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专题 15.4 分式方程及分式方程的实际应用之七大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 分式方程的定义】............................................................................................................................1
【考点二 解分式方程】....................................................................................................................................2
【考点三 已知分式方程的增根求参数】........................................................................................................4
【考点四 已知分式方程的无解求参数】........................................................................................................6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】........................................................................................................8
【考点六 列分式方程】..................................................................................................................................10
【考点七 分式方程的实际应用】..................................................................................................................11
【过关检测】...........................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在① ，② ，③ ，④ 中，其
中关于 的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·八年级课时练习）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤；⑥ ．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：
(1) ; (2) ．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根
是_______．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 有增根，则m的值是_____．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为
___________．【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程 无解，则a的值为___．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于 的方程 有增根，
则增根是 ______．
②若关于 的方程 无解，则 的值为______．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程 无解，则m的值为______．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程 的解是正数．则m的取
值范围是________．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是
____________．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值是
_____．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两
厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧 吨煤，则根据题意列方程为
___________．【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，
该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时
间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题
译为白话文是：把一份文件送到900里（1里 千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的
时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规
定的时间．设规定的时间为 天，则可列方程为______．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载
速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时
间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）下列方程：① ；② ；③ ；
④ ．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）若关于x的方程 有增
根，则增根是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江苏南通·九年级校考期中）关于 的方程 的解是负数，则实数 的取值范围是（
）A． B． C． D．
4．（2023春·云南红河·八年级统考期末）周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值270元的晚餐，出发前
3名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了15元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共
x人，则所列方程为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数 和 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右
边是实数运算．例如： ．则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）方程 的解为 ．
7．（2023春·四川眉山·八年级校考阶段练习）若关于 的方程 产生增根，则 = ．
8．（2023秋·山东淄博·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程 无解，则m的值为
．
9．（2023·山西晋城·模拟预测）某厂现在平均每天比原计划多生产 台机器，现在生产 台机器所需时
间只比原计划生产 台机器多用一天，设原计划每天生产 台机器，则可列方程为 ．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）从 、 、 、0、 、2、3这七个数
中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程 的解为整数，且使不等式组
有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
三、解答题
11．（2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）解下列分式方程(1) ；
(2) ．
12．（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）解分式方程：
(1)
(2)
13．（2023秋·山东泰安·八年级宁阳县第二十四中学校考阶段练习）解方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
14．（2023秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)当 时，求方程的根？
(2)若关于x的分式方程有增根，试求m的值？15．（2023秋·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考阶段练习）（1）已知关于x的分式方程 ．
①当 时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程 有整数解，求此时整数m的值．
16．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)解方程： ；
(2)解方程： ；
(3)关于x的分式方程 ．
①若方程的增根为 ，求m的值；
②若方程有增根，求m的值；
③若方程无解，求m的值．
17．（2023秋·河北石家庄·八年级校联考阶段练习）近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，
新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年
生产安装288辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段
时间后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每
月也可安装10辆电动汽车．
(1)求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量．
(2)从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米
的行驶费用少 元．当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．①求这款电动汽车平均每千米的行驶费用；
②若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为6400元和4000元．问：每年行驶里程为多少千米时，买电
动汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
18．（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购
买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求
甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：
一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买 本
硬面笔记本（ 为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔
记本的原价．
