文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：数列的概念.........................................................................................................................4
知识点2：数列的分类.........................................................................................................................4
知识点3：数列的两种常用的表示方法.............................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：数列的周期性........................................................................................................................5
题型二：数列的单调性........................................................................................................................6
题型三：数列的最大（小）项............................................................................................................8
题型四：数列中的规律问题................................................................................................................9
题型五：数列的恒成立问题..............................................................................................................11
题型六：递推数列问题......................................................................................................................11
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：对数列的概念理解不准......................................................................................................15
答题模板：数列单调性的判断与应用..............................................................................................15考点要求 考题统计 考情分析
2023年北京卷第10题，4分
高考对数列概念的考查相对较少，考查
（1）数列的概念 2022年乙卷（理）第4题，5
内容、频率、题型、难度均变化不大．重点
（2）数列的分类 分
是数列与函数结合考查单调性、周期性、最
（3）数列的性质 2021年北京卷第10题，4分
值性.
2020年浙江卷第11题，4分
复习目标：
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识点1：数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集
）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
【诊断自测】下列说法中，正确的是（ ）
A．数列 可表示为集合
B．数列 与数列 是相同的数列
C．数列 的第 项为
D．数列 可记为
知识点2：数列的分类
（1）按照项数分：有限和无限
（2）按单调性来分：
【诊断自测】已知函数 ，设 ，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是无穷数列 B． 是递增数列
C． 不是常数列 D． 中有最大项知识点3：数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与
它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【诊断自测】 ，数列1， ，7， ，31， 的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
解题方法总结
的前 项和为 ，通项公式为 ，则
（1）若数列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
（2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
题型一：数列的周期性
【典例1-1】在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对
，则 （ ）A． B．1 C． D．
【方法技巧】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【变式1-1】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当
甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报
出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-2】（2024·山东济宁·三模）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）数列 中， ， ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，数列 的首项为1，且满足
．若 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
题型二：数列的单调性
【典例2-1】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为
递增数列”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【典例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ，则“ ”是 是递增数列
的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法
根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据 与1的大小关系进行判断
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，
则实数b的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列 中，其前n项和为 ，则“ ”是“
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【变式2-3】数列 中前 项和 满足 ，若 是递增数列，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-5】已知数列 满足： ，（ ， ），数列 是递增数列，则
实数 的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式2-6】（2024·浙江宁波·二模）已知数列 满足 ，对任意 都有 ，且
对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式2-7】（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ， ，若数列
是递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：数列的最大（小）项
【典例3-1】已知 ，则数列 的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）数列 的最小项的值为 .
【方法技巧】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当x N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，
或利用求函数最值的方法，求出 ∈的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（ 2 ） 通 过 通 项 公 式 研 究 数 列 的 单 调 性 ， 利 用 确 定 最 大 项 ， 利 用
确定最小项．
（3）比较法：若有 或 时 ，则 ，则数列 是递增
数列，所以数列 的最小项为 ；若有 或 时 ，则
，则数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
【变式3-1】（2024·北京西城·一模）在数列 中， .数列 满足 .
若 是公差为1的等差数列，则 的通项公式为 ， 的最小值为 .
【变式3-2】（2024·广东梅州·二模）已知数列 的通项公式 （ ），则的最小值为 ．
【变式3-3】数列 的通项 ，则数列 中的最大项的值为 .
【变式3-4】设 是 的展开式中x项的系数（ ），若 ，则 的最大值
是 .
【变式3-5】已知 ，则数列 的最小值为 .
【变式3-6】在数列 中， ， ，则数列 的最大项的值是 ．
题型四：数列中的规律问题
【典例4-1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如
图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的
圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘
子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．
【典例4-2】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数
量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，
12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【方法技巧】
特殊值法、列举法找规律
【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）定义 ， ， ， ， ，， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除
之（得弦）．”意即“勾” 、“股” 与“弦” 之间的关系为 （其中 ）．当
时，有如下勾股弦数组序列： ， ，则在这个序列中，第10个勾股弦
数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年
代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【变式4-4】（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的
一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则
此数列的第56项为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
题型五：数列的恒成立问题
【典例5-1】已知数列 的前n项和 且 ，若
恒成立，则 的最小值为 ．【典例5-2】记 分别为数列 前n项和，已知 是公差为 的等差数列．若
恒成立，则 的最小值为 ．
【方法技巧】
分离参数，转化为最值问题．
【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若 对于任意的正整数 恒
成立，则实数 的取值范围为 ．
【变式5-2】（2024·高三·重庆·期中）已知数列{ }满足 ，若对任意正整数 都有
恒成立，则k的取值范围是 .
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 对 恒成立，则
的取值范围为 .
题型六：递推数列问题
【典例6-1】（2024·天津·二模）在数列 中，若 （ ），则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【典例6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知数列 满足： ，则 （ ）
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【方法技巧】
列举法
【变式6-1】（2024·贵州遵义·一模）数列 满足 ，对任意正整数p，q都有 ，则
（ ）
A．4 B． C．6 D．
【变式6-2】（2024·广东汕头·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，
后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，
则第30层小球的个数为（ ）A．464 B．465 C．466 D．467
【变式6-3】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图
二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形
面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
A． ；n B． ；
C． ；n D． ；
【变式6-4】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
(1)写出前五排座位数．
(2)第 排与第 排座位数有何关系？
(3)第 排座位数 与第 排座位数 能用等式表示吗？
【变式6-5】观察下面的图形及相应的点数，回答
(1)写出图中点数构成的数列 的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列 的通项公式；
(2)若 是数列 的前 项和，证明： ..
1．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为
我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．1．根据下列条件，写出数列 的前5项：
（1） ， ；
（2） ， .
2．已知数列 满足 ， ，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
3．写出下列数列的前 项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
4．已知数列 的第1项是1，第2项是2，以后各项由 给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列 ，通过公式 构造一个新的数列 ，试写出数列 的前5项.
5．假设某银行的活期存款年利率为 某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同
本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用 表示第 年到期时的存款余额，求 、 、 及 .6．已知函数 ，设数列 的通项公式为 .
（1）求证 .
（2） 是递增数列还是递减数列？为什么？
易错点：对数列的概念理解不准
易错分析：解题时容易找不到数列中的每项之间的相似地方，总结不出来一般规律。
【易错题1】已知数列{an}的前5项依次为 ，则 的一个通项公式为 ．
【易错题2】数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是 ．
答题模板：数列单调性的判断与应用
1、模板解决思路
判断数列的单调性的方法，一般采用作差法比较数列中相邻两项的大小； 当数列各项符号相同时，
也可用作商法比较； 还可以利用数列通项公式所对应的函数的单调性判断数列的单调性．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件求出数列的通项公式．第二步：作差 （或作商 ），并化简．
第三步：讨论 与 （或 与1）的大小，得出数列的单调性．
【典型例题1】设等比数列 的前n项和为 ，则“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典型例题2】已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
