文档内容
第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 模拟真题练......................................................................................................................................2
题型一：单调性的定义及判断....................................................................................................................................2
题型二：复合函数单调性的判断................................................................................................................................3
题型三：分段函数的单调性........................................................................................................................................4
题型四：利用函数单调性求函数最值........................................................................................................................6
题型五：利用函数单调性求参数的范围....................................................................................................................8
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小............................................................................................................9
题型七：函数的奇偶性的判断与证明......................................................................................................................11
题型八：已知函数的奇偶性求参数..........................................................................................................................13
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值..........................................................................................................14
题型十：奇函数的中值模型......................................................................................................................................16
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式..................................................................................................18
题型十二：函数对称性的应用..................................................................................................................................20
题型十三：函数周期性的应用..................................................................................................................................22
题型十四：对称性与周期性的综合应用..................................................................................................................24
题型十五：类周期与倍增函数..................................................................................................................................28
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..................................................................................30
02 重难创新练....................................................................................................................................32
03 真题实战练....................................................................................................................................41题型一：单调性的定义及判断
1．下列函数在 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数 在区间 上是增函数，故A不正确；
对于B，函数 在区间 上是减函数，故B正确；
对于C，函数 在 上是增函数，故C不正确；
对于D，函数 在 上是增函数，故D不正确.
故选：B．
2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是偶函数，且在 上单调递增 D．是奇函数，且在 上单调递减
【答案】B
【解析】因为函数 的定义域为R，且 ，
所以 是奇函数，又 ，作出函数 图象如下图：
由图知，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
故选：B3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数 ，且 .
(1)求 的值，并指出函数 的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数 在 上是增函数.
【解析】（1）因为 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
此时 ，所以 为奇函数；
（2）任取 ，则
，
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 即 ，
所以函数 在 上是增函数.
题型二：复合函数单调性的判断
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ，令 ，
解得 ，即函数 的单调递增区间是 .
故选：D.
5．函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为 ，则 ，解得 或 ，
所以 的定义域为 ，
又 开口向上，对称轴为 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 的单调增区间为 .
故选：A.
6．已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得函数 在 上单调递减，且在 上 恒成立，
所以 ，解得 ，
故a的取值范围是 .
故选；B.
题型三：分段函数的单调性
7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有
成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 满足对任意的实数 ，都有 成立，
不妨设 ，则 ，则 ，即 ，
则函数 在 上为减函数，则 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ，
故选：D．
8．已知函数 满足对于任意实数 ，都有 成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，对于任意实数 ，都有 成立，
不妨设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，解得 .
故选：D
9．已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】依题意，函数 是增函数，则 ，即 ；
由 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
于是 在 上恒成立，因此 在 上恒成立，即 ；
又函数 在 上单调递增，则 ，从而 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：B
10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知 ，且 ，函数 在 上单调，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故 在R上单调递减，
所以 ，
解得： .
故选：D.
题型四：利用函数单调性求函数最值
11．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则
实数 的取值范围是 .
【答案】 或
【解析】由题意，令 ， ， ， ，
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，则 在 上的值域为 ，
因为 存在最小值，故需 ，解得 ，结合 ，此时 ；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，则 在 上的值域为
，
因为 存在最小值，故需 ，即 ，解得 ，
这与 矛盾；
当 时， 在 上单调递减，且在 上的值域为 ， ，此时存在最小
值2；
则实数 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数
①若 ，则 的最小值为 .
②若 有最小值，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当 时， ，
则当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ；
②由 ，则当 时， ，
由 有最小值，故当 时， 的最小值小于等于 ，
则当 且 时，有 ，符合要求；
当 时， ，故不符合要求，故舍去.
综上所述， .
故答案为： ； .
13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
【答案】16【解析】由 ，而 ，
因为 单调递增，所以 ，则 的最大值是16.
故答案为：16
14．函数 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
令 ， ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：
题型五：利用函数单调性求参数的范围
15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 的图象对称轴为 ，依题意， ，得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
16．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 的对称轴是 ，
因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：A．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，函数 在 上单调递减，不符合题意，所以 ，
由题可知 恒成立，即 .令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，由 ，
可得 ，即 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，不符合题意，故 的取值范围是 .
故选：B
18．设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，因此函数 的递增区间是 ，递减区间是 ，
依题意， ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
19．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ,若
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 的图象关于 成轴对称，
注意到当 时，由复合函数单调性可得 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，
所以距离 越远值越大，
因为 ，
距离 最远的为 ，故 最大，
而 ，
且 ，
所以 ，
综上所述， .
故选：A.
20．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，故 ，故 ，
由对勾函数性质可得 ，
，且 ，
综上所述，有 .故选：C.
21．已知偶函数 在区间 上单调递增，且 则 的大
小关系为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 所以 ；
因为 ，所以 ；故
偶函数 在 , 上单调递增，故 ，即
故选：B.
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
22．设函数 的定义域为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】C
【解析】令 ， ，
∴ 为奇函数，故A错误；
令 ，∴ ，
∴ 为偶函数，故B错误；
令 ， ，
∴ 为偶函数，故C正确；
令 ，∴ ，
∴ 为偶函数，故D错误．
故选：C
23．（2024·重庆·三模）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 定义域为 ，
则 ，所以函数 的对称中心为 ，
所以将函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位，得到函数 ，
该函数的对称中心为 ，故函数 为奇函数.
故选：A.
24．（2024·高三·江西·期中）设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则
（ ）
A． 是偶函数
B． 是偶函数
C． 是奇函数
D． 是奇函数
【答案】B
【解析】对A， ，故 是奇函数，故A错误；
对B， ，故 是偶函数，故B正确；
对C， ，故 是偶函数，故C错误；
对D， ，故 是偶函数，故D错误.
故选：B
25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A中，函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为 的奇函数，符合题意；
对于B中，函数 的定义域为 ，且 ，所以 为 的奇函数，符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 关于原点对称，
且 ，所以 为定义域上的奇函数，符合题意；
对于D中，函数 的定义域为 关于原点对称，
且 ，所以 为定义域上的偶函数，不符合题意.
故选：ABC.
26．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) .
【解析】（1）由题意知， ， 或 ，
所以定义域为 ，关于原点对称，
，
所以 ，
所以 ，所以 为奇函数.
（2）由题意知 的定义域为 ， ，
所以
，
所以 ，所以 为奇函数.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
27．设函数 ，若 为奇函数，则
【答案】【解析】 ，又 ，易知 的对称中心是 ，
把它的图象向右平移1个单位，再向下平行一个单位得图象的函数为奇函数．
，由题意 ，∴ ， ．
故答案为：－2．
28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 为奇函数，则 .
【答案】
【解析】设 ，若函数 是奇函数，
则 是奇函数，函数的定义域为 ，
，即 ，
则 ，则 .
故答案为：
29．（2024·四川内江·三模）若函数 是奇函数，则 .
【答案】
【解析】函数 是奇函数， ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
所以 ， .
故答案为：
30．设奇函数 ，则 的值为 .
【答案】0
【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，
即 ，
所以 .故答案为： .
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
，则 ．
【答案】27
【解析】因为 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
而 ，①
所以 ，即 ，②
由① ②得 ，所以 ．
故答案为： .
32．已知偶函数 和奇函数 均定义在 上，且满足 ，则
．
【答案】
【解析】因为 ……①
所以
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 ……②
①②联立解得： ， ，
所以 .
故答案为： .
33．已知 ， 是分别定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则
.
【答案】
【解析】
和已知条件相加得故
故
故答案为：
34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 为奇函数， 为偶函数，
则 ，
所以 ，即 ，
解得 .
故选：B
题型十：奇函数的中值模型
35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数 为奇函数，且最大值为1，则函数 的最大值和
最小值的和为 .
【答案】2
【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，
所以函数 最大值和最小值之和为0，
则函数 的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 且 ， ，
，则 和 的值一定不会是（ ）
A． 和 B．-3和4
C．3和-1 D． 和
【答案】C【解析】令 ， ，易得 ， ，所以
，因为 ，所以 为奇数，验证可知A、B、D三组数值和均为奇数，C组
数值和为偶数，故C组数值一定不是 和 的值.
故选：C.
37．已知函数 ，正实数 满足 ，则 的最小值为
.
【答案】2
【解析】令 ，由 ，得 定义域为R，
，即函数 是奇函数，
而 ，当 时，函数 是增函数，又 是增函数，
于是函数 在 上单调递减，由奇函数的性质知，函数 在 上单调递减，
因此函数 在R上单调递减，由 ，得 ，
即 ，则 ，即 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时取得，
所以 的最小值为2.
故答案为：2
38．已知函数 ，则 是 （填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
函数；若 ，则 .
【答案】 奇
【解析】因为 定义域为R,则 ，
则 ，所以 为奇
函数.
因为 ，所以 ，所以 ，所以
故答案为：奇，
39．（2024·安徽安庆·三模）若 ，都有 成立，则函数
在 上的最大值与最小值的和为 .【答案】
【解析】依题意， ，都有 成立，
令 ，则 ，所以 ；
令 ， ，即
令 ，则 的定义域为 ，
且 ，
故 为 上的奇函数，
，
令 ，则 的定义域为 ，
且 ，故 为 上的奇函数，
故 为 上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故 在 上的最大值与
最小值的和为
故 为 上的最大值与最小值的和为 ，
故答案为：
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
40．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知， ，
令 ，则 ，
所以 是奇函数．又由 ，可得 ，
即 ，得 ．
由 ，因为 均为 上的减函数，所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：A
41．（2024·辽宁大连·一模）设函数 则满足 的x的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以
，
设 ，显然定义域为 ， ，
又 ，
所以 为 上的奇函数，
又 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
则满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
42．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上是增函数，且
，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 上是增函数且 ，所以 在 范围内的解为 .
因为函数 在定义域 上图象关于 轴对称，所以 在 内的解为 ，所以不等式
在R内的解为 .
故选：C43．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
因为
，
所以 为偶函数.
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C
题型十二：函数对称性的应用
44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 对称的函数的解析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 的图象关于原点对称，则 的图象关于点 对称．同样如函数 也满足题
意．
故答案为： （答案不唯一）．45．（2024·四川泸州·一模）函数 的对称中心为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
则 的图象可以由函数 向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
因为 为奇函数，函数图象关于原点 对称，所以 关于 对称.
故答案为：
46．已知函数 ，函数 满足 ，若 与 的图象有6个交点，则所
有交点横坐标之和等于 .
【答案】6
【解析】已知函数 ，绘制其图像如下图：
根据图像易知函数 关于 中心对称；
又函数 满足 ，易知 也关于 中心对称.
由于 与 均关于 中心对称，可得两个函数的交点也关于 中心对称，
设其交点分别为 ， ，…， ，
根据对称性易知 ，即得： .
故答案为：
47．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】设所求函数的图象上任意一点 ，则点 关于 对称的点为 ，
由题意知点Q在 的图象上，可得 ，
即函数 关于 对称的函数解析式为 ．
故选：D．
48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数 满足 为奇函数，若函数 与
的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 关于 对称，
因为 ，
所以 的对称中心为 ， ，
所以 也关于 对称，
所以 与 两个图象的交点也关于 对称，
所以对于每组对称点 和 均满足 ， ，
所以 .
故选：B.
题型十三：函数周期性的应用
49．已知函数 的定义域是 ， ， ，当 时，
，则 ．
【答案】
【解析】由 得： ，
又 ， ，
， ，
.
故答案为： .50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ，
，则 ．
【答案】
【解析】因为 是奇函数，所以 ，
用 替换上式中的 ，可得 ，
在 中，用 替换 ，可得 ，
所以 ，用 替换该式中的 ，可得 ，
所以 ，所以函数 的周期为 ，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
51．（2024·山东枣庄·一模）已知 为偶函数，且 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 为偶函数，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .52．（多选题）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则下列关于 的说法正确的有（ ）
A． 的一个周期为4 B．点 是函数的一个对称中心
C． 时， D．
【答案】AD
【解析】 为奇函数， ，且 ，函数 关于点 ，
偶函数， ，函数 关于直线 对称，
，
即 ， ，
令 ，则 ， ，
，故 的一个周期为4，故A正确；
则直线 是函数 的一个对称轴，故B不正确；
当 时， ，
， ，
又 ， ，解得 ，
， ，
当 时， ，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
题型十四：对称性与周期性的综合应用
53．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函数 的图象关于原点对称， ，即 ，即 ①，
由函数 的图象关于y轴对称，可得 ②，
由 可得 ，又得 ，
两式相加， ，将①式代入，得 ，
则得 ，将②式代入得， ，则 ，
于是 ，即 的周期为12.
又 ，由①可得 ，得 ，
又由 可得 ，即得 .
因 ，可得， ，
于是，
故选：B.
54．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函数且 ，
，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
【答案】C
【解析】∵ 为偶函数且 ，则 ，
故 关于点 对称，
又∵ ，则 ，
则 是以周期为4 的周期函数，故 关于点 对称，
∴ ，
则 ，
又∵ ，
则 ，
故 .故选：C.
55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点 中心
对称，若 ，则 .
【答案】
【解析】对任意 ，由于 ，且函数 的定义域为 ，
故点 在曲线 上，且曲线 关于点 中心对称，
故点 也在曲线 上，从而 ，
从而对任意 有 .
从而对任意 ，由 知 ，即 .
根据条件又有 ，即 .
现在对任意的整数 ，我们有：
，
所以 ，从而有：
.
故有：.
故答案为： .
56．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可知 关于 对称，又 ，则 ，
又 ，则 ，
， .
故选：A.
57．（2024·山东日照·二模）已知 是定义域为 的偶函数， ， ，若
是偶函数，则 （ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为 是偶函数，
所以 的图象关于直线 对称，
即 ，
即 ，
所以 .
所以 关于点 中心对称.
又 是定义域为 的偶函数，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以函数 的周期为4.
所以 ，
所以 .
故选：D.
58．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 均为偶函数，
且当 时， ，则 .
【答案】
【解析】因为 均为偶函数，
所以 ， ，
所以函数 关于 对称，函数 关于 对称，
由 可得 ，
即 ， 为常数，
所以 ，即 关于点 对称，
且函数 关于 对称，
所以 ， ，故 ，即 是函数
的一个周期，
由 可得 ，
所以 ，即 ，
所以 关于点 对称，且函数 关于 对称，
则 ， ，
故 ，所以 是函数 的一个周期，
又当 时， ，所以 ，
所以 ，
由 ，令 ，则 ，
而 ，所以 ，则 ，所以 ，
则 .
故答案为：
题型十五：类周期与倍增函数
59．（2024·江西上饶·一模）已知函数 ,若函数 在区间
[－2，4]内有3个零点，则实数 的取值范围是．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ；当 时， ；又 时， ，所
以可作出函数 在[－2，4]的图像如下：
又函数 在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数 与 在区间[－
2，4]内有3个不同交点，由图像可得 或 ,
即 或 .
故选D
60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
， ，若任给 ，存在 ，使得 ，则实
数a的取值范围为（ ）.A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
可得 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
在 ， 上的值域为 ， ，
在 上的值域为 ， ，
在 上的值域为 ， ，
，
，
在 上的值域为 ， ，
当 时， 为增函数，
在 ， 上的值域为 ， ，
，解得 ；
当 时， 为减函数，
在 ， 上的值域为 ， ，
，解得 ；
当 时， 为常数函数，值域为 ，不符合题意；
综上， 的范围是 或 ．
故选： ．题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
61．已知定义在 上的函数 满足： ．
(1)判断 的奇偶性并证明；
(2)若 ，求 ；
(3)若 ，判断并证明 的单调性．
【解析】（1） 是奇函数，证明如下：
因为 ，令 ，得到 ，
令 ，得到 ，即 ，所以 是奇函数.
（2）令 ，得到 ，由（1）知 是奇函数，
所以 .
（3） 在 上单调递增，证明如下：
在 上任取 ，令 ，
则
，
又因为 ，而 ，所以 ，
即 ，得到 ，所以 在 上单调递增.
62．已知定义在 上的函数 满足 ， ， ，且
．
(1)求 ， ， 的值；
(2)判断 的奇偶性，并证明．
【解析】（1）令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
（2） 为偶函数．
证明如下：令 ，得 ，
由（1）得 ，
即 ，又 的定义域为 ，所以 为偶函数．
63．已知函数 对任意 ， ，总有 ，且当 时， ， ．
(1)求证： 是 上的奇函数；
(2)求证： 是 上的减函数；
(3)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）证明：函数 对任意 ， ，总有 ，令 ，则
，解得 .
令 ，得到 ，则
可证， 是 上的奇函数.
（2）证明：在 上任取 、 且 ，则 ，
由（1） 是 上的奇函数，
所以 ，
因为 ，所以 .
由题可知，当 时， ，
所以 .即
所以函数 是 上的减函数.
（3）因为 ，
令 ，则
令 ，则 .
因为 ，所以
又因为函数 是 上的减函数，
所以 ，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数 的四个结论中错误的是（ ）
A． 的图象关于原点对称 B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】由 ，得 且 ，
因为 ，所以函数 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称，所以选项A正确．
因为 ，
所以 是函数 的一个周期，
由选项A知点 是函数 的图象的对称中心，
则 也是函数 的图象的对称中心，所以选项B正确．
因为 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，所以选项C正确．方法一：因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
由复合函数的性质可知，函数 在区间 上单调递减，所以选项D错误．
方法二：因为 ，所以 在区间 上单调递减，
所以选项D错误．
故选：D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ，
取 ，得 ，则 ，
取 ，得 ，则 ，故 错误；
对于B，取 ，得 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
所以 ，
令 ，得 ，此方程无解，故B错误.
对于CD，由 知 ，
所以 是偶函数，
不是偶函数，故C正确， 错误.
故选：C.
3．（2024·河北保定·二模）若函数 是定义在R上的奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，即 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
故选：A
4．（2024·山东泰安·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意得，函数 为奇函数，且定义域为 ，
由奇函数的性质得， ，解得 ，经过检验符合题意，
所以当 时， ，
所以 .
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】D
【解析】当 时， 不恒成立，故 ，A错误．
B：解法一 令 ，得 ，又 ，所以 ，
故 ，B错误．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知 ，则 ，所以 为奇函数，C错误，D正
确．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，
当 时， ，则 等于（ ）A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
又当 时， ，所以 ，
则 ，
所以 .
故选：A
7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的图象在x轴上方，对 ，都有 ，若
的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，即函数 是偶函数，故有 ．
因为 ，都有 ，所以 ，
所以 ，又函数 的图象在x轴上方，
所以 ，所以 ，即函数 的周期为4．
当 ，可得 ，所以 ，
当 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
8．（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成
立的是（ ）
A． B． 为偶函数C． 有最小值 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数 的定义域为R，且 ，
令 ，则 ，得 ，
时， 恒成立，无法确定 ，A不一定成立；
由于 不一定成立，故 不一定为偶函数，B不确定；
由于 的对称轴为 与 的位置关系不确定，
故 在 上不一定单调递增，D也不确定，
由于 表示开口向上的抛物线，故函数 必有最小值，C正确，
故选：C
9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在 上的连续函数 满足对任意的实数 都有
且 ，则下列判断正确的有（ ）
A．函数 的图象关于原点对称
B． 在定义域上单调递增
C．当 时，
D．
【答案】BCD
【解析】由 知 恒成立，再由 知
恒成立.
设 ，则 ，且
.
故 ， .
由于 ，故 .
而 ，故归纳即知 .又因为对 有 ，故归纳即知 .
特别地有 ，故 ，所以对 有
.
这就得到了 ，从而 .
设有无理数 ，有理数数列 使得 ，由于 是连续的，故 ，而 ，
故 .
这就表明 .
由于 ，故 不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A错误；
由于 在定义域上单调递增，且当 时， ，故B，C正确；
对于D，由 可得 ，
从而 ，D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数B． C． D．
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式： ．
证明过程如下：
．由题意，可以令 ，因为 为奇函数，故选项A错误．
因为 ，故选项B正确．
因为 ，故选项C正确．
因为 ，故 ，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为 的定义域为 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，
令 ，则 ，
又 不恒为0，故 ，
所以 为奇函数，故A错误．
对于选项B，令 ，则 ．
而 ，所以 ，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知， ，
令 ，则 ，所以 ．
又因为 为奇函数，所以 ，故C正确．
对于选项D，由选项B以及 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ．
因为 ，故 ，故D错误．
故选：BC
11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数 的定义域为R，
， ，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为
3
【答案】AC
【解析】令 ，则 ，所以 ，A选项正确；
令 ，则 ，即 ，所以 是偶函数，B选项错误；，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，C选项正确；
令 ，则 ，
所以 ， ，所以 ， 的一个周期为
6，D选项错误.
故选：AC．
12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若
，则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【解析】因为函数 是奇函数，
则不等式 ，可变形为 ，
因为函数 在 上单调递增，
则不等式 成立，则 ，
解得 ，1，2符合题意，
故选：CD.
13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ．
① ；② 至少有两个零点；③ 有最小值．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取 ，其对称轴为 ，满足① ，
令 ，解得 或2，满足② 至少有两个零点，
，当 ， ，满足③ 有最小值.
故答案为： （答案不唯一）.
14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数 的图象关于点 对称，函数 的图象
关于直线 对称．若 ，则 ．【答案】2499
【解析】因为 的图象关于点 对称，所以 ，
则 即 ，
又 的图象关于直线 对称，则 ，
所以 ，即 ，
可得 ，则 是以4为周期的函数.
因为 ，
由 ，令 ，得 ，
所以 ， ， ，
所以
.
故答案为：2499.
15．（2024·四川雅安·三模）已知函数 是偶函数，则实数 .
【答案】
【解析】 定义域为 ，
，
所以 ，
故 ，
故答案为：
16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 的图象关于点 中心对称，也关于点 中心对称，则
的中位数为 .
【答案】 /
【解析】由 的图象关于点 中心对称，也关于点 中心对称，
得 ，
两式相减得 ，所以 ，
由 时，由 ，得 ；
由 时，由 ，得 ；又由 ，结合 ， ，
所以 成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，且此等差数列为递增数列，
所以 的中位数为： .
故答案为： .
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】因为 是奇函数，故 即 ，
故 ，
故答案为： .
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .故选：D
12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.14．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【解析】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 是偶函数，则 .
【答案】1
【解析】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
