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第 02 讲 两条直线的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设点 满足 ，则“ ”是“
为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 为定值，
即点 到直线 两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，
所以当点 在与这两条直线平行的直线上时，此时直线 满足 且 ，
即 ，且 ， 为定值，
所以“ ”是“ 为定值”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线 与 之间的距离为 ，则a
的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【解析】将直线 化为 ，
则直线 与直线 之间的距离 ，
根据题意可得： ，即 ，解得 或 ，
所以a的值为 或 .故选：C
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若 ，复数 与 在复平面内对应的点分别为 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】由 ，
所以 ，
所以 ，
故 与 在复平面内对应的点分别为 ，
所以 ，
故选：A.
4．（2023·人大附中校考三模）若两条直线 ， 与圆 的四个交点能
构成正方形，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】由题设知： ，要使 ， ， ， 四点且构成正方形 ，
∴正方形的边长等于直线 、 的距离 ，则 ，
若圆的半径为r， ，即 ，则 ，
由正方形的性质知： ，
∴ ，即有 .
故选：B.
5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知圆 ，从圆心C射出的光线
被直线 反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】圆 ，圆心为 ，设圆心 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为 ，
因为反射光线恰好与圆C相切，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
故选：C．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线 ，直线 ，给出下列命题：
① ，使得 ； ② ，使得 ；
③ ， 与 都相交； ④ ，使得原点到 的距离为 .
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【解析】对于①，若 ，则 ，该方程组无解，①错；
对于②，若 ，则 ，解得 ，②对；
对于③，当 时，直线 的方程为 ，即 ，此时， 、 重合，③错；
对于④，直线 的方程为 ，
若 ，使得原点到 的距离为 ，则 ，整理可得 ，
，方程 有解，④对.
故选：C.
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了
两点 ， 的曼哈顿距离为 .我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距
离相等的点叫“好点”，已知三角形 的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的
“好点”的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】对于A，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于B，设 ，
则 ，
，
所以 ，
所以点 是 的“好点”；
对于C，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于D，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”.
故选：B.
8．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知点 分别为直线
上的动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由
且点 ， 为直线 上的动点，则 即为点 到直线 的距离，
所以 ，则 ，
故选:C
9．（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）设直线系
，下列命题中的真命题有（ ）
A． 中所有直线均经过一个定点B．存在定点 不在 中的任一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】BC
【解析】由题知，
点 到 中每条直线 的距离 ，
即 为圆 的全体切线组成的集合，
从而 中存在平行的直线，所以A错误；
又因为 点不存在任何直线上，所以B正确；
对任意 ，存在正 边形使其内切圆为圆 ，故C正确；
中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2023·江苏南通·海安高级中学校考二模）已知直线l过点 ，点 ， 到
l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】当直线 的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时点 到直线 的距离为5，点 到直线 的距
离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
∵点 到直线的距离相等，
，解得 ，或 ，
当 时，直线 的方程为 ，整理得 ，
当 时，直线 的方程为 ，整理得
综上，直线 的方程可能为 或
故选：BC．11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）（多选）曲线 在点 处的切线与其平行直线
的距离为 ，则直线 的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题设，y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x ＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，
=0
设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
故选：AB
12．（多选题）（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知直线l： ，
1
l： ，l： ，l： .则（ ）
2 3 4
A．存在实数α，使l l，
1 2
B．存在实数α，使l l；
2 3
C．对任意实数α，都有l⊥l
1 4
D．存在点到四条直线距离相等
【答案】ACD
【解析】当 时， ，故选项A正确；
，所以 与 不平行，故选项B错误；
恒成立， ，故选项C正确；
坐标原点 到四条直线距离均为1，故选项D正确.
故选：ACD.
13．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）著名科学家笛卡儿根据他所研究的一簇花瓣和
叶形曲线特征，列出了 的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡儿叶线”（或者叫“叶
形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花瓣曲线．已知曲线G： ，则
（ ）
A．曲线G关于直线y＝x对称
B．曲线G与直线x－y＋1＝0在第一象限没有公共点
C．曲线G与直线x＋y－6＝0有唯一公共点
D．曲线G上任意一点均满足x＋y＞－2
【答案】ACD【解析】对于A，将 代入 ，有 都成立，
即曲线 关于直线 对称，故A对；
对于B，将 代入曲线得 ，即 ，
令 ，且 ，
则 ，由 ，解得 ，
在 上， 递减，在 上， 递增，
又 ，而 ，
所以 在 上有两个零点，故B错；
对于C，将 代入曲线得 ，
即 ，所以 ，
即曲线 与直线 有唯一公共点 ，故C对；
对于D，设 ，代入曲线得 ，
即 ，
当 ，即 时，代入得 ，矛盾，故 ，
所以 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ，故D对.
故选：ACD.
14．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 是等差数列， ， ， ， 是互不相同的正整
数，且 ，若在平面直角坐标系中有点 ， ， ， ，则下列选项成
立的有（ ）
A． B．
C．直线 与直线 的斜率相等 D．直线 与直线 的斜率不相等
【答案】ABC
【解析】由题设 ，且 ，又 是等差数列，若公差为 ，
，又 ，
所以 ，A正确；由 ， ，
又 ，故 ，B正确；
由 ， ，故直线 与直线 的斜率相等，C正确；
同理 ， ，故直线 与直线 的斜率相等，D错误.
故选：ABC
15．（2023·全国·模拟预测）点 到曲线 在 处的切线l的距离为 .
【答案】
【解析】 ，当 时， ，所以切点坐标为 .
求导得 ，则切线的斜率为3，
所以切线方程为 ，即 ，
所以点 到切线l的距离为 .
故答案为： .
16．（2023·河北·统考模拟预测）已知直线 和 两点，若直线 上存在一点 使得
最小，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】首先设点 关于 的对称点 ，
则 ，解得： ，即
根据对称性可知， ，当点 三点共线时，等号成立，此时
最小，即点 是直线 与 的交点，
，直线 ，
联立 ，解得： ，即此时故答案为：
17．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 是曲线 在 处的切线,若点
到 的距离为1,则实数 .
【答案】
【解析】解:由题知 ,
所以 ,
因为 是曲线 在 处的切线,
所以当 时, ,且 ,
所以 ,
因为点 到 的距离为1,
所以 ,
解得: .
故答案为:
18．（2023·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定
义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即
.切比雪夫距离是 与 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝
对值中的最大值，即 .已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为
坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
【答案】6
【解析】因为点 是直线 ： 上的动点，要使 最小，则 ，此时 ，所以 ，由方程组 ，解得 ， ，
所以， ， 两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
19．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知两条直线 ，
，若 ，则直线 与 之间的距离 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，则 ，解得 ，所以，直线 的方程为 ，
因此，直线 与 之间的距离 .
故答案为： .
20．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在 中， 的内角平分线方程为 ， ， ，则
角 的正切值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，根据角平分线的性质， 关于 的对称点一定在直线 上，
设 关于 的对称点为 ，记 ，则 是 中垂线，于是 ，解得 ，
故 ，又 ，故 直线方程为 ，于是 和 的交点 为 的坐标，
由 ，则 ，故 ，
则 ， .
故答案为：21．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数 ，直线 ： ，若直线
与 的图象交于 点，与直线 交于 点，则 ， 之间的最短距离是 .
【答案】
【解析】
因为函数 ，直线 ： ，
若直线 与 的图象交于 点，与直线 交于 点，
直线 的斜率为1，直线 ： 的斜率为 ，
所以两直线垂直，
所以函数 图象上的点A到直线 的最短距离，
即为 之间的最短距离
由题意可得 ， .
令 ，解得 （ 舍去）.
因为 ，取点 ，
所以点A到直线 的距离 ，
则 ， 之间的最短距离是 .
故答案为：
22．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故答案为： .
23．（2023·全国·高三对口高考）已知点 ，在直线 和 轴上各找一点 和 ，使
的周长最小，并求出 和 两点的坐标．
【解析】由题可得，设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ，
点 关于 轴的对称点 ，则直线 的方程为 ，即 .
当 、 分别为直线 与直线 、 轴的交点时， 的周长最小.
令 ，得到直线 与 轴的交点 .
由 ，解得 ，所以直线 与直线 的交点为 .
故点 ， 即为所求.24．（2023·全国·高三对口高考）已知 中， ， 边上的高线 方程为 ，角A
平分线方程为 ，求 ， 边所在直线方程．
【解析】因为 边上的高线 所在直线的方程为 ，
则 ， ． 边所在直线方程为 ．
即 ．
的平分线所在直线方程为 ，则 与 关于 轴对称， 设 ．
又点 在直线 上， ， ． ，
点 的坐标为 ．
直线 方程为： ．即 ，
又 与 关于 轴对称，
所以直线 的方程为 ，
所以直线 的方程为： ，直线 的方程为： ．
1．（2022•上海）若关于 ， 的方程组 有无穷多解，则实数 的值为 ．
【答案】4．
【解析】根据题意，若关于 ， 的方程组 有无穷多解，
则直线 和 重合，则有 ，即 ，解可得 ，
当 时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当 时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，
故 ．
故答案为：42．（2020•上海）已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为 ．
【答案】
【解析】直线 ， ，
当 时， ，解得 ；
当 时 与 重合，不满足题意；
当 时 ，此时 ， ；
则 与 的距离为 ．
故答案为： ．
3．（2018•全国）坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ，
则 ，
解得 ， ，
坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
4．（2016•上海）已知平行直线 ， ，则 ， 的距离 ．
【答案】
【解析】平行直线 ， ，则 ， 的距离： ．
故答案为： ．
5．（2015•全国）点 关于直线 的对称点为 ．
【答案】
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
解得 ， ，点 关于直线 的对称点为 ．
故答案为： ．
6．（2014•四川）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点
．则 的最大值是 ．
【答案】5
【解析】由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过定点 ，
注意到动直线 和动直线 始终垂直， 又是两条直线的交点，
则有 ， ．
故 （当且仅当 时取“ ”
故答案为：5
7．（2014•上海）点 到直线 的距离是 ．
【答案】
【解析】点 到直线 的距离：
．
故答案为： ．
