文档内容
秘籍 08 不等式归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 结合余弦定理、几何等考察最值和范围问题
不等式占据半个数学，肯定是重点，但是直接对基本不等式的考察很少，大多数会结合其他知识点考
察最值或者范围的问题，所以需要对基本不等式熟练的运用，以及相关的不等式问题也需要掌握，类似与
放缩的思想。
【题型一】 同构式比较大小
（多选）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ，
且 ，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁鞍山·统考二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西榆林·统考三模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足 ，则（ ）A． B． C． D．
（多选）2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】 公式应用及限制条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
2.给出下列条件：① ；② ；③ ， ；④ ， .其中能使 成立的条件有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个3.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
1．（2022·云南·建水实验中学高一阶段练习）若存在 ，使得 成立是假命题，则
实数 可能取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
2．（2022·上海·高三学业考试）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2 B．
C． D．4
（多选）3．（2022·江苏泰州·高一期中）已知 ，则a，b满足的关系有（ ）
A． B． C． D．
【题型三】 构造“公式型”
1．基本不等式：≤；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：≥ ≥≥；1.设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
2.已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.若x>1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考开学考试）在等腰 中，AB＝AC，若AC边上的中线
BD的长为3，则 的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【题型四】 “1”的代换
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2.已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． } C． D．
3.已知正实数 、 满足 ，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足 ，若不等式 恒成
立，则实数m的取值范围________．
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，
则 的最小值为_______．
【题型五】 “积”与“和”混合型
1.形如 求
型，
求
2.形如 型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：1.若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2.已知a，b是正实数， ，则 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
3.若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（多选）1．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知正数 、 ，满足 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 . B． 的最大值为 .
C． 的最小值为 . D． 的最小值为 .
2．（浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题）已知正数x，y满足 ，则
的最大值为______．
3．（2023春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）如图，某公园内有一个边长为 的正方形 区域，
点 处有一个路灯， ， ，现过点 建一条直路分别交正方形区域两边 ，
于点 和点 ，若对五边形 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________ ．【题型六】 多次均值
1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
2.已知 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1. 是不同时为0的实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为______.
3.设 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型七】 权方和不等式权方和不等式：设 证明：
4 1
1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则 + 的最小值为__________．
3m+n m+3n
2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1.若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7
2.已知 为正数，且 ，则 的最大值为 ．
【题型八】 基本不等式的恒成立问题
（多选）1．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
（多选）2．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知 ，且 ，若不等式恒成立，则 的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
（多选）3．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．命题 的否定是：
B．若 ，则实数
C．已知 ，“ ”是 的充要条件
D．“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的必要不充分条件
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ，
若不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
2．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）若不等式 对于任意正实数x、y成立，则
k的范围为______．
3．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 恒成立，则
的最大值为________．
【题型九】 不等式的应用
1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正
六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
3．（2023·山东聊城·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
1．（2023·河南·统考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．若 的面积 ，则边a的最小值为_______．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知椭圆 ，点 是椭圆C
在第一象限上的一个动点，点 ， ， 分别是点 关于y轴、原点和x轴的对称点，当四边形 的
面积最大时，线段 ，经过椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知过点 的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆C的上顶点为B，求 的面积的最大值.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 中， ，且点
在直线 上， ， 是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，是否存在最大的整数p，使得对于任意的 ，均有 ？若存在，求出p的
值；若不存在，请说明理由.
高考模拟练习
1．（2023·江苏·校联考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且 ，
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·统考二模）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球,圆锥SO是三棱柱的外接
圆锥,且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上,则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 为
与 中较大的数， 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．4．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若 ， ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知a，b， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C． D．
（多选）6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）直角三角形 中， 是斜边 上一点，
且满足 ，点 在过点 的直线上，若 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． 为常数 B． 的值可以为：
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
7．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
且 的平分线交 于 ，若 ，则 的最小值为______.
8．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线 与圆 ，过圆心 的直线 与抛
物线 和圆 分别交于 ， ， ， ，其中 ， 在第一象限， ， 在第四象限，则 最
小值是______.
9．（2023·江西鹰潭·统考一模） 的内角 的对边分别为 ，若 ，
且A为锐角，则当 取得最小值时， 的值为___________．
10．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知函数 ，若 的解集为 .
(1)求实数 ， 的值；
(2)已知 ， 均为正数，且满足 ，求证： .
