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专题 15.3 等腰三角形的性质和判定（七大题型）
【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边
长】.........................................................1
【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】..................................................................2
【题型3：判断等腰三角形的个数】............................................................................3
【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】........................................................5
【题型5：等腰三角形的判定】..................................................................................7
【题型6：等腰三角形的判定与性质】........................................................................9
【题型7： 等腰三角形的实际应用】........................................................................11
【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．3或7 C．13或17 D．17
2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定
3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ．
4．已知有理数 ， 满足 ，则以 ， 的值为两边长的等腰三角形周长是
a b |4−a)+(b−9) 2=0 a b
．
5．如图，△ABC中，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向
平移7cm得到线段EF，与边AB,BC相交于E,F，并构成以BF为底边的等腰△EBF，
则△EBF的周长为 cm．【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】
1．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=40°，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，
AD与BE交于点F，则∠BFD的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．70°
2．在△ACD中，点E在AD上，并且CE=AC=DE，若AB平行CD，∠BAD=25°，则
∠CAB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．75°
3．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40° B．40°或70° C．100° D．40°或100°
4．某平板电脑键盘支架如图所示，其中AB=CD，EA=ED．为了使用的舒适性，可调
整∠AEC的大小．若∠AEC=140°，则∠BDE的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°5．如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连
1
接BD，再分别以点C，D 为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧交于点 E，射线BE
2
交AC于点F，若∠A=40°，则∠ABF的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，在△ABC中，AC=BC,BD是AC边上的高，∠CBD=40°,AE∥BD交CB的
延长线于点E，则∠BAE的度数为
❑
°．
7．如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上（点D不与点B，C重合），
连接AD，作∠ADE=40°且边DE交线段AC于E，若AB=DC，则∠BAD的大小为
°．
8．如图，AB=BC=CD=DE=EF，∠MEF=90°，则∠A的度数为 ．
9．如图，在Rt△ABC中，DE是斜边AB的垂直平分线，连接BD，若∠CBD=26°，则
∠A= 度．【题型3：判断等腰三角形的个数】
1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，
且BE=BD，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，
给出下列结论：①∠C=72°；②BD平分∠ABC；③BC=AD；④△BDC是等腰三
角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图所示，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，DE=AE，图中
等腰三角形的个数（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，折叠该纸片，使点A、点B重合，折痕
交AC边于点D，连接BD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O
作EF∥BC交AB于E，交BC于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是
图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
2．如图，在平面直角坐标系中，点A(0, 4)，点B(3, 0)，若点C在x轴上，且△ABC为等
腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3.北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使
得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(3,0)，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角
形，则满足条件的点C的个数是（ ）A．3 B．4 C．7 D．8
5．如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确
定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(3,0)，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角
形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．如图，坐标平面内一点A(3,−2)，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、
O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【题型5：等腰三角形的判定】
1．如图，AB∥CD，∠ACD的平分线交AB于点E．求证：△ACE是等腰三角形．2．如图，△ADB≌△ADC，E是边AC上一点，连接DE．若AB∥DE，求证：△ADE
是等腰三角形．
3．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，BE=FC，
∠ABC=∠DFE．求证：△GEC是等腰三角形．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：
△CDB是等腰三角形．
5．如图，△ABC中，D为BC中点，∠1=∠2．求证：△ABC为等腰三角形．6．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是E,F．
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)求证：△ABC是等腰三角形．
7．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，请说明△ABC
是等腰三角形．
【题型6：等腰三角形的判定与性质】
1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF经过点D，与AB,AC相交
于点E，F，且EF∥BC．(1)求证：△BED是等腰三角形；
(2)若AC=6cm,AB=8cm，直接写出△AEF的周长： ．
2．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．过点 A作AF⊥AB，并
截取AF=BD，连接DC,DF,CF．
(1)判断△CDF 的形状并证明；
(2)若BC=6,AF=2，求AB的长．
3．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
(1)求证：∠ACD=∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，试判断△CEF的形状，并说明理由．
4．如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD．EF垂直平分AB，分别交
AB于点E，交AC于点F，交AD于点M，连接BM，CM．(1)求证：△AMC是等腰三角形；
(2)若∠CAD=20°，求∠AFE的度数．
5．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B=40°．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求证：AE=DE
6．如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠4=72°．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若△ABD的周长比△ADC的周长大9，求AC的长．
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于
D，连接BD．(1)若∠A=50°，求∠DBC的度数．
(2)若△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于
点D，E．
(1)求证：△BCD是等腰三角形：
(2)若△BCD的周长是13，BC=5，求CE的长．
【题型7： 等腰三角形的实际应用】
1．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向，又航行10海里后，
在B处测得小岛P在北偏东60°方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向
东航行有无触礁危险？请说明理由．
2.如图，灯塔C在海岛A 的北偏东75°的方向，某天上午9点整，一艘船从海岛A 出发，
以30海里/时的速度向东航行，11点整到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东60°的方向．
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)已知在以灯塔C为中心，周围25海里的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，
是否有触礁的危险？请说明理由．
3．某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河
的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案．
组别 方案
①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵
树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行
15m处有一棵树C，继续前行15m到达
点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方
甲组
向行走，当到达A树正好被C树遮挡住
的点E处时（即点A、C、E在同一直
线上），停止行走；④测得DE的长为
10m．
①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵
树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，
沿着与直线AB成50°角的BC方向前进
乙组
到C处，在C处测得∠C=25°，③量出
BC的长，它就是河宽（即点A、B之
间的距离）
问题解决
（1）根据甲组的方案，
①河的宽度是 m；
②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程）
（2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至
少2条）4．王晓想测量一棵树的高度AB，如图，树杆AB上的C处开始有分枝长出，王晓在地面上
的点D处测得∠CDB=45°，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点P处时，恰
好测得PA=PE，PC=PD，且A、P、D三点在一条直线上，C、P、E三点在一条
直线上，点E在BD的延长线上，若BD=6米，DE=5米，AB⊥BE于点B，请你求
出这棵树的高度AB．
5．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支
架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小
球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点
B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、
O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD=7cm，OD=15cm．
(1)小明认为∠COE与∠B一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由；
(2)连接AC，若∠COE=50°，求∠CAO的度数；
(3)求DE的长．1．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C=2∠B,AC=5,CD=3，则AB的
长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若∠A=60°，∠1=24°，
则∠2的度数为（ ）
A．24° B．36° C．48° D．56°
3．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（
）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若
BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S ＝2S ，其中正确的结论共有（ ）
ADB BDF
△ △
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为 ．
6．已知：如图，点D在线段BC上，AD=AB，∠BAD=∠CAE，AD平分∠BDE．求
证：
(1)△ACE是等腰三角形．
(2)∠CAE=∠CDE．
7．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个
三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线
段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在 ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的
“好线”，并标出等△腰三角形顶角的度数．
如图②，已知 ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的
“好好线”，△并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在 ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最
大内角的△所有可能值 （按从小到大写）；
（2）在 ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是 ABC的“好好线”，点D在BC边上，
△ △点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ．
