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秘籍 05 立体几何小题：截面与球
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 外接球表面积与体积最值问题
立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于
空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。
这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
【题型一】 截面最值
求截面方法：
1. 平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
2.相交线法：
（1）两条相交直线确定一个平面
（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
1. 正方体 为棱长为2，动点 ， 分别在棱 ， 上，过点 ， ， 的平面截该正
方体所得的截面记为 ，设 ， ，其中 ， ，下列命题正确的是_____．（写出所有
正确命题的编号）①当 时， 为矩形，其面积最大为4；②当 时， 的面积为 ；③当 ， 时，设
与棱 的交点为 ，则 ；④当 时，以 为顶点， 为底面的棱锥的体积为定值 ．
2.如图，长方体 中，AB=BC=4， ，M是线段 的中点，点N在线段 上，MN
BD，则长方体 被平面AMN所截得的截面面积为___________.
3.如图，在正四棱台 中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点 分别在
上，且 .过点 的平面 与此四棱台的下底面会相交，则平面 与四棱台的面的
交线所围成图形的面积的最大值为
A． B． C． D．1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只
由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角
都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二
十面体.连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体 （如图
2），设 分别为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 为异面直线
B．经过 的平面截此正八面体所得的截面为正五边形
C．平面 平面
D．平面 平面
2．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位： ）
的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表
面积的最小值为___________3．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知表面积为54的正方体 的顶点都在球O上，
过球心O的平面截正方体所得的截面过正方体相对两棱 ， 的中点F，E，设该截面与 及 的
交点分别为M，N，点P是正方体表面上一点，则以截面EMFN为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的
最大值为___________.
【题型二】 球截面
用一个平面 去截球，若平面 经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面 不经过球心，所得的截面
称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。
1. 在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱
锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外）， ．
当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
2.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度
为___________.
3.在正四棱锥 中，已知 ， 为底面 的中心，以点 为球心作一半径为 的
球，则平面 截该球的截面面积为________．1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知四棱锥 的各个顶点都在球O的表
面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形， ， ， ， ，
M是线段AB上一点，且 ．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 ，则 ＝___．
2．（2021春·浙江·高一期末）已知三棱锥 四个顶点都在球O上， 面ABC，
， ，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是
___________．
3．（2023·河南郑州·统考二模）已知三棱锥P－ABC的各个顶点都在球O的表面上， ，
， ，平面PBC⊥平面ABC，若点E满足 ，过点E作球O的截面，
则所得截面面积的取值范围为______．
【题型三】 线面垂直型求外接球
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，
满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球O的表面积为16π，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）A． B．3 C． D．6
2.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球O的表面积为16π，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3.已知 四点均在半径为 （ 为常数）的球 的球面上运动，且 ， ，
，若四面体 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知 的斜边 ， ，现将 绕AB边旋转至
的位置，使 ，则所得四面体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西汉中·统考二模）三棱锥 中， ， ，
则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）已知四棱锥 的外接球O的表面积为
， 平面ABCD，且底面ABCD为矩形， ，设点M在球O的表面上运动，则四棱锥
体积的最大值为______.
【题型四】 面面垂直型
包含了面面垂直
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，可以对两平面都用正弦定理来定球心。1.已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 和 都是边长为2的等边三角形，则该
三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2.在四面体 中，三角形 为等边三角形，边长为 ， ， ， ，则四面体
外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为
“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马 （如图）， 平面
，点E，F分别在 上，当空间四边形 的周长最小时，三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在菱形 中， ， ，将
绕对角线 所在直线旋转至 ，使得 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知 的斜边 ， ，现将 绕 边旋转到
的位置，使 ，则所得四面体 外接球的表面积为_____.
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ．设D为 的中点，三棱
锥 的体积为 ，平面 平面 ，则三棱柱 外接球的表面积为______．
【题型五】 任意二面角定球心
1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
3.许多情况下，会和二面角结合。
1.如图，二面角 的平面角的大小为 ， ， ， ，
，则四面体 的外接球表面积为________．
2. 在三棱锥 中， ，二面角 的余弦值为 ，当三棱锥 的体积的最大值为 时，其外接球的表面积为
A． B． C． D．
3..在三棱锥 中， ，则三棱锥 的外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知四边形ABCD为平行四边形， ， ，
，现将 沿直线BD翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内
切球与外接球表面积的比值为_________.
2．（2023·浙江台州·统考二模）三棱锥 中， 平面 ， ， ，点
在三棱锥 外接球的球面上，且 ，则 的最小值为___________.
3.已知菱形 边长为3， ， 为对角线 上一点， .将 沿 翻折到
的位置， 记为 且二面角 的大小为120°，则三棱锥 的外接球的半径为
______；过 作平面 与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
【题型六】内切球
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆二、类比：三棱锥
1. 在四棱锥 中， ，且 ， ，
若该四棱锥存在半径为1的内切球，则 _______.
2.有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为 的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为3.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，在该圆锥内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面
体在该几何体内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A．3 B．
C． D．
1．已知某正方体的体积为64，它的内切球的球面上有四个不同点 ， ， ， ，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则直线 与 可能异面
B．若 ，则直线 与 可能平行
C．若 ，则平行直线 与 间距离的取值范围是
D．若直线 与 相交，则四边形 面积的取值范围是
2．下列关于三棱柱 的命题，正确的是（ ）
A．任意直三棱柱 均有外接球
B．任意直三棱柱 均有内切球
C．若正三棱柱 有一个半径为 的内切球，则该三棱柱的体积为
D．若直三棱柱 的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
3．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 ，记四面体ABCD的内切球为球 ，四面
体PBCD的外接球为球 ，则 _________．【题型七】棱切球型最值
1. 已知球 与棱长为4的正方形 的所有棱都相切，点 是球 上一点，点 是 的
外接圆上的一点，则线段 的取值范围是
A． B．
C． D．
2.已知正三棱锥 ，球O与三棱锥 的所有棱相切，则球O的表
面积为_________．
3.点 是棱长为 的正方体 的棱切球上的一点，点 是 的外接圆上的一点，则线
段 的取值范围是（_____）
A． B． C． D．
1．（2023·广东·统考一模）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻
的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
2．（2023·上海嘉定·统考二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为 ，
与该正方体每条棱都相切的球半径为 ，过该正方体所有顶点的球半径为 ，则下列关系正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·广东深圳·高一校考期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.
高考模拟练习
1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥 的底面 是矩形，高为
，则四棱锥 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东茂名·统考二模）如图所示，正三棱锥 ，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为
2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的 ，过点M作一个平面，使
其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东聊城·统考模拟预测）在三棱锥 中， ， ， ，二面角
的大小为 ．若三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥 的体积
最大时，球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥 的底面ABCD是矩形，， ， ， ．若四棱锥 的外接球的体积为 ，则该球
上的点到平面PAB的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023·四川达州·统考二模）在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的2：1的比例关系，常用的A4
纸的长宽比无限接近 .把长宽比为 的矩形称做和美矩形.如图， 是长方体，
， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中点.把图中所有的矩形按
是否为和美矩形分成两类，再用分层抽样的方法在这两类矩形中共抽取5个，抽得的矩形中和美矩形的个
数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P－ABC中， ， ，且
， ， ， ，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川达州·统考二模）三棱锥 的所有顶点都在球O的表面上，平面 平面BCD，
， ， ，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江·统考二模）已知正方形 中， ， 是平面 外一点.设直线 与平面
所成角为 ，设三棱锥 的体积为 ，则下列命题正确的是（ ）A．若 ，则 的最大值是 B．若 ，则 的最大值是
C．若 ，则 的最大值是 D．若 ，则 的最大值是
9．（2023·浙江·统考二模）某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课
题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲， 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥
密闭容器（容器材料厚度不计），底面 为平行四边形，设棱锥高为 ，体积为 ，现将容器以棱
为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过 ，其中 分别为棱 的中点，则（ ）
A．水的体积为
B．水的体积为
C．图甲中的水面高度为
D．图甲中的水面高度为
10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥 中，平面 平面 ，
是等边三角形且 ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，若球 的体积为 ，
则三棱锥 体积的最大值为______.
