文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：数列的周期性........................................................................................................................2
题型二：数列的单调性........................................................................................................................2
题型三：数列的最大（小）项............................................................................................................3
题型四：数列中的规律问题................................................................................................................3
题型五：数列的恒成立问题................................................................................................................4
题型六：递推数列问题........................................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................6
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：数列的周期性
1．（2024·四川广安·二模）已知数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·河南新乡·二模）已知在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．若数列 满足 （ 且 ），则 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．（2024·广西南宁·一模）已知数列 的首项 （其中 且 ），当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．无法确定
题型二：数列的单调性
5．已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列 的前n项和为 ，若 ， ，
则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高三·河南·期末）已知数列 是单调递增数列， ， ，则实数 的取值
范围为（ ）A． B．
C． D．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列 的通项公式为 ，当它为递增数列时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：数列的最大（小）项
10．已知数列{an}的通项公式为 ，则此数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东广州·一模）已知数列 的前 项和 ，当 取最小值时， .
12．（2024·高三·广东潮州·期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，
则数列 中最小项的值为 ．
13．（2024·上海普陀·一模）若数列 满足 ， （ ， ），则 的最小值是
.
14．已知数列 的通项公式 ，则数列 的最大项的值为 ；数列 的最小项
的值为 ．
题型四：数列中的规律问题
15．（2024·浙江·模拟预测）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：
， ， ，…，按此规律，若 分裂后，其中有一个奇数是2019，
则m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．4316．（2024·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙
粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数
从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
17．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙
滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，
同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1， 等叫作“三角数”或
“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六
边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
18．（2024·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别
为 ，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
题型五：数列的恒成立问题
19．（2024·高三·陕西渭南·期中）已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，
，且 .若对任意 ， 恒成立，则实数 的最小值为 .
20．已知数列 的通项公式为 .若对于任意 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为 .
21．在数列 中， ，若对任意的 恒成立，则实数 的最小值
.题型六：递推数列问题
22．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
23．（2024·北京昌平·二模）已知数列 满足 ，则数列 的前4项和等于（ ）
A．16 B．24 C．30 D．62
24．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进
行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今
年起第n年绿洲面积为 万平方千米．
(1)求第n年绿洲面积 与上一年绿洲面积 的关系；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（ ）
25．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶 中盛有3升水，桶 中盛有1升水.现将桶 中的水的 和桶
中的水的 倒入桶 中，再将桶 与桶 中剩余的水倒入桶 中；然后将桶 中的水的 和桶 中的水
的 倒入桶 中，再将桶 与桶 中剩余的水倒入桶 中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶 中的水量；
(2)求操作 次后桶 中的水量；
(3)至少操作多少次，桶 中的水量与桶 中的水量之差小于 升？（参考数据：
， ）1．（2024·甘肃兰州·一模）数列 满足 ， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
2．（2024·高三·山西大同·期末）等比数列 中， 为其前 项和， ，且 成等差数列，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·山东济南·二模）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前 项和为 ，若 ，
当 取最大值时， 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
4．（2024·河南·模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日
本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数
就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数 ，按照上述规则
实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则 （ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三
行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25
6．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且
， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则
7．（多选题）（2024·辽宁·一模）已知数列 的首项为 ，且 ，则（ ）
A．存在 使数列 为常数列
B．存在 使数列 为递增数列
C．存在 使数列 为递减数列
D．存在 使得 恒成立
8．（多选题）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，
13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．
下面关于斐波那契数列 说法正确的是（ ）
A．
B． 是奇数
C．
D．
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ， 单调递增，则
的取值范围为 .
10．数列 的通项公式是 ，若数列 是递增的，则实数 的取值范围是 ．11．（2024·重庆·二模）记正项数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为 .
12．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 和等比数列 满足 ，
，则数列 在 时取到最小值．
13．（2024·重庆·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，记 ，则
；若数列 满足 ，则 的最小值是 ．
14．（2024·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 ．若 对 恒成立，
则 的取值范围为 ．
15．（2024·高三·黑龙江大庆·期末）已知数列 满足： ，设数列
的前 项和为 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
.
16．数列 定义如下： ，且当 时， ，已知 ，则正整数n的值为
.
17．已知数列 满足 ．若 ，则 ；前60项和为 ．
18．（2024·陕西西安·模拟预测）数列 满足 ， ，则 ．
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和
为 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））设等差数列 的公差为d，若数列
为递减数列，则
A． B． C． D．
5．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列 ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
，可以推测：
（Ⅰ） 是数列 中的第 项；
（Ⅱ） ．（用 表示）
6．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷））五位同学围成一圈依序循环报数，规
定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同
学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 ．
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知数列 满足
则 的最小值为__________.8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））数列 满足 ， ，
则 ．
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））设 ，对1，2，···，n的一个排列
，如果当s
