文档内容
第 01 讲 数列的概念与简单表示法
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
角度 2：利用 替换
角度 3：作差法求通项
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
角度 2：累乘法
角度 3：构造法
角度 4：倒数法
题型三：数列的性质及其应用
角度 1：数列的周期性
角度 2：数列的单调性
角度 3：数列的最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、数列的有关概念
概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列 的第 项
如果数列 的第 项 与序号 之间的关系能用公式
通项公式
表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列 中， 叫做数列的前 项和
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点 ．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如 ．
②递推公式法：使用初始值 和 或 ， 和 来表示数列的方法．
3、 与 的关系
若数列 的前 项和为 ，则 ．
4、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列
项与项间
的大小关 递减数列 其中
系
常数列
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川绵阳·高一期中）数列 ， ， ， ， 的一个通项公式 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
当 时，代入A为 ，C为 ，均不满足题意；
当 时，代入D为 ，不满足题意
B对 ，均满足
故选：B．
2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
解：因为 ，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ， ；
故选：B
3．（2022·海南华侨中学高二期中）数列 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．11 C． D．12
【答案】D
解：因为 ， ， ，
所以 ， ；
故选：D
4．（2022·甘肃酒泉·高二期中（理））已知 ， ，则 ________.
【答案】 ##
由已知可得 ， ， ， .
故答案为： .5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，从第______项起各项均大于 ．
【答案】
令 ，即 ，解得： 或 ，
又 ， 从第 项起，各项均大于 .
故答案为： .
6．（2022·浙江·模拟预测）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石
子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三
角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．
【答案】55
解析：根据题意，三角形数的每一项都是数列 的前n项的和，即
故答案为:55
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
例题1．（2022·河南河南·一模（理））已知数列 的前 项和是 ，且 ，求 的通项
公式；
【答案】 ；
当 时， ；
当 时， ，显然 满足上式，
∴ ；
例题2．（2022·广东茂名·高二期中）已知数列 的前n项和为 ，且 .
求数列 的通项公式；
【答案】(1)
当 时， ，解得： ，
当 时， ，得 ，因为 ，可得 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .
例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．求
的通项公式；
【答案】
令 得 ，∴ ，当 时， ，则 ，
整理得 ，∴ ，∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列，∴ ；
例题4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知正项数列 的前项和为 ，且满足
.求 的通项公式；
【答案】(1) ；
(1)由题意，当 时， ，
则 ，可得 ，
由数列是正项数列可知， ，又 ，
得 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ；
方法总结已知 求 的流程
(1)先令 利用 求出 ;
(2)当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系式（ ）,利用 ( )
便可求出当 时 的表达式;
(3)注意检验 时的表达式是否可以与 时的表达式合并.
角度 2：利用 替换
例题1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列 满足 ，前 项和 满足
求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
解：∵
∴∴ ，∴ 是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴ ，即 ，
当 时， ，
当 时， 也成立，
∴ .
2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且满足
( )， .
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
(1)当n≥2时，由an＋2SnSn ＝0得Sn－Sn ＝－2SnSn ，所以 － ＝2，
－1 －1 －1
又 ＝ ＝2，所以 是首项为2，公差为2的等差数列．可得 ＝2n，所以Sn＝ .
(2)由(1)可得,当n≥2时，an＝Sn－Sn ＝ － ＝－ ；
－1
当n＝1时，a＝ ，不符合an＝－ .
1
故
方法总结：已知 与 的关系；或 与 的关系，用 替换题目中的 （注
意记忆这两个常考模型）
角度 3：作差法求通项
例题1．（2022·广东·高二阶段练习）设数列 满足 .求 的通项公式；
【答案】解：数列 满足 ，
当 时，得 ，
时， ，
两式相减得： ，
∴ ，
当 时， ，上式也成立.
∴ ；
例题2．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知数列 满足 求
的通项公式；
【答案】
解：对任意的 ， ，
当 时，则 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ， ，
满足 ，因此，对任意的 ， .
例题3．（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））已知数列 是等比数列，且 ， ，
数列 满足：对于任意 ，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】
解：设数列 的公比为 ，
∵ ， ，则 ，
∴ ， ， ，
所以数列 的通项公式 ，
，
当 时， ，
两式相减得： ，即 ，
又∵ ，即 满足上式，
所以 ；
方法总结：已知等式中左侧含有： ，作差法（类似 ）（注意记忆该模型）
同类题型归类练
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当 时，由 ①，可得： ②，两式相减得： ，
所以 ， ，
当 时， ，
故数列 是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以 ，
所以
故选：C
2．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知数列 中，对任意 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
∵ ①，∴ ②，
②-①得 ，∴ ．
当 时， ，符合上式，
∴ ．∴ ，
∴ ， ，∴ 是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴ ．
故选：D．
3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列 的前 项和为 ，则 的
通项公式为______
【答案】
当 时， ，
当 时， ，
另 时， ，此式不满足 ，
所以 的通项公式为 .
故答案为： .
4．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列 满足 ， ，则数列
的通项公式为___________.
【答案】
当 时， .
当 时， ，①
.②
① ②，得 .
因为 不满足上式，所以
故答案为：
5．（2022·山东聊城·三模）设数列 的前n项和为 ，且满足 .
求数列 的通项公式；
【答案】 ；
由 得，当n=1时， ，解得 .
当n≥2时， ，从而 ，即 ，
因此数列 是等比数列，其首项和公比都等于2，所以 .
6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正项数列 的首项为1，其前 项和为 ，满足
.
求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
∵ ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ ，
∴ ，又由 ，
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列；
所以 ，∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也符合，所以 .
7．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ， ， .
求证：数列 是等差数列；
【答案】（1）证明见解析；
（1） ， ，则 ，所以 ，
有 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
累加法（叠加法）(记忆累积法模型)
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列 中， ，当 时， .求
数列 的通项公式；
【答案】(1)
解：因为 ，当 时， ，
所以 ， ， ， ，
， ；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式.
【答案】
，
当 时， ， ， ， ，
将上式累加得： ，
，即 ，
又 时， 也适合，．
故答案为：
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， .
求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2）
解：（1）因为 ，所以
当 时，
所以 ， ，所以 ， ，又当 时 ，满足条件，所以
；
角度 2：累乘法
累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ( )，求数列 的
通项公式.
【答案】
因为a=1， (n≥2)，所以 ，
1
所以 ·…· ·1= .
又因为当n=1时，a=1，符合上式，所以an= .
1
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ， ，求数列 通
项公式.
【答案】
， ，
，
， .
例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二开学考试）已知数列{ }满足： = ， ，
)且其前 项和为 .求 与 ；
【答案】（1） ； ；
解：（1）由 得 ，
当n 2时，
，
又 也满足上式，故 (n ).∴
相减得，
∴ ，
角度 3：构造法
用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
例题1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 满足 ， .
(1)写出该数列的前 项；
(2)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ， ， ， ，
(2)
(1) ， ， ， ， .
(2)由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
.
例题2．（2022·海南·模拟预测）设数列 的前 项和为 ， ， ．
求数列 的通项公式；
【答案】
解：因为数列 的前n项和为 ， ， ，
当 时， ，
两式相减可得 ，即 ，可得 ，即 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
所以数列 的通项公式 .
例题3．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列 的前 项和 ．
求 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
．①
当 时， ，可得 ．
当 时， ．②
①－②得 ，则 ，而a-1=1不为零，
1
故 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ．
∴数列 的通项公式为 ， ．
角度 4：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q p,q pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，变
p,q
形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）例题1．（2022·辽宁·高二期中）已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 为等差数列.
(2)求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
(1)证明:
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 是首项为 ，公差为 的等差数列．
(2)由上述可知 ，
∴ .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，证明：数列
是等比数列
【答案】证明见解析
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，∴ 是以 为首项，3为公比的等比数列.
同类题型归类练
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
因为数列 满足 ， ，
所以 ， ， ， ，所以 ，
所以 ，
故选：B
2．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小值
为（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】C
由数列 满足 ，且 ，
可得
，
则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
3．（2022·浙江·杭州市富阳区实验中学高二阶段练习）已知 ，则 （ ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
由 可得： ，
故 ，
故选：D.
4．（2022·福建省永春第一中学高二期末）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D由 得 ，
，
.
故选：D
5．（2022·全国·高二）已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
数列 满足 ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
累乘可得： ，
可得： ．
故选：D﹒
6．（2022·浙江·模拟预测）数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】D
由 ，且 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，所以 ，且 ，
所以，数列 是等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，所以， ，则 ，其中 ，C对；
，所以，数列 是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得 ，A对；
由上可知 ，则 ， ，
所以， ，D错.
故选：D.
7．（2022·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ， ，则满足 的n的
最大取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
解：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
数列 是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以 ，所以 ，由 ，即 ，即 ，解得
，因为 为正整数，所以 的最大值为 ；
故选：C
8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列 中，已知 ， ， .
若 ，求数列 的通项公式；
【答案】(1) (2)
(1)由题意， ，得： ，运用累加法：
，
，，
，n=1时，也成立，∴ ；
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{ }中， =1，前n项和 ．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{ }的通项公式．
【答案】
10．（2022·全国·高二）已知数列 的前 项和 ，数列 中 且满足 .
(1)求 ､ 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
(1)当 时，
当 时， ，满足上式
∴
∵ 且 ∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列
∴ ，
题型三：数列的性质及其应用角度 1：数列的周期性
例题1．（2022·全国·高二课时练习）在数列 中，若 ， ， ，则 等于
（ ）
A．6 B．－6 C．3 D．－3
【答案】B
解：因为 ， ， ，所以 ， ，
， ， ， ，
所以 ，所以 ；
故选：B
例题2．（2021·全国·高二课时练习）已知数列 满足 若 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
计算得a＝ ，a＝ ，a＝ ，a＝
2 3 4 5
，a＝ ，a＝ ，
6 7
观察归纳得：数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 016＝672×3，所以a ＝a＝ .
2 016 3
故选：C.
例题3．（2021·河南信阳·高三阶段练习（文））在数列 中， ， ，则
（ ）
A． B．-3 C． D．2
【答案】D
， ， ，
， ，故数列 是以4为周期的周期数列，
故 ，故选：D．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
由 ，且
则 ， ，
所以 ，即数列 是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
例题5．（2020·江西·南昌十中高三阶段练习（文））数列 ，满足 ， （ ），
则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由 ， 知： ， ， ， …，
∴ 是周期为3且 ， ， 的周期数列，而 ，
∴ .
故选：B.
方法总结：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律）
先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观
察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题.
角度 2：数列的单调性
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B解： ，
所以 ，即 .
故选：B
例题2．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知数列 的通项公式为
，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由 ，
∴ ，即是 小于2n+1的最小值，∴ ，
故选：C
例题3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，若
数列 满足 且 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为数列 是单调递增数列，则函数 在 上为增函数，可得 ，
函数 在 上为增函数，可得 ，可得 ，
且有 ，即 ，即 ，解得 或 .
综上所述， .
故选：C.
例题4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知数列 满足 ，若
， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 恒成立，所以数列 是递减数列，所以， ，即 ，解得 .
故选：A.
方法总结：判断数列单调性的方法
(1)利用数列所对应的函数的单调性确定数列的单调性（注意数列中 只能取整
数）.
(2)对数列的相邻两项作差(作商),即通过判断 的符号，来确定数列的单
调性,作商需满足 ( ).
角度 3：数列的最值
例题1．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知在数列 中， ，则数
列中最大项的值是（ ）
A．107 B．108 C． D．109
【答案】B
由题意可知
，
由于 ，
故当 取距离 最近的正整数6时， 取得最大值 .
∴数列 中的最大值为 .
故选：B.
例题2．（2022·北京市八一中学高二期中）已知数列 的通项公式为 ．若数列
的前 项和为 ，则 取得最大值时 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
由条件有 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
即 ，
所以 取得最大值时n的值为 .故选：C
例题3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，公
差 ， ．若 取得最大值，则 的值为（ ）
A．6或7 B．7或8 C．8或9 D．9或10
【答案】B
在等差数列 中 ，所以 ，所以 ，即 ，
又等差数列 中 ，公差 ，所以等差数列 是单调递减数列，
所以 ，所以等差数列 的前 项和为 取得最大值，则 的值为7或8.
故选:B.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，若 为该数列的最小项，
则 ______．
【答案】 或
令 ，解得： ；
当 且 时， ，则 递减；当 且 时， ，则 递增；
又 ， ，
，即 或 .
故答案为： 或 .
例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，则 的最小值为
___________.
【答案】 ##
因为 ，
易知数列 为递增数列，
所以数列 的最小项为 ，即最小值为 .
故答案为：
6．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列 中， ，则数列 中的最大项的
________ .
【答案】6或 ##7或6
，令 ，解得 ，
即 时， ，
当 时， ，
所以 或 最大，
所以 或 .
故答案为：6或7.
方法总结：求数列最值的常用方法
(1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值.
(2)通过建立不等式组求解:若设第 ( )项最大,则有 解该不等式组确定 的值即得数列的
最大值（注意 ）.
(3)通过建立不等式组求解:若设第 ( )项最大,则有 解该不等式组确定 的值即得数列的
最小值（注意 ）.
同类题型归类练
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））在数列 中， ， ， ，则 的前2022
项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，故 ，
故 为周期数列且周期为4，
故 的前2022项的和为 ，
而 ，故 ，
故 的前2022项的和为 ，
故选：C
2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数 定义如下表，数列 满足 ，且对任
意的自然数 均有 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
由已知可得 ， ， ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
，所以， .
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，则数列 为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
【答案】B
由题意，数列 的通项公式为 ，
可得 （ 且 ），
所以 ，即数列 为递减数列.
故选：B.
4．（2022·北京大兴·高二期末）已知数列 的前n项和 ，若数列 中第 项最大，则 等
于（ ）
A．6 B．7
C．6或7 D．8
【答案】B
当 时， ，当 时， , 也满足，
故 ，由 可知，当数列 中第 项最大.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 且数列 是单调递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A由题意可得 解得 .
故选：A.
6．（2022·甘肃武威·高二期末（理））在数列 中， ，则此数列最大项的值是
（ ）
A．102 B． C． D．108
【答案】D
将 看作一个二次函数，其对称轴为 ，开口向下，
因为 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
故选：D
7．（2022·四川·成都七中高二期中（理））历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步
起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足 ，且满足递推关系
，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的
每一项除以4后的余数构成一个新数列 ， ___________.
【答案】1
由题可知 ， ， ， ， ， ；
， ， ， ， ， ，
故可以发现，数列 是周期为6的周期数列，由于 ，所以
故答案为：1
8．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、
酉、戌、亥叫做“十二地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，
组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、
乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.干支纪年在我国历
史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变法､辛
亥革命等等.1911年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个
资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新
纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人. 1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949年是“干支纪年法”中的己丑年，
那么2072年是“干支纪年法”中的______年.
【答案】壬辰
依题意天干以 为周期循环，地支以 为周期循环，
因为1911年的天干为辛， ，所以 年的天干为壬，
因为1911年的地支为亥， ，所以 年的地支为辰，
所以2072年是“干支纪年法”中的壬辰年.
故答案为：壬辰
9．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列 的通项公式：① 是无穷数列；
② 是单调递减数列；③ .这个数列的通项可以是__________.
【答案】 ，答案不唯一.
因为函数 的定义域为 ，且 在 上单调递减， ，所以满足3个条件
的数列的通项公式可以是： .
故答案为： ，答案不唯一.
10．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知数列 的通项公式为 （其中 是常数），
若数列 为严格增数列，则 的取值范围为__________.
【答案】
数列 为严格增数列，则
所以 ，即 对任意 恒成立
所以
故答案为：
11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知数列 的通项公式为 ，若数列
的前n项和为 ，则 取得最大值时n的值为______________．
【答案】4
∵ ，
∴ ，
则数列 是一个首项为正，且先增后减的数列，
令 ，则 ，∵ ，∴从 开始， ，
∴ 的前4项的和最大．
故答案为：4．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
(1)解：因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
2．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)∵ ，∴ ,∴ ,又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
