文档内容
秘籍 01 排列组合题型归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 排列组合题型考察
排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对
于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础
上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。
【题型一】 人坐座位模型 1：相邻捆绑与不相邻插空
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，
剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：
容斥原理
1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，
且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
2．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示
了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救
援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能
去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．88 D．100
3．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F
的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则
不同的安排方法共有（ ）
A．96种 B．144种 C．240种 D．384种1．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（
）
A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
2．（2023·云南昭通·统考模拟预测）2022年11月初，新冠疫情突袭昭通市鲁甸县，昭通市统一指挥、众
志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分
派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组
的分配方案有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简
单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“ ”和两个“
”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可
以传递的信息数量有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
【题型二】 人坐座位模型 2：染色（平面、空间）
染色问题：
1.用了几种颜色
2.尽量先从公共相邻区域开始。
空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形
1．（2023春·全国·高二专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计
为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
2．（2022春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域
需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，
中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共
有（ ）
A．400种 B．396种 C．380种 D．324种
3．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色
可供使用，则不同的染色方法种数是( )
A．420 B．210 C．70 D．35
1．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）如图所示为某公园景观的一隅，是由 五处区域构成，现为
了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有 种颜色鲜花可供选用，则不同的
装饰方案数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·江苏·高二专题练习）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能
涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
3．（2021春·广东佛山·高二校联考阶段练习）某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求
每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）
A．12 B．36 C．24 D．48
【题型三】 分配问题：球不同，盒不同
球不同，盒不同（主要的）
方法技巧：盒子可空，指数幂形式，盒的球次幂，盒子不可空“先分组再排列”分类讨论
注意平均分组时需要除以组数的全排列。
1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（ ）
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中
所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为
A． B． C． D．
3.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放
入同一个盒子中，则不同的放法种数为（ ）
A．15 B．30 C．20 D．421．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学期中）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在
杭州举行.甲､乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球､游泳､射击､体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只
去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（ ）
A．6种 B．60种 C．36种 D．24种
2．（2023春·高二课时练习）高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂中的一个工厂进行社会实
践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．360种 B．420种
C．369种 D．396种
3．（2023·河南·校联考模拟预测）数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、
椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲
述，则可能的安排方案的种数为（ ）
A．240 B．480 C．360 D．720
【题型四】分配问题：球同，盒不同
球相同，盒子不同
方法技巧：盒子不可空用挡板法，盒子可空用接球法。
1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）
A．22 B．25 C．20 D．48
2.将5个相同的球放入3个不同的盒子中，可以存在盒子没有球的放法种数为（ ）
A．22 B．25 C．21 D．48
3.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每
盒至少4个球，共有种方法.
A． B． C． D．
1．（2016·山东·高三阶段练习）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分
得一本，问这样的分法有种（ ）A．36 B．9 C．18 D．15
2．（2022秋·辽宁本溪·高二校考阶段练习）中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱
和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T"字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在
空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进
行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ）
A．360种 B．180种 C．720种 D．450种
（多选）3．（2022春·江苏苏州·高二校考期中）下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 种不同的分法；
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【题型五】代替元法：最短路径
左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，则移动几步
就是几个A，与B相同元素排列
代替元法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”
1.如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的正方体的棱爬行
至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条
A．40 B．60 C．80 D．120
2.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的
能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同
的飞行方式有多少种？
A．5 B．25 C．55 D．75
（多选）3．（2023·江苏·高二专题练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的
是（ ）
A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；
事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
1．（2023·全国·高二专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，
由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的
路，如图，假设夏老师家在 处，学校在 处， 段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径
有（ ）条．
A．23 B．24 C．25 D．26
（多选）2．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）如图，小明、小红分别从街道的 、 处
出发，到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则（ ）A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为
B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
C．若小明不经过 处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
D．若小明先到 处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择
的最短路径条数为
3．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出
发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种.
【题型六】代替元法：空车位停车等
这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。
1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个
连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
2.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有
种
3.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲
车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.
1．（2023·上海·高二专题练习）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有
两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．
2．（2023·江苏·高二专题练习）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，
若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种3.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车
只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭
配方式有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【题型七】 环排问题：直排策略
环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为
中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。
1．（2022春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三
人不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言
人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座
次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
1．（2021春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙
丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有 位同学，
若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有 种，那么这 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2018春·北京海淀·高二统考期中）有 这5名同学围成一圈，从 起按逆时针方向依次循环
报数，规定： 第一次报的数为1， 第一次报的数为3.此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数
的乘积的个位数字，如此继续下去.则 第10次报的数应该为
A．2 B．4 C．6 D．9【题型八】 数列思想：上楼梯等
1.斐波那契数列数列构造求解
2.可以把台阶转化为数字化型，一次一阶，记为数字1，一步两阶记为数字2，以此类推，这样上台阶转化
为数字1,2，。。排列，注意重复元素的排列
1.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有
A．34种 B．55种
C．89种 D．144种
2.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔
子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如
下被递推的方法定义： ， ， .这种递推方法适合研
究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，
则他到二楼就餐有（ ）种上楼方法.
A．377 B．610 C．987 D．1597
3.设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且 ， ，则这样的
数列的个数为___________.
1．（2020·上海·高三专题练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步
上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（ ）
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
2．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在
他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同
的走法？（ ）
A．11种 B．12种 C．13种 D．14种
3．（2022·上海·高二专题练习）高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次
走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上
去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于
剩下的15级 楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【题型九】 书架插书模型
（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；
（2）定序问题可使用倍缩法。
1.有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的
相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．260 C．840 D．560
2.为引领广大家庭和少年儿童继承党的光荣传统、弘扬党的优良作风，进一步增强听党话、感党恩、跟党
走的思想自觉性和行动自觉性，某市文明办举行“少年儿童心向党”主题活动，献礼中国共产党成立100
周年原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，
那么不同排法的种数为（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
3.书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的
插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按
先后顺序，但大小写可以交换位置，如 或 都可以），这样的情况有
__________种．（用数字作答）
2．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、
《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱
原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2023春·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的
位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．高考模拟练习
1．（2023·贵州毕节·统考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排
甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展
工作，则不同的安排方案共有（ ）
A．36种 B．18种 C．24种 D．30种
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）2023年元旦当天，某微信群中有小郭、小张、小陈、小李和小陆
五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个66.66元、
1个88.88元、1个99.99元（红包中金额相同视为相同红包），则小郭、小张都抢到红包的不同情况有（
）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
3．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个
位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
4．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任
选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
5．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典
诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书
籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、
乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知
识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（ ）种．A．128 B．132 C．156 D．180
6．（2023·河南郑州·统考二模）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李
冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的
分配方案有______种．
7．（2023·青海·校联考模拟预测）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出
3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的
选法共有___________种.
8．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）e作为数学常数，它的一个定义是 ，其数值约为：
2.7182818284…，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将e的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得
到密码，如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有______种（以数字作答）．
9．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，
一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，
拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想
将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种摆
放方法．
10．（2022·河南·统考模拟预测）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演
义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗
经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有
___________种.
