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专题 15.5 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参数问题
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】..................................................................................................1
【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】..................................................................................3
【易错三 分式方程无解与增根混淆不清】............................................................................................................7
【易错四 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】.......................................10
【易错五 与分式运算有关的规律探究问题】......................................................................................................13
【易错六 与分式运算有关的新定义型问题】......................................................................................................23
【典型例题】
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
例题：（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式 的值为零，那么 的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若分式 的值为0，则x的值为 ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）若分式 的值为零，则 的值为 ．
3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式 的值为0，则m的值为 ．
4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时， 分式 的值为零
【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
例题：（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值： ，请从 、 、0、
3中选取合适的 的值代入．【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，请从不等式组 的
整数解中选择一个合适的值代入求值
2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值： 请从 中选择一
个数字a代入求值．
3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ， ，
0，1，2中取一个数代入求值其中．
4．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）先化简： ，再从 ， 中选择一个
合适的m值代入求值．
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，再从 ，0，1这三个
数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【易错三 分式方程无解与增根混淆不清】
例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于 的分式方程 有增根，则增根是 ，
的值是 ．
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程 无解，则 的值为 ．
3．（2024八年级·全国·竞赛）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．4．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）若关于x的方程 无解，则a的值为
______．
5．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【易错四 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范
围是 ．
2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范
围是 ．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为非负数，则
a的取值范围 ．
4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正整数，则所
有满足条件的整数a的值之和是 ．
【易错五 与分式运算有关的规律探究问题】
例题：（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试） ； ；
；…(1)根据上面 个等式存在的规律写出第 个等式；
(2)用含 的代数式表示出第 个等式，并证明．
【变式训练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
⋯⋯
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
4．（2024·安徽滁州·二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题：
第 个等式： ；
第 个等式： ；第 个等式： ；
第 个等式： ；
(1)请写出第 个等式：__________________；
(2)请你写出第 个等式，并证明．
6．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第 个等式：______（用含 的等式表示），并证明．
7．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；第4个等式：
；第5个等式： ；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．【易错六 与分式运算有关的新定义型问题】
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】
若分式 与分式 的差等于它们的积， ，则称分式 是分式 的“友好分式”．如 与 ，
因为 ， ，所以 是 的“友好分式”．
【知识应用】
（1）分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法：
设 的“友好分式”为 ，则 ，
，
．
请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”______；
②若 是 的“友好分式”，求 的值．
【变式训练】
1．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
2．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解:
定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分
式 是分式 的“可存异分式”．如 与 ，因为 ，
，所以 是 的“可存异分式”．
(1)填空： 分式 __________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
分式 的“可存异分式”是__________；
(2)已知分式 是分式 的“可存异分式”．
求分式 的表达式；
求整数 为何值时，分式 的值是正整数，并写出分式 的值．
4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）新定义：如果两个实数 ， 使得关于 的分式方程 的解是
成立，那么我们就把实数 ， 组成的数对 称为关于 的分式方程 的一个“关联数
对”．例如： ， 使得关于 的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是
关于 的分式方程 的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于 的分式方程 的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，
打“×”．
① （ ）；② （ ）；③ （ ）；
(2)若数对 是关于 的分式方程 的“关联数对”，求 的值；
(3)若数对 （ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“关联数对”，且关于 的方
程 有整数解，求整数 的值．
5．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如 （m，n不为零），且两个解分别为
， 的方程称为“十字分式方程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ，∴ ， ．
再如 为十字分式方程，可化为 ．∴ ， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为十字分式方程，则 ______， ______．
(2)若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
(3)若关于x的十字分式方程 的两个解分别为 ， （ ， ），
求 的值．
