−4，
故选：A．
{3x+4≤2x+8
)
4．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）若于x的不等式组 5x+a 有且仅有5
1−
7
{3x+4≤2x+8
)
∵x的不等式组 5x+a 有且仅有5个整数解，即0、1、2、3、4
1− −a
a 2
关于y的分式方程 + =−2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
2−y y−2
A．3 B．1 C．0 D．-3
【思路点拨】a 2
先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出−4−
7x+4>−a 7
∵不等式组有且仅有四个整数解，即整数解为：3、2、1、0；
a+4
∴−1≤− <0，
7
∴−42，且关于y的分式方程 =1− 的解为正整数，则所有满足条件的
x+2>a y−3 3−y
所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
根据分别求出不等式组的每一个不等式，然后根据一元一次不等式的解集为x>7确定出a的一个解集，然
后根据分式方程的解为正整数得出a的另一个范围，从而得出所有整数a的和．
【解题过程】{3(3−x)−1a②
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x>a−2，
∵不等组的解集为x>2，
∴a−2≤2，
解得a≤4，
ay−5 4
解分式方程 =1− ，
y−3 3−y
去分母得：ay−5= y−3+4，
6
解得：y= ，
a−1
∵分式方程的解为正整数，
6
∴ >0，
a−1
∴a−1>0，
∴a>1，
∴a=2，3，4，
当a=3时，y=3，分式方程的分母不能为0，
∴a=2，4，
∴所有整数a的和为2+4=6，
故选C．
x−4
{ 4，且关于x的分式方
m−x
<0
5
6 mx−3
程 +1= 有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
x−3 x−3
A．5 B．6 C．7 D．9
【思路点拨】
解不等式组，根据解不等式组的法则可得m的取值范围，再解分式方程，根据题意求出整数m的值即可解
答．
【解题过程】x−4
{ 4)
得： ，
x>m
不等式组的解集为x>4，
∴ m≤4，
6 mx−3
解关于x的分式方程 +1= ，
x−3 x−3
6
可得x=− 且x≠3，
1−m
∵分式方程有正整数解，
∴1−m的值为−1，−3，−6，
即m的值为2，4，7，
∵m≤4，
∴ m的值为2，4，
故满足条件的所有整数m的和为2+4=6．
故选：B．
{2x+5
>2x−1)
8．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的不等式组 3 至少有三个整数解，且关于y的
2x≥a−2
y+9 ay−9
分式方程 =2− 有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
y−3 y−3
A．−5 B．−6 C．−7 D．−8
【思路点拨】
先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到a≤0，再解分式方程确定a的值即可得到答案．
【解题过程】
2x+5
解：解不等式 >2x−1得：x<2，
3
a−2
解不等式2x≥a−2得：x≥ ，
2
{2x+5
>2x−1)
∵关于x的不等式组 3 至少有三个整数解，
2x≥a−2a−2
∴ ≤−1，
2
∴a≤0；
y+9 ay−9
=2−
y−3 y−3
去分母得：y+9=2(y−3)−(ay−9)，
去括号得：y+9=2y−6−ay+9，
移项得：y−2y+ay=−6+9−9，
合并同类项得：(a−1)y=−6，
−6
∴y= ，
a−1
y+9 ay−9
∵关于y的分式方程 =2− 有正整数解，
y−3 y−3
−6
∴ >0，
a−1
∴a−1=−1或a−1=−2或a−1=−3或a−1=−6，
∴a=0或a=−1或a=−2或a=−5，
−6
又∵y= ≠3，
a−1
∴a≠−1
∴(−2)+(−5)=−7，
故选C．
{ − x ≤− a +12 )
9．（2023春·八年级课时练习）若a使得关于x的不等式组 3 3 有解，且使得关于y的分式
−2x+1≥4a−5
a−4 y 2
方程 − =1有非负整数解，则所有满足条件的a的值的和是（ ）
3−y y−3
A．24 B．25 C．34 D．35
【思路点拨】
{ − x ≤− a +12 ) a−4 y 2
先根据不等式组 3 3 有解，得出a的取值范围，再解分式方程 − =1，得出
3−y y−3
−2x+1≥4a−5
a−1
y= ，a≠10，再根据y为非负整数找出满足条件的a的值，最后求和即可．
3【解题过程】
x a
解：解不等式− ≤− +12，得x≥a−36，
3 3
解不等式−2x+1≥4a−5，得x≤3−2a，
{ − x ≤− a +12 )
∵解关于x的不等式组 3 3 有解，
−2x+1≥4a−5
∴ 3−2a≥a−36，
解得a≤13；
a−4 y 2
将分式方程 − =1化为整式方程，得a−4 y+2=3−y，
3−y y−3
a−1
解得y= ，
3
∵ 3−y≠0，
a−1
∴ y= ≠3，
3
解得a≠10，
a−4 y 2
又∵关于y的分式方程 − =1有非负整数解，
3−y y−3
∴当a取13，7，4，1时，该分式方程有非负整数解，
∵ 13+7+4+1=25，
∴所有满足条件的a的值的和是25，
故选B．
x+2 a
10．（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且
x−1 1−x
{ 2y−1≥3 y−2 )
使关于y的不等式组 13 5 3 的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为________．
y− a≤ −a
6 3 2
【思路点拨】
x+2 a { 2y−1≥3 y−2 )
分别根据关于x的分式方程 + =3的解为非负数和关于y的不等式组 13 5 3 的解集
x−1 1−x y− a≤ −a
6 3 2
为y≤1，求出整数a的取值范围，进而求出满足条件的a的值，然后相加即可．
【解题过程】解：原分式方程可化为：
x+2 a
− =3，
x−1 x−1
等式两边同乘(x−1)得：x+2−a=3(x−1)，
5−a
解得：x= ，
2
5−a 5−a
由题意可知： ≥0，且 ≠1，
2 2
解得：a≤5且a≠3；
{ 2y−1≥3 y−2 ) { y≤1 )
解不等式组： 13 5 3 得： 4a+9 ，
y− a≤ −a y≤
6 3 2 13
∵关于y的不等式组的解集为y≤1，
4a+9
∴ ≥1，
13
解得：a≥1，
∴1≤a≤5，且a≠3；
∵a为整数，
∴a为1、2、4、5，
∴符合条件的所有整数a的和为：1+2+4+5=12，
故答案为：12．
{3x
−1≥
x+4
)
11．（2022秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）若关于x的不等式组 2 2 无
a−x>7
3 y a+ y
解，且关于y的分式方程 =1− 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．
2−y y−2
【思路点拨】
首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，
a+2
为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．
3
【解题过程】
解：¿，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x1
2
y a
y的分式方程 + =−1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为__________．
y−2 2−y
【思路点拨】
分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方
程，根据方程有非负整数解，且y−2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为
整数，求出a的值，最后求和即可．
【解题过程】
{2x−1≤3(x−2)①
)
解： x−a
>1②
2
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x>2+a，
∵不等式组的解集为x≥5，
∴a+2<5，
∴a<3；
分式方程两边都乘以(y−2)得：y−a=2−y，
a+2
解得：y= ，
2
∵分式方程有非负整数解，
a+2 a+2
∴ ≥0， 为整数，
2 2∴a≥−2，a为偶数，
∵分式要有意义，
a+2
∴y−2= −2≠0，
2
∴a≠2，
综上所述，−2≤a＜3且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：−2，0，
∴符合条件的所有整数a的和为−2＋0＝−2．
故答案为：−2．
ax x
14．（2022春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）如果关于x的分式方程 −2= 有整数
x−2 2−x
{a−2x≤1−x
) 5
解，且关于x的不等式组 4x+1 的解集为x> ，那么符合条件的所有整数a的和为__
>x+3 2
2
【思路点拨】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出a的值，不等式组整理
后，由已知解集确定出a的范围，进而确定出满足题意的所有a的值，求出它们的和即可．
【解题过程】
ax x
解： −2=
x−2 2−x
去分母得：ax−2x+4=−x，
4
∴x= ．
1−a
∵这个分式方程有整数解，
∴1−a可以是：1或−1或−2或4或−4，
∴a=0,2,3,−3,5．
{a−2x≤1−x
)
{x≥a−1
)
关于x的不等式组 4x+1 整理得： 5 ，
>x+3 x>
2 2
5
∵这个不等式组的解集为x> ，
2
5
∴a−1≤ ，
27
∴a≤ ，
2
∴a的值为：0，2，3，−3，
∴符合条件的所有整数a的和为：0+2+3+(−3)=2．
故答案为：2．
a 4 1
15．（2023春·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程 + = 的解为非负数，且使
x−3 3−x 2
{y+7≤2(y+4)
)
关于y的不等式组 5 y−a 有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为________．
<1
3
【思路点拨】
5
先解分式方程，根据分式方程的解为非负数，所以2a−5≥0，得出a≥ ，根据分式有意义的条件得出
2
a≠4，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，得出7≥a>2，继而求得整数a，求其和即可求解．
【解题过程】
解：分式方程可得：x=2a−5，因为分式方程的解为非负数，所以2a−5≥0，
5
解得：a≥ ，
2
由于方式方程分母为x−3，
所以x≠3，即2a−5≠3，
所以a≠4，
{y+7≤2(y+4)
)
解关于y的不等式组 5 y−a 得：
<1
3
{ y≥−1 )
a+3 ，
y<
5
因不等式组有3个整数解，即−1，0，1三个整数解，
a+3
故2≥ >1，
5
解得：7≥a>2，5
综上所得：7≥a> 且a≠4，则a的整数值为：3，5，6，7，
2
因为3+5+6+7=21，
故答案为：21
x m−1
16．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程 − =3的解为正整数，且关于y的不
x−2 2−x
{ 2 ( y− m) ≤5)
2
等式组 至多有五个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为_____．
y y+2
1+ ＞
2 6
【思路点拨】
m+5 m+5
分别求出分式方程与一元一次不等式组的解，再由已知得到 ＜4， 是2的倍数，由分式方程增
2 2
m+5
根的情况可得到 ≠2，结合所求的解情况即可求出满足条件的m．
2
【解题过程】
{ 2y−m≤5 )
解：化简不等式组为 ，
6+3 y＞y+2
m+5
解得：−2＜y≤ ，
2
∵不等式组至多有五个整数解，
m+5
∴ ＜4，
2
∴m＜3，
将分式方程的两边同时乘以x−2，得
x+m−1=3x−6，
m+5
解得：x= ，
2
∵分式方程的解为正整数，
∴m+5是2的倍数，
∵m＜3，
∴m=−3或m=−1或m=1，∵x≠2，
m+5
∴ ≠2，
2
∴m≠−1，
∴m=−3或m=1，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为−2，
故答案为：−2．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组¿无解，且关于y的分式方程
7 ay
+ =−1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
y−1 1−y
【思路点拨】
先解不等式组，根据不等式组无解，得出a>−2，解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出
a=2,3,4,7，求其和，即可求解．
【解题过程】
a x
{ x+ ≥a− ①)
3 3
解：
1 2 3
x+ ≤ ②
15 3 5
a
解不等式①得：x≥
2
解不等式②得：x≤−1
∵不等式组无解
a
∴ >−1
2
解得：a>−2，
7 ay
解分式方程 + =−1
y−1 1−y
6
解得：y=
a−1
∵y≠1或0
∴a≠1或a≠7
∵分式方程的解为正整数，
6
∴ >0，且a−1=1,2,3,6
a−1解得：a>1，a=2,3,4,7
∵a≠7
∴a=2,3,4
∴2+3+4=9，
故答案为：9．
3 y−2
{ ≥2y+1)
2
18．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若关于y的不等式组 的解集
y−a
<1
3
1−x a
为y≤−4，且关于x的分式方程 +4= 的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是
x−3 3−x
_______．
【思路点拨】
11−a 11−a
解不等式组再结合y≤−4可得a+3≥−4，解分式方程可得x= 且 ≠3，据此求得整数a的值即
3 3
可．
【解题过程】
3 y−2
解：由 ≥2y+1得：y≤−4，
2
y−a
由 <1得：y＜a+3，
3
∵不等式组的解集为y≤−4，
∴a+3>−4，
∴a>−7，
1−x a
∵ +4=
x−3 3−x
1−x+4x−12=−a，
3x=11−a，
11−a
∴x= ，
3
∵方程的解是非负整数，
∴11−a是3的倍数，
11−a
∵ ≠3，
3∴a≠2，
∴a的取值为−4，−1，5，8，11，
∴所有满足条件的整数a的值之和是19．
故答案为：19．
{x−4
>4x−a)
19．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组 2 最多有2个整数解，且关于y
5x≥3(x−1)
3a 1 3
的分式方程 − = 的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
2(y−3) 2 y−3
【思路点拨】
先解不等式组，再根据不等式组最多有2个整数解求得a的取值范围，再解分式方程，根据方程的解为非
负数求出a的取值范围，进一步求解即可．
【解题过程】
{x−4
>4x−a)
3 2a−4
解：解不等式组 2 得− ≤x< ，
2 7
5x≥3(x−1)
∵不等式组最多有2个整数解，
3 2a−4
∴− < ≤1，
2 7
13 11
解得−
x−2
)
21．（2023·重庆·模拟预测）若整数a使关于x的不等式组 3 2 有解且最多有三个偶数解，
2(x−1)≥x+a
a−5 4
且使关于y的分式方程 − =2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为_____．
y−1 1−y
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，依题意可得−2
x−2
①)
解： 3 2 ，
2(x−1)≥x+a②
由①得，x<6，
由②得，x≥a+2，
∵不等式组有解且最多有三个偶数解，
∴−20
)
正数，关于y的不等式组 1 1 有解且最多5个整数解，则所有符合条件的整数m之和为
y− (2m−4)<1
2 4
______．
【思路点拨】
先解方程及不等式组，根据不等式组有解及该分式方程的解为正数可求解m的取值范围，进而可求解所有
满足条件的整数m之和．
【解题过程】
解：解分式方程，去分母，得：2m−4=x−3，
解得x=2m−1，
∵方程的解为正数，
∴2m−1>0
1
解得m> ，
2
∵当x=3时是方程的增根，
∴2m−4≠0，
解得m≠2，
1
∴m> 且m≠2；
2
解不等式组，由y+1>0解得y>−1，
1 1
由 y− (2m−4)<1解得y−1，
又∵此不等式组最多有5个整数解，
∴−1x− ②
2 2
2−a
解不等式①得：x≤
5
5
解不等式②得：x>−
2
∵不等式组有且仅有四个整数解，
2−a
∴1≤ <2
5
解得：−83，最后问题可求解．
a−2
【解题过程】
16 2 a
解：解方程分式方程 + = ，
x(x−4) x x−4
8
得x= ，
a−2
∵分式方程的解为正整数解，
∴a−2=1或2或4或8，又x≠4且x≠0，
∴a≠4，
∴a=3或6或10，
y+1 y−1
{ − >1)
2 3
由关于y的不等式组 有解，
1−y
≥3−a
2
解得：11，
解得：a>3，
综上，符合题意的整数a的值有6，10，
∴符合条件的所有整数a的和为16．
1 1
{ x− (4a−2)≤ )
4 2
26．（2021·湖北荆州·统考一模）若关于x的一元一次不等式组 的解集是x≤a，求关
3x−1
)
2 3 2
整数解，且使关于y的不等式组 至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的
1−y
≤3−a
2
和．
【思路点拨】
解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解得出a
的范围，继而可得整数a的值．
【解题过程】
1 2y−1 1
(y+4)− > ①
2 3 2
解：解不等式组{
1−y
≤3−a②
2
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6．
16 2 a
解关于x的分式方程 + = ，
x(x−4) x x−4
8
得：x= ，
a−2
∵分式方程有正整数解，
8 8
∴a-2是8的约数，且 ≠4， ≠0，a≠2，
a−2 a−2
解得：a=3或6或10（舍去），所以所有满足条件的整数a的值为3，6．
那么符合条件的所有整数a的和为3+6=9．
x+2 a
28．（2022·山东聊城·统考二模）若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且使关于y的
x−1 1−x
{y−3
−
y+1
≥−
13
)
不等式组 4 3 12 的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．
2(y−a)＜0
【思路点拨】
先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数解计算即
可．
【解题过程】
x+2 a
解：∵ + =3，
x−1 1−x
去分母，得
x+2-a=3x-3,
移项、合并同类项，得 2x=5-a，
系数化为1，得
5−a
x= ，
2
x+2 a
∵数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且x-1≠0，
x−1 1−x
5−a 5−a
∴ ≥0, ≠1，
2 2
∴a≤5,a≠3，
{y−3
−
y+1
≥−
13
①)
∵ 4 3 12 ，
2(y−a)＜0②
∴①的解集为y≤0，②的解集为y＜a，
{y−3
−
y+1
≥−
13
)
∵ 4 3 12 的解集为y≤0，
2(y−a)＜0∴a＞0，
∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5，
