文档内容
第 01 讲 直线的方程
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：倾斜角与斜率的计算............................................................................................................2
题型二：三点共线问题........................................................................................................................2
题型三：过定点的直线与线段相交问题............................................................................................2
题型四：直线的方程............................................................................................................................3
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题........................................................................................3
题型六：两直线的夹角问题................................................................................................................4
题型七：直线过定点问题....................................................................................................................4
题型八：中点公式................................................................................................................................4
题型九：轨迹方程................................................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................5
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：倾斜角与斜率的计算
1．（2024·高三·山东济宁·期末）直线 的倾斜角是 .
2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直线 的倾斜角是 .
3．经过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：三点共线问题
5．若三点 ， ， 共线，则 .
6．若点 在同一条直线上，则实数 等于
7．已知 ， ， 三点在同一条直线上，则 ．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
8．已知点 ， ，若过点 的直线 与线段 相交，则直线 的斜率的取值范围是
.9．已知实数 满足 ，则 的取值范围为 .
10．已知点 ，若直线 过点 且与线段 没有交点，则直线 的斜率 的取值范
围为 ．
11．若直线 ： 与连接 ， 的线段相交，则 的取值范围是 ．
12．已知两点 ， 和直线 ，则直线 恒过定点 ；若直线 与线段AB
有公共点，则实数 的取值范围是 .
题型四：直线的方程
13．在平面直角坐标系中，已知 两点， 为坐标原点，则 的平分线所在直线的方程
为 .
14．过点 引直线，使 ， 到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
15．已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川绵阳·二模）过点 ，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
17．已知直线l过点 ，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则
面积最小值为 ．
18．若一条直线经过点 ，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
19．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB
面积最小时，直线l的方程为 .
20．已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．21．（2024·全国·高三专题练习）直线l过点 ，且分别与 轴正半轴交于 、B两点，O为原点.
(1)当 面积最小时，求直线l的方程；
(2)求 的最小值及此时直线l的方程.
题型六：两直线的夹角问题
22．若直线 过点 且与直线 ， 的夹角相等，则直线 的方程是 ．
23．直线 过点 ，且与直线 ： 的夹角为 ，则直线 的方程为 ．
24．直线 与直线 所成夹角大小为 ．
题型七：直线过定点问题
25．若无论实数 取何值，直线 都经过一个定点，则该定点坐标为 .
26．过定点 的直线 与过定点 的直线 交于 ，则
27．已知直线 （m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直
线 与直线 ， 分别交于M点，N点，则 的最小值为 ．
28．已知直线 经过定点 ，则点 的坐标为 .
题型八：中点公式
29．已知 两点分别在两条互相垂直的直线 和 上，且 的中点为 ，
则 ，直线 的一般式方程为 ．
30．直线 分别交x轴和 轴于A、 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程为 .31．已知直线 ： 过定点 ，若直线 被直线 和 轴截得的线段恰好被
定点 平分，求 的值.
题型九：轨迹方程
32．方程 表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点
33．已知 ､ ， 的面积为 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
34．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
35．到两条平行直线 和 的距离相等的点的轨迹方程是 .
36．已知三条直线 、 和 且 与 的距离是 ．
(1)求 的值；
(2)已知 点到直线 的距离与 点到直线 的距离之比是 ，试求出点 的轨迹方程．
1．（2024·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．2．已知点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数 的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·重庆·三模）当点 到直线l： 的距离最大时，实数 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·重庆·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
6．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线 ， 的斜率分别为1，2， ， 夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数 的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·贵州遵义·一模）已知直线 与函数 的图象在 处的切线没有
交点，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
9．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点 在函数 的图象上，当 ，则 可
能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若 的图象在 处的切线分别为 ，
且 ，则（ ）
A．B． 的最小值为2
C． 在 轴上的截距之差为2
D． 在 轴上的截距之积可能为
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知直线 过点 ，且与 轴、 轴分别交于A，B点，则
（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的方程为
B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
C．若M为 的中点，则 的方程为
D．直线 的方程可能为
12．（2024·贵州毕节·三模）已知直线 ，直线 ， 与 相交于点A，则点A
的轨迹方程为 ．
13．（2024·上海长宁·二模）直线 与直线 的夹角大小为 ．
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线 ，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则
实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知 的顶点 ， ，
若其欧拉线方程为 ，则顶点 的坐标 .
16．已知 的顶点 ，边 上的中线所在直线方程为 ，边 上的高所在直线方程为
．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
17．直线 的方程为 .
(1)证明直线 过定点；
(2)已知 是坐标原点，若点线 分别与 轴正半轴､ 轴正半轴交于 两点，当 的面积最小时，求
的周长及此时直线 的方程.18．已知 的三个顶点是 ， ， ．
(1)过点 的直线 与边 相交于点 ，若 的面积是 面积的3倍，求直线 的方程；
(2)求 的角平分线所在直线 的方程．
1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线 与直线
的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线 的斜率分别为 ，
则有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图， 是同一平面内的三条平行
直线， 与 间的距离是1， 与 间的距离是2，正三角形 的三顶点分别在 上，则 的边
长是（ ）A． B． C． D．
4．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线 过点 ，且分别与 轴的
正半轴、 轴的正半轴交于 两点， 为原点，则 面积最小值为 ．
6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））直线 的倾斜角
．
7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线 （a为常实数）
的倾斜角的大小是 ．
8．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点 ， ， ，（
）共线，则 的值等于 .
9．（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷））已知曲线C是到点 和到直线
距离相等的点的轨迹．l是过点 的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，
， 轴（如图）．(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得 为常数．
10．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为
2，宽为1， 边分别在 轴、 轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使
A点落在线段 上．
(1)若折痕所在直线的斜率为 ，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
