文档内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·广西玉林·高一期末）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（
）
A． B． C． D．
2．（2022·广东梅州·高一期末）如图， 是水平放置的 AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，
已知 为坐标原点，顶点 、 均在坐标轴上，且 AOB的面△积为12，则 的长度为（ ）
△
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·广东茂名·高二期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢
板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300 的水
稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．11
4．（2022·辽宁锦州·高一期末）正三棱锥 的高为 ，斜高为 ，则该三棱锥的侧棱长为
（ ）
A． B． C． D．4
5．（2022·上海·复旦附中高二期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直
六棱柱 ，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六
棱柱 ，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为 和 ，斜棱柱的体积和侧面积
分别为 和 ，则（ ）.A． B． C． D． 与 的大小关系无法确定
6．（2022·湖南常德·高一期末）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为 ，
则该圆锥的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南驻马店·高一期末）已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角
三角形BCD，且 ， ， ，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体
，则当四面体 的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
8．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图所示，在平面四边形 中， ， ，
， ．现将 沿 折起，并连接 ，当三棱锥 的体积最大时，其外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
9．（2022·重庆八中高一期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台 ，在轴
截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
10．（2022·安徽宣城·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点 、 ，若线段
的最小值为 ，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段 的最大值为
三、填空题
11．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西
经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.
12．（2022·广东·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，
书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四
棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖孺．如图，在堑堵 中， ，
， ，则鳖臑 的外接球的表面积为__________．四、解答题
13．（2022·广东佛山·高一期末）如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面 水平放置时，
水面恰好过AC，BC， ， 的中点E，F，G，H．
(1)直接写出直线FG与直线 的位置关系；
(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．
(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好
装满此三棱锥，求此三棱锥的高．
14．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB是圆柱 的一条母线，BC过底面圆心O，D是
圆O上一点．已知 ，
(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
B 能力提升1．(多选）（2022·海南·高一期末）已知正四棱台 的体积为 ，且 ，则
（ ）
A．正四棱台的侧棱长为 B．侧棱与底面所成的角为
C．正四棱台的侧面积为 D．正四棱台的外接球体积为
2．（2022·江苏徐州·高一阶段练习）已知正方体 的棱长为6， ､ 分别是 ､ 的中
点，平面 截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为
___________.
C 综合素养
1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，
有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．
图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形
状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.
2．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边 的中点，将
， ， 分别沿 向上翻折至与平面 均成直二面角，得到几何体 ．
则二面角 的余弦值为_____；几何体 的外接球表面积为_____．3．（2022·山东菏泽·高一期中）在一个正方形 内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形
（如图1）．将四个等边三角形折起来，使 、 、 、 重合于点P，且折叠后的四棱锥 （如
图2）的外接球的表面积是 ，则四棱锥 的侧棱PA的长为______；若在四棱锥 内放
一个正方体，使正方体可以在四棱锥 内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______．
4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由
边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正
多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的
表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为
___________.
