文档内容
第 02 讲 三角恒等变换
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：两角和与差公式的证明........................................................................................................2
题型二：两角和与差的三角函数公式................................................................................................5
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形........................................................................7
题型四：利用角的拆分求值................................................................................................................9
题型五：给角求值..............................................................................................................................11
题型六：给值求值..............................................................................................................................12
题型七：给值求角..............................................................................................................................15
题型八：正切恒等式及求非特殊角..................................................................................................17
题型九：三角恒等变换的综合应用..................................................................................................18
题型十：辅助角公式的高级应用......................................................................................................21
题型十一：积化和差、和差化积公式..............................................................................................23
02 重难创新练....................................................................................................................................24
03 真题实战练....................................................................................................................................34题型一：两角和与差公式的证明
1．如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点 ，以x轴的非负半轴为始边分别
作任意角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ．
(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角 的终边 （与单位圆交于点P），并说明AP与
的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．
【解析】（1）作出以x轴的非负半轴为始边时角 的终边 如图所示：
作图原理如下：首先作 平分 ，然后作 关于 对称的射线 ，最终作 关于 轴的射线
即可得解.
由题意在同一个单位圆中 ，所以 .
（2）由题意 ，
而 即 ，所以由勾股定理可得 ，
即 ，
所以 .
（3）由题意
.
2．(1)试证明差角的余弦公式 ： ；
(2)利用公式 推导：
①和角的余弦公式 ，正弦公式 ，正切公式 ；
②倍角公式 ， ， .
【解析】(1)不妨令 .
如图，
设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴非负半轴为始边作角 ，它们的终边分别与单位
圆相交于点 ， ， .
连接 .若把扇形 绕着点 旋转 角，则点 分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知，
与 重合，从而， ＝ ，∴ .
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当 时，上式仍然成立.
∴，对于任意角 有： .(2) 公式 的推导：
①
.
公式 的推导：
正切公式 的推导：
②公式 的推导：
由①知， .
公式 的推导：
由①知， .
公式 的推导：
由①知， .
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，考虑点 ， ， ，
，从这个图出发.（1）推导公式： ；
（2）利用（1）的结果证明： ，并计算 的值.
【解析】（1）因为 ，
根据图象，可得 ，即 ，
即 .
即 .
（2）由（1）可得 ， ①
②
由①+ 可得：
②
所以 ，
所以 .
题型二：两角和与差的三角函数公式
4．（多选题）已知 为锐角， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【解析】由 为锐角， ，则 ， ，
则 ， A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：BD．
5．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由两角和差的正弦公式得 ，
化简得 ，则
故 ，故D正确.
故选：D
6．已知 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以
.
故选：B
7．（2024·河北承德·二模）已知 ，则 .
【答案】 /
【解析】 ，
，
所以 ，
而 ，
因此原式 .
故答案为： .
8．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以上式可化为： .
故答案为：题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
9．（2024·高三·全国·课后作业）若 ，则 .
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，即 ，即 ，
因此 .
故答案为：2.
10． ．
【答案】
【解析】
．
故答案为： .
11．已知 ， ，则 .
【答案】
【解析】已知 ①， ②，
则 得： ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ．故答案为：
12．函数 ， ，则 的值为 .
【答案】
【解析】因为 ，两边同时平方得 ①；
，两边同时平方得 ②，
+ 得 ，
① ②
即 ，故 ，
故答案为： .
题型四：利用角的拆分求值
13．已知 ，则 .
【答案】 /
【解析】由 ，得
，
，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
14．已知 ， ， ，则 ．【答案】
【解析】由 ， ， ，则 ，
则 ， ，
.
故答案为： .
15．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
得 ，
故选：A.
16．已知 ， ，且 ， 均为锐角，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 、 均为锐角，所以 ，所以 ．
由 ， 得， ， ．
所以
.
故选：A.17．（2024·辽宁·二模）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得到 进而得到 ， ，从而有
. ，
∵
∴ ，
则 ，
，
∴
，
故选A.
18．若 ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，
故选：C.
题型五：给角求值
19． ．【答案】
【解析】
.
故答案为：
20．求 .
【答案】 /0.5
【解析】
故答案为： .
21． ．
【答案】【解析】原式 ，
故答案为： .
题型六：给值求值
22．已知 ，则 的值是 .
【答案】 /
【解析】因为
，
所以 ，则 .
故答案为： .
23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，则
.
【答案】 /0.25
【解析】因为 ，则 ，
显然 ，可得 ，
整理得 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .24．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足 ，则
， ．
【答案】 / /
【解析】因为 ，所以
，
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 为锐角，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ； .
25．已知 ， ，其中 ， ，则 .
【答案】
【解析】因为 ， ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
26．已知 ，则 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 ，
所以
，
故答案为：
题型七：给值求角
27．（2024·高三·广东广州·期中）已知 ， ， ， ，则 .
【答案】 /
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为：
28．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故选：D
29．已知 为钝角，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于 为钝角，且 ，
所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.30．（2024·四川·模拟预测）已知 ， ， ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，得 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 .
又 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
.
∴
故选：A.
题型八：正切恒等式及求非特殊角
31． 的值是__________.
【答案】1
【解析】因为 ，
所以 ，故 .
故答案为： .
32． ____________．
【答案】
【解析】．
故答案为： .
33．若 是 的内角，且 ，则 等于______.
【答案】
【解析】由题意知， ，即 ，
∴ ，
又 ，∴ .
34．（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角 的终边经过点 ，且
，则实数 ___________.
【答案】
【解析】因为角 的终边经过点 ，
所以
因为 ， ，
所以角 是第一象限的角，
所以 ，
不妨取 ，则 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：题型九：三角恒等变换的综合应用
35．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 时，求 的最大值，并求当 取得最大值时x的值．
【解析】（1）因为
，
所以 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
所以 的最大值为 ，此时 ．
36．已知函数 ；
(1)若在 中， ， ，求使 的角 ．
(2)求 在区间 上的取值范围；
【解析】（1）由题意，
在 中， ， ，
，
∴ 或 ，∴在三角形中得 或 .
所以当 时，由勾股定理得，
, 是等腰直角三角形，
∴
.
∴
当 时, 由正弦定理得,
，即 ，
∴ ，
解得： 或 ，
,
∵
,
∴
,
∴
综上所述, 为 或 .
（2）由题意，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
,
∴
由正弦函数的性质可知，当 , 即 时, 取最小值 ,
当 , 即 时, 取最大值 ，
所以 在区间 上的取值范围是 .
37．已知 ．若 的最小正周期为 ．
(1)求 的表达式和 的递增区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的最小正周期为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，可得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以当 时，函数 取最大值，最大值为 ，
当 时，函数 取最小值，最小值为 .题型十：辅助角公式的高级应用
38．（2024·山东·模拟预测）若函数 的最大值为 ，则常数 的一个取值为
．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】因为
，
若 ，则 ，所以 或 ，显然不满足 的最大值为 ，
所以 ，
则 ，（其中 ），
依题意可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）
39．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，所以 ，所以
.
故答案为： .
40．设当 时，函数 取得最大值，则 ．
【答案】
【解析】依题意，函数 ，
其中锐角 满足 ，当 时， ，
因此 ，
所以 .
故答案为：
题型十一：积化和差、和差化积公式
41． ．
【答案】
【解析】由 ．
故答案为： ．
42．已知 ， ，则 .
【答案】 /1.5
【解析】因为 ，所以 .
①因为 ，所以 .
②
因为 ， ，所以由 得 ，即 .
故答案为： .
43．（2024·高三·江西萍乡·期中）求值： .
【答案】
【解析】 ，
，
代入原式得 ，
故答案为： .
44．已知 ， ，则 .
【答案】
【解析】
故答案为：1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， 是函数 的零点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 是函数 的零点，
所以 ， ，
所以
.
故选：B
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.3．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，即 ，
所以 ，
故选：D
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
解得 或 （舍 ，
则
.
故选：A.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
，整理得 ，
即 ，由 ，得 ，
所以 .故选：D
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，
，
而
.
故选：D
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．2 B．2或 C． D．2或3
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
化简得 ，解得 2或3.
故选：D.
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 ，
又 ，所以 ，所以 ，则.
故选:A.
9．（多选题）（2024·浙江绍兴·三模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 分子分母都乘以 ,所以
可得 ,故A选项正确， ,B选项错误；
,C选项错误；
,D选项正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ， ，
若 ，则 ，矛盾，故D错误．
故选：BC.
11．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）设 ， ，则下列计算正确的是（ ）A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为 ， ，则 ，
，故 ，
所以 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 ，错误；
对于C，由 得， ，所以 ，
即 ，因为 ， ，所以 ，
则 或 ，即 或 （不合题意，舍去），错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，正确.
故选：AD12．（2024·陕西铜川·模拟预测）若 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【解析】由 ，得 ，
即 ，
当 时， ，即 ，由 ，得 ；
当 时， ，所以 ，
即 ，由 ，得 ，所以 ，得 ．
故 的值为 或 ．
故答案为： 或 .
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 ，若 ，使
成立，则 ．
【答案】
【解析】由 可得， ,
设 .
依题意， ，而 ，故 ，
由 ， 可得， ，
又由 可得， ，
因 ，则 ，
，故 ，解得， .故答案为： .
14．（2024·上海浦东新·三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 .
【答案】1
【解析】因为 设 ,
因为 设 ,
所以 可得 ，
因为 ,所以 ,
所以 .
故答案为：1.
15．（2024·天津滨海新·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ，
， ．
(1)求角 的大小：
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【解析】（1）在 中，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，得
即 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
又因为 ，可得 ；
（2）在 中，由余弦定理及 ， ， ，
有 ，故 ；
（3）由 ，可得 ，因为 ，所以 ，故 为锐角，故 ，
因此 ， ．
所以， ．
16．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .已知
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 ，求 的最大值.
【解析】（1）根据题意， ，
即 ，
所以 ，
化简得 ，
当 时，得 ，即 为直角三角形；
（2）当 时，根据（1），有 ，
根据正弦定理，有 ，
即 ，
根据和差化积公式，得 ，
即 ，化简得 ，
所以 ，
设 则
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即当 时， 取最大值为 .17．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若关于x的方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求a的值．
【解析】（1）
因 ，令 ，则 ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，故 ．
则 ， 的值域为 ．
（2）如图，因 的最小正周期为 ，
当 时，易得 ，不满足 ，故舍去，
当 时，依题意： ，代入 得： ．
由 ， ，可得 ， ．
由 ， ，代入 ，解得 ， ．
， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
故 的值为 ．
18．（2024·四川成都·模拟预测）设 ， .(1)若x，y均为锐角且 ，求z的取值范围；
(2)若 且 ，求 的值.
【解析】（1）由 ，可得， ，
所以
记 ，因 ，可得 ，因函数 在 上单调递减，故 ，则
，
故 的取值范围是 .
（2） ，且 ，
则： ，即得： ，
又由 ，整理得： ，
故 .
1．（2022年新高考全国II卷数学真题）若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
2．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2021年浙江省高考数学试题）已知 是互不相同的锐角，则在 三
个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
.
故选：D.
6．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，点 ，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .故答案为： ； .
10．（2024年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，因为 为三角形内角，所以 ，
所以
