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专题 15.4 等边三角形的性质和判定（五大题型）
【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】.......................................................1
【题型2：根据等边三角形的性质求角度】.................................................................2
【题型3：等边三角形的判定】.................................................................................4
【题型4：等边三角形的判定与性质】........................................................................8
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】................................................................12
【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果
AB=8cm，则BE=（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
2．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，PA=CQ，连接PQ
交AC于D，若CD=3，BQ=10，则PA的长为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.5 D．2.4
3．如图△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
若CE=1，CD=3，则BC= ．4．如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点
F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为 ．
5．如图，等边△ABC中，F是AB上的点，EF⊥AC于点E，∠AFE= ．
6．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若AB=8，则AD的长为 ．
7．若等边△ABC的周长为12cm，则BC= cm．
8．如图，在△ACD中，B为CD边上一点，连接AB，△ABC恰为等边三角形，
∠D=∠DAB,AB=7，则CD的长度为 ．
【题型2：根据等边三角形的性质求角度】
1．如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A．50° B．55° C．58° D．60°
2．如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，
AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，则∠CDE=（ ）
A．30° B．20° C．35° D．25°
3．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC=35°，
则∠ECA的度数为（ ）
A．35° B．25° C．30° D．45°
4．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BOD的
度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°5．如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△≝¿，连接AF，则∠AFD
等于 °．
6．如图，在等边△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AC于点E，若∠DAE=45°，则
∠ADC的度数为 ．
7．如图，已知等边△ABC，直线l ∥l ，∠1=45°，则∠2的度数为 °．
1 2
8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，则∠DFE=
°．
【题型3：等边三角形的判定】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．请用尺规作图法，在边BC，AC上
分别求作一点D，E，使△ADE为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，
BN⊥AC于点N，连接MN．
(1)证明：AB=BC；
(2)若∠CAB=30°，证明：△AMN是等边三角形．
3．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求
证：△CDE是等边三角形．4．如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使
BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，
∠EAB=2∠BAC．
(1)求∠BDE的度数；
(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．
5．如图，在△ABC中．
(1)尺规作图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，在BC的延长线上截取CE=CD，连接
DE．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件之下，若CE=CD=AD，且BD=ED，试判断△ABC的形状，并证
明你的结论．6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，AD=CD，E是DA延长
线上一点，且AE=AD，AB⊥ED，连接BE．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求证：△EBD为等边三角形．
7．已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)作AC的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点M、N，连接CM（要求：尺规作
图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)若∠A=30°，MN=2，求CM的长度；
(3)在（2）的条件下，判断△CMB的形状（直接写出结果，不需要说明理由）．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)若AE=4cm，求CE的长度；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
(1)求证：BD=CE；
(2)若∠BAC=120°，求证：△ADE是等边三角形．
【题型4：等边三角形的判定与性质】
1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平
分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，连接DG，∠CDG=15°．
(1)求证：AG=BD；
(2)若CE=2，求AC的长．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，
AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，AF=1．
(1)求证：△ABD是等边三角形．
(2)求AE的长．
3．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，点E在AD的延长线上，连接BE，EC，
且∠BAE=∠BCE．
(1)求证：∠AEC=60°；
(2)求证：BE+CE=AE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交
AD于点F．(1)求证：AE=AC；
(2)若∠BAC=60°，AD=10，求DF的长．
5．如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若BE与AC相交于点F，BD与AC相交与点
G，BE与CD相交于点H．
(1)求证：AC=BE；
(2)求∠DHG的度数．
6．如图，点D在AC上，∠A=∠E，∠CBD=∠ABE，且AC=ED．
(1)求证：BD=BC；
(2)取CD的中点F，连接BF．若∠BDE=60°，求∠DBF的度数．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
(1)求证：△ADF是等腰三角形：
(2)若∠F=30°，BD=4，EC=4，求AC的长．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A
出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相
同．连接CD、DE．
(1)如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．
(2)如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，
并说明理由．
(3)如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．
9．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结
论：AE_________DB（填“>”，“<”或“=”）．
(2)如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明
理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）
(3)如图3，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且
ED=EC，若△ABC的边长为3，AE=6，求线段CD的长．
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】
1．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BC=4，则AC的长为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．以点C为圆心，任意长为半径画弧，
交CB、CA于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点
P，作射线CP交AB于点H．CH=8，Q是边AC上一动点，则点H、Q之间的最小距离
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图
1）．已知停车场入口的栏杆AO的长度为3米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O
顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30°时，栏杆端点
A升高了 米．
4．舂(chōng)米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、
提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图
1所示），一口石臼(jiù)上架着用一根木头做成的“碓(duì)身”，“碓”的头部下面有杵
（(chǔ)），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作
时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点O处测得碓头B所在位置仰角为30°，已知
坑深32cm，碓身AB长180cm，则碓头B离地面的高度是 m．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，图中所作直线MN与射线BP交于点D，点D在
AC边上，直线MN交AB于点G，根据图中尺规作图痕迹，若AC=6，则DG的长为
．1．如图，△ABC是等边三角形，点E在AB的延长线上，ED⊥AC交AC于点D，若
AD=4，则AE的长为（ ）
A．12 B．8 C．4❑√3 D．4
2．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长BC
至点F，使CF=AD，连接DF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．2AE=CF B．DG=GF
C．AC=2EG D．DF⊥AB
3．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和
等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、
OC，以下结论：①AD=BE；②△CPQ为等边三角形；③∠AOE=120°；④CO平
分∠AOE；正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<90°),D为射线BC上一动点（不
与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC连接
CE．
(1)若∠ABC=45°，则∠ADE=______．
(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(3)若点D运动到线段BC上某一点时，恰好有AB=CD+CE，问：线段CE与线段AB
有什么位置关系并说明理由．
