文档内容
方法 因式
分解
规定了原点、正方向和单位长度的直线 12 ..在过连兮两结理点两—有点 且厂的只线所有或有一矗线条 中 /直 直，线平线分段线最 短 算 术 定乂
正数。的正的平方根，记为 q
直线、射 是平面内到定点的距离等于定长的点的
定义
数轴
菽...~.................端...点...的..两...条...射..线...组...成..的...图...形....
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到 —条线 圆的定义集合。
线 和线段 平方根 .不在同一直线上的三点确定一个
四 算术平方根是 0 直术
性质
三角形的外接段圆两，个端三点!距 !离角相等的点，在这条线段的垂直平分线上
定义
平方根永远非负
形的外心，圆的内 I !接三角
相关
> 寸 顶 角 /
点的轨迹 图形是由符合条件的那些点组成的
对顶角相形等 相反 数 ! L
分类锐角、直角、钝角、平角、周角
余角、 补角
...........................................
概念 包含了符合条件的所有的点
邻补角£
........«... 倒 ... 数 ..................
当两条直线相交所成的四个角中，、 若有一个角是直角，那么这两
垂线 假设命题的结论不成立
/向爲或奪畐兩条爲箱奪 m 同角
条直 线互相垂直，其中的一条叫做另一条的垂线
反证法步骤
定义
或等角的补角相等•
定义 5 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾
绝对值
1 .经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
2 . 直线 外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
从而肯定命题的结论正确
性质
平方根
平行线
垂径定理： ! 、 的 对称 是轴对称图形：对称轴
叫做〃的立方根，用符号 诉 凜亲 正数有一个正的立方根
\垂直于弦的直径平分;住 丿弦并且
性 经 过圆心的每一条直线
平分这条弦所 i 用 "对的两条弧 :
/
对称图形， 对称中心 Fy
s 圆心角、弧、弦、弦心距之间
（虜。）有理数加法与减法、乘
* >. *
心
:的关系定理：在同圆或等
法与除法的相互转冬 :相等的圆心角所对的弧相等，
*丿給烹県聽所終驟馬
, 圆 、
有理 数运算法丿』
加法、减法、乘法、除法法心则角 、两条弧、两条弦或两条弦!
▲ > nu 4-n
••• • a=aH 的 .I-心距担笠
,J
一 —
个" 概
有理数的乘方
实 念
-------------------------
运算顺序
（如果有括号，先算括号里的丄同级运算从左向右依次进行）
和
数
运算律
（ab）c=a（bc）; a
性
及
利用运算律可以改变运算顺序）
质
其
用科学记数法表示数
运
概念
单项式单项式和多项式的统称
算
先化简，再合并同类项 整式的加减
整数幕的 运算鑒
圆
整 式 的 —一 整我正
乘除 整式 禾
） x+ 沥 多项式 x 多项 式 ? 、
（疽干油+扩）=。'土b；
直
整式的除法
零禾负整数指数
线
1性2这直..锐两条角斜角个半三边三锐径角上角角的形的形互直中线线是等圆于的斜切边线 相离 切d相>R 史勾股 定理：直角三角形两条直角边的平方禾等于斜边
质 余一半 的平方 姦枣角三角形 中， ? 0 。的盔角所对的直角边等 切线长定理： 于斜边的一半从 里圆二外 两一角点和引为圆 的 90 两 。条的切三线角，形它必为们直的角切三 线
角形 长相等，圆心禾这一点的连线平分 两条切
二 如果三角形线的的三夹边角长 M.c 满足尸+屏=决，
则此三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
在:平同行一公平理面：内经不忐相直交线的外两一条点直，线有 I
. 两 直线平行，同位角相等 二 2
且只有一条直性线与已，
：
两知 直直线线 平平后行， 内质错角相等 二豆商直
线平行，同旁内角互补 上 旦位角 相
等，两直线平行 角相等，两直线平
__定___判____________________________________
行 g 同旁内角互补，两直线平行
线平行，那么这两条直线也
!推论：如果两条直线都和第三条直| ——一，一
I
互相平行
距离
点到点的距离； 点到直线的距离；平行线间的距离：
!它们所对应的其余各组量分别相等;
L推皇J .线论与：直线的平行、相交、异面的关系 直!线
|以长方体的棱、对 i
周角定理：
i
，空角间线直和各线面、之平间的!
1 .同圆或等圆中，同弧或等孤所对的圆周角相等；相等的 周角
与平面的平 M 垂直关系
丿一条弧所对的圆周角等于
所对的弧也相等；2.半圆（或直径）所对的圆周角
平面面的与平位面置的关平行系、垂直关系
它所对的圆心角的一半
是直角；90。的圆周角所对的弦是直径；3.如果三角形一 边上
的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 ^ACB=或 COB _
真命题与假命题 京
命 三角形 题 c
至换一个命题的题设和结论，所得到的命题与原命题是互逆命题 原命题是
命题、 逆定理』
内接四边形：
U
定 理
真命题，它的逆命题不一定也是真命题 9 如果原命题经过 皿明是真命题，
圆内接四边1形对角互 补
逆证命题明也是真命题，那么它们组成一对互逆定理 七根据 题意，画岀图形 并且任何一个外
证 明 几 何 E 角都等于它的内对角
根据题设 " 结论，冨合图形，写出己知、求证
命题的 一般
■^二 Z 富经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程
步骤
长度
周长
的计算
柱、圆锥的侧面展开图;
=/mR.l 扇形—
IR,，（分别是矩形与扇形） 面积 S= R2
1.两个底角相等，两腰相等； N
360 ~2
面积
底商 不 边角 等 和平 边 腰分 三 线 角 是 形 底边上的高,也是底边上 面积& = 士
扇亠"等腰三角形 相交
d--心 .要、等规内质-c角c-乙积 . 0 对三三边等/-角 角 义+面-- . 用 因 心性己 性-)形c. 三 ・-中-4应角角平于 .线角三作切线 形 及 -基 式 距. 知质积-角质・.的—的 ） 边形形行一两—斜 P-互 的 . 线'本有A-条r . A段关角"图形・三C . 相 且边条c=步相 中 条边条公角 . 作、件 斜oP理 . +角 三等 相与 其 直. B骤平 位 系形s 济图 .C 边直平 ，式.函直内高增化, 等这 A分 线 . 作 对、 . A数角 分角. 性边P 平 线:n. 三应直O .：禾 图 上 . = 行 线 2 角、 . 角角A 5.等的B 于 . 形 = 、1相边 . P余中于.9 高( 第 . 解 等定 0 )切. 象 1的位 . 三 °. 法 理 - 8:.Z 积 ■ 0C . 线 ./ 。O f. L . 二 - . tAJB= 二 C^ 边 y ，并且等于 基 第 角 三 型 边的 角 一 三 半; 角 边边关系 两边 相 之 相比例似 常 示 用 比1把例.依圆内的次分基含连成本外(结/性?各离（质分〃 a点 :Ab所 3=得停 c的份:d多 边形是这个圆的内接正〃边形 文减 Ja-J(F2=)J边aF!长«，: «= n 2 b = / ? J s c i2n — — a2
a（>0〃 T , ' 为 h T f 定 5 于 （ 2 定 1 9 > b r 正 ~ 两 角 r . 0 =+ n O b 任 义 对 O H ）整 p a d 组 Q T 兀 . p E 正 2 L 1 何 角 r ^ 数 + 外 对 有 （ 角 = R ）* 乘 弦 二 ・ 一 相 ） 边 b 一 硏 R + 三 除 ： 边 边 切 ・ 个 角 和 条 “ 和 角 貳 a 的 - 运 分 个 尸 r r 角 s ・ 〃 c 禾 边 』 关 i 边 别 角 和 n 邻 算 形 2 二 + 它 和 系 锐 刀 ） 平 ( 〃是 锐 角 中 6 下 不 a质 二 ) 行 直 互 位 面 外 斜 相 号 的 角 补 线 积 角 c 邻 t a b Z a 四 = 的 = = 定 等 n 3 正 S J 的 c c j = 边 a 平 〃 - c 理 = 于切2 内9 s o 边 （ - j 形 行 ： 0 i s : , \ 禾: 可為 n A ° 角- A t c 四 - ab 它 求Z S S An边,2 边 / 〃 A 可 不 A f Z 定 / = 形 ） = 求 C 相 月 *理 = ： 乙 邻余 9 （ 0 的 4弦 角 ° S 两A: 角 S个 边 ） 内 定 ；角 理 角的 和 （ 边和 大 A 函 角 于 A 边 种 定 S 第 角 ） 理 三 角 ； 数 边 大 数 ，两边丄箋示字童三 似 宓 三线角段形 正 公 多 式 （ 誣 4 冬 形 ） 性 经 都 半 O } 质 过 有 O 径 2 < 各 一 底 O R ) } - 如 分 个 O & r 2 果 >点 外 2 R = ( 作 接 " 万 + d 圆 圆 + + r ・ 的 和 切 一 ・ 线 个 ・ ， 内 + 以 切 g 0 相 圆 ), 邻 ， 切 这 线 两 的 个 交 圆 点 是 为 同 顶点的多边形是
cosA
角 1
=
：
-4^
平
余
行
切
四
：
边
co
形
tJ
的
=
边
4
所边有边性定质理 （迪S四 SS） 边 形
叫做二次根式概念 =90° 一乙 4 定理正〃边形的半径禾边心距把正〃边形分成
关系 等边对等角，等 Z 角 g= 对 9 等 0。边一， 大M 角c=对-^大边 与
概念
心 0 个）角都是直畐 " 逅秦 对角线相尊
锐
—
性质
述徧定义判厂 福三个角是直角的
sin/
投
b^acotA
四边形
影
!U
直
三
形
77
相 似 B虬 （2U平U..定U 预 判 ! 3 I 有判1 上 直如 其上 一土 1 1 判性面性性51靄 对对 根 ... 定或义 定 平定 般多备 角果 、 同 定.质 讳 积质质两对根 I 角角 据 他 根 两 定 行 梯边定 三一 下 一 一 组角据 线线 定 据 边 理 四 形形 性 理 角个 底 组 有 对有线定 底 互相 义 定 的边 含内： 形直 边3 邻 一 边互义一相等 判上 质义：延形 直角平 被角 ， 边 组 分相个平的 定的 三 长、 角和行 斜三 并 相 邻 别垂角 分平 寸 两 边 线 乏 矩 梯等于 边角 且 等 边 相直是的行边 对 个 ） 四 形 形于三 上形 ; 的 相 等平直四四平 应 ， 条 、 ）（ 角角 的的矩 等 等 的分角边边行 成 所 边 菱 〃形 高斜 相 形 的 四的，形形且 比 得 都 形 一一 分边平 边平 等 并 相 例 对的 边 2成 禾行 形行 且等 ） ， 应所 的 的四一 四 有的 ・ 两 线有 直 边条 边一 四 两三 段性 1 .线 形 形 直 . 8 边 个角 成质定 . 0和 角. 形 。直形 比 .其边.（ 相 例 . 与.其他 似 .另.中两. .〃边一. . >（个. 2 . ,或 直 . 〃. .为 ..整..数..）..，. . 外..角..和..等.于. . . 3 . 6 . 0 . 。.. ... 仁 @ ・ 3 面 . 周 积2 长 的 . 的 对比1 . 比 应等对 等 边于应判性 于 成相角 相 比定似质相 似 例比等 比 的 平平方行线直分角线三段角成比形例相定似理：的三判条定平行 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 !!
! 正义于 两方组底邻形和边的相一等半的!平行四边形 得对应线段成比例 行 两 二角 角兰形乏 三 年三边 有 角 行角的一 形 线形延44个. 与 等的长_两角 原 分斜线组是 三 线边）对直 角 段禾相角角 形 定一交分的 相 理条所别菱 似 及直构相形推角成等 论边 的的 对 四三应 边 塑成 形形比 , 与例原，三那角么形，相这 多 边 乏两条对 1 角 . 平线寸 行相四等边形的所有性质 相等的四边形 Z3 . 对应对角线的比等于相似 二 比 柔 直线截三角形的两边（或两边的延长线 四 似 两如 个中 直心 角对 2 . 三称 四 角和 条 形中 边 相心 都 似对 相 称 等 图 开 判 浦 J ^ 定 质 定理 1 : 两角对应相等， 应比 例，那么这条直线平行于三鬲铜第三边
形 的
B ------------C 牛 5.对应三角形相似，它们的相似比等于相似多边形的相似比
边［三 角形面积公式及推论：等（血等（同）高的三角形等积 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的 d两 两三条角編形线相互似相 判垂定直定且理平分2： 每两组边对角对 应等成于比例且夹角相
性质 例
形两条对角线乘积的一半
等， 两三角形相似
C 寸应角相等
梯形
公及嵐边 成比例
厂对应高的比、对应中线的比和对
一应 角平分线的径新等于相似比
馥 长的比等于相似比 彈 积的比等于相似比的平方一圆
相
禾
） x+ 沥 多项式 x 多项 式 ? 、
交
（1疽.根干据油定+义扩（）证=。两'边土相b；等）
直
一个三角形中，等角对等边
推论 1:经过圆心且垂直于切线
线
零禾负整数指性数质定理：
1. 的 等直腰线三必角经形过的切所点有性质
线第第第第一一三二节节打节三多特第平角殊边特四行形形的殊节四及的平三边全概行角二形等念四形次三及边与函角性形勾数形质股定理
实数及其运算 22. 第六章 四边形第四节梯形 圆
整式 23. 第七章 第 一 节
分式
24. 第七章 第二节 第三节
二次根式
25. 第七章 相似与投影 相
第 一 节 方程的基础知识 26. 第八章 似与投影 图形
第 二 节 一元一次方程 27. 第八章 与变换 图形与
第 三 节 二元一次方程与方程组 28. 第九章 变换 图形与变
第 四 节 一元二次方程及其解法 29. 第九章 换 锐角三角函
一元二次方程根的判别式及
第五节 30. 第九章 数 锐角三角函
31. 第十章 数
列方程解应用题 32. 第 六 节 第十章
与 章 第
33.
第 七 节 分式方程
概 统 十
34.
一元一次不等式和不等式组
第 八 节
率 计 一
平面坐标系与函数
第 一 节
一次函数第三节反比税 J
第二节
相
似
三
角
形
与 章 第
概 统 十
率
计 一
投
影
与
视
图
对
称
图
形
的
图
形
的
平
移
与
旋
转
变
换
与
坐
标
图
形
的
锐
角
三
角
函
数
角
三
角
形
解
直
统
计
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概
率方程的基础知识
一元一次方程
二元一次方程与方程组
一元二次方程及其解法
一元二次方程根的判别式及
列方程解应用题
第 六 节
第 七 节 分式方程
一元一次不等式和不等式组
第 八 节
平面坐标系与函数
第 一 节
一次函数第三节反比税 J
第二节
初中数学 第一章 数与式
第一节实数及其运算
.像5, 1.5等大于0的数叫做正数 数正
负正的子式或数个各中号符值对绝断判有没时值对绝简化①
， .
貝数 一
像-5, -1.5等在正数前面加上号的数叫做负数.
负数 与实际数比较接近的数，称为近似数.
金似藏
②实数的混合计算“两変”出现错误. — 规定了 原点、五方向 和里位 长度的 直线叫 做数业 数轴 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字，到 最末一位
有效数字
一只有符号理的两个数，叫做互为相反电 数字为止,都是这个近似数的有效数字.
相反数
③用科学记数法表示数时，容易把〃的值算错. 数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作|外 科学记数法 把一个数记作 ax 0 的形式（其中 i w|a|vio,n 为整电 如果/ =a
绝对值
无限不循环的小数叫做无理数. 平方根 （aN0）,那么x叫做a的平方根，记作x=±石； 正数a的正
①关于绝对值的化简与计算问题，关键是要先判断 绝对值符 无理疝
号中各个数或式子的正负.再根据绝对 一值的意义去掉绝对 的平方根叫做a的算术平方根，记作石.
值符号.
学习误区 '些根 ---------果P=a,那么x叫做a的立方根，记做据.
5
②实数的混合计算注意两变：一是把运算符号 变成"+"，减数
知能提升 实数中的概念
变成它的相反数；二是把运算 符号“ + ”变成“X”，
除数变为它的倒数，除 , 整数 i有限小数或无I
』不能为0. 一一
实数
有理数 7 分数 正分数一 匚-
|
-
限
--
循
--
环
--
小
--
数
--------
知识 按定义 .........,
③用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，等 号右边数的形式
的分类
为0X1 0\。是一个只有一位整数的数 〃比等号左边的整数位数 稀理 正无理数・.......................
无理数
小1 . 丿
负无理数・
数形结合，实数与数轴上的点一一对应，我们可以将 数与形结
学习方法 正有理 数— 世整数- 观理数
合起来解决问题，起到化难为易的效果.
正实数
按正负
在数轴上位于原点的两侧，且 与原
负整凱
点距离相等的两个点一 负有理数.
员实数
把握难点 Si 负无理数
a (a > 0) 实数的运算
| d 。（。=。） 去绝对 看符号 概念特征
| =v 同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相蚂
值，
—a 0 v 0）^^— 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减去较小数
无理数的
的绝对值. ____________
一
开方开不尽的数 常见类型
减去一个数等于加上这个数的相反 虹
TT
如須，混3等 化简后含兀的数 荒数 相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值 相乘―
|a|NO/NO, 乘法 非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，龈低1数有偶数
如0.010 010 00••-等无限不循环小戮 关于零 — - - - - - 个时，积为正；当负因薮有奇数个时，积为负 . 一
\/a = |a|
要牢记 个数相乘，有一个因数为0,积为0.
III
如 sin6（r,tan30°,cos45,等部分二角勢
■
实数大小 两数相除，同号得正,异号得负，并把它们的绝对值帽虹
零既不是正数，也不是负数. 利用数轴
的比较
Q 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.
零的相反数为零，绝对值也为零.
右边的点表示的数总比 左边 厶个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作a”（a尹0,"为正整数）.开方与乘方互为逆运算.
零没有倒数. 的点所表示的数大. 运算律7-----------------------------------------------------------
利用绝对值
(1) a+b=b+a', (2) a+(b+c)=(a+b)+c', (3) ab=ba]
(4) (ab)c=a(bc)\ (5) a(b+o)=ab+ac.
比大小，两个负数相比较，绝对值大的反而小
运算顺序
平方法 , b 一 >l = a>8 分级：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算. 三级运算的
彳乍间法州=1 = a =方a>0, b>C L 顺序是三、二、一.（如果有括号，先算括号内的；如 果没有括号，在同一级运
b
a . 算中，要从左至右进行运算，无论何种 运算，都要注意先定符号后运算.）
_ < ] = a < b初中数学 第一章 数与式 第二节整式
1、代数式的恒等变形不恒等. 代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方' 开方等)把数与字母连接而成的式子..
2、因式分解不彻底.
3、运用幕的运算法则不注意同底数出错误.
同类项
，合并同类项时把系数和次数均相加导致错误.
整式的加减
am • an=am+n
am-^-an=am~n
(ab)n=abn
3、列代数式时，读题不能只看局部不看整体. 整式的乘法 m(a -\-b-\-c)=ma-\-mb-\-mc
(m + n)(a + 8) = g + 湖 + m + 泌
法方殊特种
. 5" "*
(1)忽略符号；(2)漏项；(3)结果不是最简形式. 数与字母的积所表示的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式.
在多项式中，建竺零叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常嶼一
:几个单项式的和叫做多项式-
4、列代数式时，对一些语句理解不透容易出错，如a>b 两数的平方
和与。、5两数和的平方混淆. 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.
项类同并合 系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 不变叫做合
6、去括号添括号时，特别是括号前是的情况，容 易把某一项或某 并同类项. 一一
学习误区
几项忘记变号而出错. 一 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法
是：+(a+B-c) =0+B-c;-(a+Z>-c) = F-^jM
1、对于幕的运算性质和乘法公式，不仅要掌握它们的结构 特征，而
且要理解每一公式中字母的内涵，进而灵活、 恰当地应用. 整式有关概念、
知能提升
知识 幕的运算法则 (w, 〃都为整数, 2、因式分解必须在指定的数的范围内进行，且必须分解到 每个多项 1 整式 0, 0 )
式都不能再分解为止.
的运算
牢记合并同类项的法则，字母与字母的指数不变来进行.
3
5、去括号的几
单项式除以单项式，分别把系数、同底数慕 相除，
(1)先整体合并，再去括号.在整式的加减运算中，如果有几部分 都含有多 整式 作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则
项式/I,那么把看成一个整体，使这几部分合并成 一项，再去掉刀的括
的除法 连同它的指数作为商的一个因 式.
号
(2)从外到里去括号，减少变号次数.只含有小括号和中括号, 那么把小 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除 以这个
括号内的各项视为一个整体，先去中括号，再去 小括号. 单项式，然后把所堡通相加.
零指数和负整数指数：仃=丄,/=1 (a尹0,泌整数).
(3)—次去掉多重括号，在含有多重括号的式子中，去括号时，括 号里的项 乘法公式 ap——
是否变号，只与该项以及该项所在各层括号前的 号相关.当某项受奇数个号影
响时该项变号；受偶数个 号影响时不变号. 算运式整
完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab + b2
义定
:巴一个多项式化为几个整式的积的恒等变一.
加减运算的核心是去括号与合并同类项，乘除运算的核 心是幕的
运算.在运算时要把握运算法则和运算顺序. 列代数式 提取公因式渚ma + mb + me=m(a + 3 + c)
(1)平方羞公式：』2_力2 = (q + 8)
1.认真读题，正确理解题中的数量关系，抓住题中 的和、差、
积、商、乘方、开方、大、小、多、 少、倍、分、倒数 方法 公式法 (。— b)
等关键词语，理解量与量之间 的关系，直接列代数式. 分组 (2)完全平方公式： "±2 沥 + 分 = ( 。 ± 5)2
去括号 解法秫口 + mb + m + 〃力=m(a + 8) + n(a+») = (□ + b)(m + 〃)
2.弄清运算顺序，正确使用括号.
I
多项式整式乘积 十字相乘法 x2 + (a + i)x+a/?=(x+a)(x+Z?)
3.在同一问题中不同的对象或不同的数量要用不同 的字母表 注意事项1……
示. 一 1.因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和差 积的
变形，多项式堕％几个整式的积.
4.在列代数式时，要注意代数式的格式和单位的书写.
十字相乘法
1.若多项式的各项有公因式，则先提取公因式; 2.因式分解与整式乘法是互逆的.
1.注意括号前是时，括号里各项要改变符号. 3.在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式,
x a 左竖乘x^x=x2 b 右竖乘: 2.若无公因式，可尝试用公式分解; 如 x + l = 1+-1这种变形就不是因式分解.
迎上述方法不能分解，可试用分组或十字相乘法; x|
2.括号前的系数要和括号里的每一项系数相 乘，防 axb=ab
止漏乘现象. 一—3” 4.反复尝试分解到不能再分解为止.
4,因式分解要分解到不能再分解为止.初中数学第一章数与式第三节分式
不能正确理解并掌握分式的基本性质
形如万的式子（工，8均为整式，3中含有字母，且8*0）.
约分时，分子与分母不是乘积形式也进行了约分，如兰2
最简分式 分子和分母没有公因式的分式
约分约去的不是分子、分母的公因式；通分时分子与分母同时乘的不是最小公倍数
不能区分分式何时有意义，何时无意义
文字表述 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不 等于零
学习误区 的整式，分式的值不变.
解分式方程时忘记验根，去分母时漏乘整式项.
分式的概念
分式的基本性质用式子表示是：§=答，£=導，式子 式子表述 A v XA A 』亠 KA
O
DXM D B 斗M
E'TE（A/#O, M为整式）
中A, B, M都是整式，特别要注意整式M的值不等于零. 知能提升 魅
基本性质
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何 两个，分式
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
的值不变.如再如丄=-7丄
分式有意义的条件是分母不为0;分式无意义的条件是 分母为0;分式
值为0的条件是分子等于0,但分母不等于0. 分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分 式，然后
参数法：当已经条件形如 是一 =-,所要求值的代数式 b c 相加减，即=竺■土竺=竺玉竺
a、b, c,而又不易化简的分式 就是我们所说的参数）， 然
个含x, z 时，通常设7 =
y,
后将其变形为x = ka.v = kb,z = kc,代入所求代数式,
1 分式乘分式，用分子的积作积的分子
分母的积作积的分母，即T 4 =
分式的乘除法
「分式 •
改变分子或分母的符号是指改变整个分子 或分母 常用技巧 8 的运算 分 倒 式 位 除 置 以 ， 分 与 式 被 ， 除 把 式 除 相 式 乘 的 ， 分 即 子 = 、分母 J J a c a a = ad 颠
的符号，而不是第一项或某一项的 符号，如-*=-?
符号
=：=%
分式的乘方
除法与乘法是同级运算，除法可以转化为乘法，它们 的混合运 1 分式的乘方 分式旳乘方是把分子、分母 :⑵=
算不满足结合律，要按从左到右的顺序进行 或先把除法转化为 分式的通 各自乘方， —（〃为整数）.
乘法后再结合，如a+R 这样算是错误的，应为a矣M == M
分和约分
分式的混合运算 先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化 简，最
后进行加减运算，遇有括号，先算括 号里面的.
- - - - - -
裂项是把一项化为两项，使计算得以顺利进行 用的裂
代换 解分式方程
项有:志 （2〃_1） 去分母化为整式方程；2解整式方程；③检验.
（2〃 + 1）
当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数 的最小公 当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幕与系数 的最大公约
整体代换,利用公式变形
倍数，相同字母的最高次冨的所有不同字母的积. 数的积. ,
已知 可变形为 2：如果各分母是多项式，应先把各个分母按某一字母降幕或升 幕排列，
再分解因式，找出最简公分母.. -
分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式
通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的初中数学 第一章 数与式 第四节二次根式
二次根式有意义的条件：不能只局限于二次根式有意义，还要同时 考虑其他有
形如 如aMO）的式子叫做二次根式
意义（如分母不能为0 ）,考查问题要全面.
不能正确理解厲■的非负性
原式=a+|l — a|=a+1 —a= 1 最简二次根 一~
------------------开方数中不含能开得尽方的因数或因式
在二次根式化简中，错用分配律
同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式.
忽视隐含条件,例，a+b=-8,ab=S,即：a<0,3<0,这个条件.化简 导致
化简出错. 学习误区 士石（G NO）叫做G的平方
根
在化简二次根式时，若被开方数是带 分数， 在二次根式化简时要运用 转 二次根式的概念 &（oN0）叫做a的算术平方根
化与化归的思想，可化 难为
首先要转化成假分数，再化简 知能提升
易，迅速得到答案. 知识 澀
何企0）是非负数
S
梳理
在分解因式时，由｛ja） =a （a&o）,得。=
（冋 可把一个非负数转化成一个数的平方形式 再 腎
分解. 一^ 根式&
（a；
3
化成壬，然后分母有理化 化简方法
化成
分母有理化的方法与技巧
(aNO,b>O)
二次根式的运算
a（aNO）,可知龙的有理化因式是±0
先将各二次根式化成最简二次根式 然后
分母有理化关键是 确 再合并同类二次根式.一
由平方差公式，可知&±0有理化因式是+
定有理化因式
\[a '\[b =^T(GNO,/)NO)
韻
形如E（aNO）的式子叫做二次根式，理解 定义的 二次根式的定义
0)
关键是“被开方的数a是非负数”.
混合运算
能判断二次根式是否是最简二次根式 与实数的运算顺序相同
二次根式的性质
有理化因子
会判断二个二次根式是否是同类根式
?>.a + by/c^a-
2.a + 4i 与 by/c
a、 +c 拆与 a&
它和整式的运算是相联的，特别是一些运算定律和乘法公式 （完全平方
(agsO) ,4a^—\a\ 二次根式的运算 公式，平方差公式）在二次根式的运算中都可以 运用，起到简化运算的
作用. 一一^
是不一样的，只有当a、。时 它们在二次根式
二次根式的混合运算顺序是：先乘方，再乘除，后加减 括号的先算
的化简和运算中起决定性的作用
括号内的（或先去掉括号）. 一一
掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，掌握分母有理化 按照运算顺
根式的化简 序进行化简与计算. _初中数学第二章方程与不等 二形—同—若 形 如 如 元 元 元两解 f一 二 一 式 as3个方x次 次 次 、+方基方 方 方b程方=程程 程 程本Q式程的组 基(性a解的 本#质形 相解性 如同形 爲 质，如 亀基则口2 T， 遥这本+两氣个+性0 =0概( 口念 I 可 形如性 +6=0 , 程
第一节方程的基础知识
#00) )
分方式程方叫程做同解方程即.分母含有未知数的方程.
1
质 即根号内含有未知数的方程，
题 质
概念理解错误导致出错.
用等号来表示相等关系的式子，叫做等式.
定义
学习误区
、性质运用错误导致出错.
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一 个整式，
所得结果仍是等式.
a=b a±c=b±c
性质
等式
知能提升
区别与联系
(2 )等式两边都乘(或除以)同一个不为 0 的数, 所得结
雑
果仍是等式. 知识
a=b.c 尹 0 <=> ac=bc a -r c=b c
y 梳理
含有未知数的等式叫做方程. 如,
x+3=5 x+y=\工+厶 3=0, • • •
・
J
定义
方程
使方程左右两边的值相等的未知数
的值叫做方程的解，只有一个未知
方程的解
数的方程的解，也叫做方程的根.
1、等式的概念
学法
指导
求方程的解的过程叫做解方程.
解方2、程方程的概念求方程的解的过程叫做解方程.
解方2、程方程的概念
初初中中数数学学 第第二二章章 方方程程与与不不等等式式第第三二节节二一元元一一次次方方程程与方程组
1、移项忘记变符号.
当直接的未知数不便求解时，转 2 而 、 设 违 间 反 接 去 未 括 知 号 数 法 求 则 解 . . 1、“直接”与“间接”转换 只含有一个未知数如果，一并个且方未程中知含数有的两最个未高知次数数，是并且1未,系知数数 的最高次
方瞿定 不等于0的整数是式1方的程整叫式方做程一叫元做一二元次一方次程方，程.它 —的般一形般式：形式
当设一个未知数有困难时3、，去可分以母考时虑，设漏多给个不未含知分数母求的解项.乘公分母.
3、“部分“
2
与
、
“
元
整
"与
体
"
“
多
转
元"
Q
转换
攵
也zx+8=0(a, abx为+b常y+数c=,O T(aO 0), .b 砖 0 ) . ______________
当整体设元有困难时，4就、考忽虑视设分其数部线分的.“括号"作用. 学习误区
当从一般情况入手5、困忽难视时“，0”就的着特眼性于：特任殊何情数况与.0相乘都得0.
4、“一般”与“特殊”转换' 列二元一次方程组 解
7、 用 有 这小 一 的 样数 元 题 既化 一 目 直为 次 ， 观整 2 3 方 1 用 ， 、 、 、 6 数 程 、文 又 忽 运 概 时 解 小字 易 视 用 念 ， 决 数语 理 移 代 理 同 实 化言 解 项 入 解 一 际 为表 题 变 法 不 分 问 整达 意 号 消 清 数 题 数不 . . 错 致 中 的 时准 未 错 的 基 ，确 知 . 分 本 把时 数 子 思 小， . ， 路 数就 分 以可 母 外用 扩 的表 大 数格 的 也或 倍 跟图 数 着形 不 扩分 同 大析 . .， _ 5 、 "文字 学 "与 习 " 误 图 知 表 区 能 "转 提 如 升 / ' 知能 1 应 提 用 升 题常用 知 梳 策 梳 定 知 略 识 理 义 理 识 解 二 次 方 元 方 一 程 2 3 、 、 声 5 解 移 括 项 号 一 数 /使去 的 两 由 一 小 隻 个 两 次 括 墮 方 个 方 号 二 把 方 程 二 程 ， 方 元 含 程 左 元 蛆 再 程 一 有 的 、 一 . 去 两 1 次 未 右 右 次 . 中 边 方 将 知 边 两 方 括 同 程 其 数 ， 边 程 号 时 组 中 的 移 都 组 ， 乘 的 一 项 项 相 成 最 各 解 个 移 要 等 的 后 分 . 方 到 变 的 一 去 母 程 方 号 两 组 大 的 变 程 ― 个 方 括 最 形 的 未 程 号 小 ， 左 知 叫 . 公 用 边 倍 做 含 ， 数 二 有 . 其 元 一 他 个 项 未 移 知 到 数
4、利用加减消元法时漏乘出错. 的代数式表示另一个未知数， 例如：改写为y
摧步骤 「4、合并同类项 化为= 最ax简+Z方＞程的ax形 =式 b.(a^)的形式.
5、解含字母系 的 数 取 的 值 方 范 程 围 时 . ，忽略 了字母 8 二元 方 一 程 次 的解5法、 代 系 入 数 消 化 元 为 法 1 / 关 2 于 . 将 X y 的 b ~ = 一 a a 元 x+ 一 b代 次 入 方 另 程 一 . 个方程消去y, Z 得到一个
1.二元一次方程组中各个方程的公共解. 3.解这个一元一次方程，求出x的值.
2.方程组的解同时使二元一次方程组中 每一个 4.把求得的x的值代入y = ax+b,求 一出y
若 都 有 乘方 分 公程 母 分的 先 母左 去 ，右 掉 分两 ， 子边 化 项的 为 多值 整 加相 式 括等 很 号. 重 . 要； 各项 去分母 1.弄 示 清 题 题 目 意 中 和 的 题 一 目 个 中 未 的的 知 值已 数 ，知从数而、得到未方知程数组，的解 用.字母表
3, 一般情况下，二元一次方程组只有唯一的一组解. (1)用适当的数乘方程的两边，使同一 个未知数
正括号来不变号，负括号来全变号； 各项 il 的系数互为相反数或相等.
代 求 入 关 消 系 都 未 右元 式 要 知 ，. . 乘 在 系 左 数 常 ， 数 系数分配 移 要 项 公 切 道 1记、 .― 要代变入号消.元法 去 移 括 项 号 二元一次 基本思 一 想 般 ： 解 的 方 法 程 消 组 元解方程 列 程 方 加减消 相 兀 等 2 法 . 关 找 出 能 够 表 ( 2示 ) 把应 两 未 用 个 知 题 方 数 中 程 ， 的全 得 两 到 部边 一 含分 个 义别 一 相的 元 加 一 一或 个 次 相 方一 减 程 ， . 消去一个
回代得同 慎 解类 ， .合并要谨 一边一项处理好. 项 合并同类 注意问题 3.根据相等关系，列出方 (3 程 )解 . 这个一元一次方程.
变 加 回 换 减 代 关 消 得 系 元 解 系 究 找 . . . 数 ， 出 化 已 一有 知 讲 与未知， 分 相 数 2 等 乘 、 倒 关 加 整 系 减 数 消 列 除 元 方 . 法 程. 一 系数化为 应 列 注 程 列 实 方 意 组 _ 际 程 问 次 解 问题 方 决 题 三元一次方程组4.解方程，求 ( 一 4 出 )将 个 未 求 方 知 出 程 的 ， 数 未 求 的 知 出 值 数 另 . 的 一 值 个 代 未 入 知 原 数 方 的 程 值 组 方 ， 程 中 从 组 的 而 的 任 得 解 意 到 .
1、弄清题意，设未知数. 定义 ― 由 數 几 的 个 方 一 程 次 组 方 ， 程 叫 组 做 成 三 并 元 含 一 有 次 三 方 个 程 未 组 知 .
2、找出解表出示负实数际要问斟题酌全，部未含知义范的围等莫量忽关略系..
三兀一次万程组 5.写出答案.
3、列出两个或两个以上的方程，组成方程组. 可化为双=方的形式 a 二次方程组的应用 列方程组解应用题
4、解和这差个倍方分程问组题，、求等出积未变知形数问的题值、.数字问题、行程 问题 (2)a=0,DW0,x 无解.
(相遇、追及、航行)、劳力调配问题、工 ■＞二元一次方程组 實消 元＞ 一元一次方程
5、检验结果的正确性及合理性，并写出答案. (口诀 已知未知要分离，方法就是两边移.
程问题、储蓄问题、商品利润问题…… —♦ (3)a=0,b=0,x为任意实数. 加减移项要变号，乘除移了要颠倒.初中数学第二章方程与不等式第四节一元二次方程及其解法
1.只有一个实数根 方程是一元一次方程.
2.有两个实数根 方程是一元二次方程. 方程根的个数对方程类型的暗示 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程
叫做一元二次方程.
3.有实数根 两种可能.
1 .化为一般形式. 运用公式法解方整注意 定义
2.前提条件,胪-4WN0 . 灵活选用解方程的方法 — 二 般 次 形 项 式 ， ： 。 a 是 x2 二 + 次 b 项 x+ 系 c= 数 O ； ( 版 a, 叫 b 一 , 次 c^ 项 .常 ， 数 /， ， 是 。 一 。 0 次 ) 农 项系 2叫 数；
首选直接平方法，其次考虑因式分解法， 再次对 知能提升 c叫常数项.
任何方程都能用公式法，有特殊要 求时用配方法.
IS 知 梳 识 理 一般形式
1、运用一元二次方程的定义解题时，应注意二次项系数不为0. 学习误区 将方程化成x2=a(a^Q)的形式，两边 同时开平
直接开平方法 方，得x = ±4a .
2、当题目未指明方程是何种类型时，应注意分类讨论. 配方法将履+8+。=。(0硕化为(T)'-已竺 如刀広 当b2_4ac>Q时，用直接开平
方法求解.
1、一般地，任何一个关于x的一元二次方程 经过整 解法
理，都可以化为a?+&c+c = O(awO) 的形式，其
一元二次方程
中a#0是定义的一部分，不 可漏掉. 概念问题 一元二次方程 ax ： +bx+ c = 0 (a*0),当 b2-4ac>0 厶式法 Q4.
时， —b ± ^Jb — 4ac
2、判断 ① 方 化 程 简 是 整 一 理 元 ； 二 ② 次 按 方 照 程 定 的 义 步 判 骤 断 : . it
因式分解法 将ax2 +bx+c = O(a^O)化为(x-m)(x-n) = O的形式,
3、若所研究的问题明确指出方程是一元二 次方程， 此时X, =m,x2=n是方程的解.
则它隐含了。尹0这个条件; 若没有特别说明，方程
不一定是一元二 次方程，还有可能是一元一次方程. 1.直接开平方法 ①形式：(ax+6)2 = c .②前提：cNO.
一元二次方程
一般形式问题 2.配方法 側-►②移—③配—►④解
一元二次方程 先化为一般形式,确定a,b,c .
1、系数和项都包含它前面的符号. 的解法问题
3.公式法
使用公式的前提条件是胪-4acN0 .
2、任何一个一元二次方程都可以整理为一般形式.
am+an = a(m + ri).
3、一次项系数或常数项为0时，方程仍然是一元二次方程. 矣衆韻翳的 a2-b2 =(a+b\a-b).
a2±2ab + b2=(a±bf .
4、如果一般形式中的二次项系数为负数，最好将方程两边 都乘以-1,使
二次项系数变为正数. x2+(a+/>)x+aZ> = (x+a)(x+6).初中数学第二章方程与不等式第五节一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
a尹0,且△ >0. 1.若有两个实数根 △=0=方程有两个不相等的实数根.
根的判别式
△ =0o方程有两个相等的实数根.
ax2 +bx+c = 0 根的讨论 A=b2-4ac
a尹0,且厶N0. —元二次方程
2.若有实数根, 则分 4 ＜ 。 = 方程无实数根 . 一
两种情况：
知能 1.如果一元二次方程x2+px+q = Q的两根
提升
是xf ,则
知识
1、运用根的判别式时，注意二次项系数不为0, 并且 学习误区 梳理
各项系数必须是实数.
2.如果关于X的一元二次方"程ax2 +bx + c = 0(a^0)
2、运用根与系数的关系求方程中字母系数的 取值时 的两根是Xf ,那么
忽视用A=b2-4ac来检验结果的 正确性. 一
1、已知方程的一根，求另一根或方程中的未知系数.
根
土
的
元
•犁
爭
岡
实
!
方
.式
程
及
求
方
作
程 两根为Xi ,x2的一元一次方程为X2-(X1+X^X+X1 - %2=0 .
2、不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值.
3、不解方程，判断根的符号和性质. 已知｛::+空或'则两根为X”X2的一元二次方程是
8
4、已知两根(或两根的和与积)，求这个方程.
^+px+q=0.
5、已知两数的和与积，求这两个数.
S
6、求作方程，使它的两根与已知 方 根与系数的 关
系的应用
程的两根有某些特殊关系， 1、不解方程，判断一元二次方程根的情况.
7、解某些特殊的方程组. 判别式的应用
2 、 确定一元二次方程中字母系数的取值范围.
对+"=（xi +x2）2—2XIX2
Ixi fl =』（X[ f）2 = J（X1 +》2）2 —4中2
3、确定一元二次方程中字母系数的值.
fflx'+x2, X1 .
土 X2 表示下列式子 4、检验运算结果是否产生增根.
+土
1 , I （X]+X2）2—2XW2 讦 5、由判别式构造一元二次方程进行求值、证明.
+丑 （*2）2初中数学 第二章 方程与不等式 第六节列方程解应用题
便于由所设未知数列方程.
1、设未知数要恰当 和差倍分问题
使所列方程简单易解:
当直接设元较困难时，可间接设买a 体积变化问题
2、由等量关系列方程时
方程两边必须是同一类量. 行程问题
单位要统一 基本类型 劳动力调配问题
3'聽靄必鷲耘矗親问题婀' 学习误区 工程问题
利润问题
知识
仔 间 细 接 审 设 题 未 找 知 等 ， 量 根 ， 据 熟 题 记 意 各 列 种 方 关 程 系 ； 式 认 ； 真 直 解 接 答 知能提升 驛 梳理 数字问题
莫出错，隐含条件不放过; 作答之间要检验，
舍去不合题意量.
1.审审题，弄清题意与题目中的数量关系.
全路程=甲走的路程+乙走的路程 1.相遇问题
解应用 2.找找出能够表示应用题全部含义的相等关系.
相距路程=快者所走路程-慢者所走路程 2.追及问题
题步骤
行程问题 3.设设出未知数.
逆水（风）速度=静水（无风）速度-水速（风速） 3.水 航 （ 行 空 问 ） 题 i 的等量关系
顺水（风）速度=静水（无风）速度+水速（风速丄 4.列根据等量关系列方程（组）.
4.路程=速度x时间 5.解 解方程（组）求出未知数的值.
工程问题
1、工作量=效率X时间. 的等量关系 6.验检验所求结果是否符合题意.
2、甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作量. 7.答回答题目所求的问题.
1、溶质=溶液x浓度.
浓度问题
2、浓度=鲍兰^00%. 溶液质量 为等量关系 握手问题 握手次数=业刼（其中"为总人数）.
的等量关系
3、溶液质量=溶剂质量+溶质质量. 增长率问题 4 = a（l + x）”（i为増长后的量，a为増长前的量，，，为连续増
的等量关系 长的时间，x为连续増长率）.
数字问题
的等量关系
〃 % 位数:。1角…％ = % x 10n_1 +a2xlOn_2 + ••• + 利润问题 商 丽 品 蹄 利 =商 润 叫利润率
的等量关系初初中中数数学学 第第二二章章 方程与方不程等与式不第等七式节第分八式节方_元程_次不等式和不等式组
1、在方程或不等
M
式
(
两
»+
边
1
都
)
加
n "
上
+1
（或减去） 同一个数或1整、式漏，乘方常程数或项不.等式仍成立.
3、忽视检验，急于求成. 不等式 用不等号">”、"v"、■,:
2、 (2在” 一
一
方
个
1程)(
正
或2"
数
不+1
，
等 )
方
品式
程
两
或
边
不
都
等
乘
式
（
仍
或
成
和除
立
)以
.
） 同 2、
分
忽
式
视
拆
分
项
母
技
的
巧
性质符号. 解方程与解不等式 4
5
、
、
违
实
背
际
等
问
式
题
性
中
质
忽
.
略单位的统一与验证 .
分 如 母2=中0含 0有 中 未 含 知 未 数 知 的 数 方 “ ） 程 乏 . 叫 "表 分 示
不
式 不
等
等 方
号
关 程
两
系 ,
边
的
都
A 式
是
子
整
.
式.
在方程两边都乘（或除以）同一个 负 概定念义 一元一次不等式 只含有一个未知数.
1、数增， 使 根方 分 是程 式 分仍 方 式成 程 方立 的 程. 某 去 个 分 分 母 母 后 为 整 0 式 ,故 方 一 称 程 为 的 原 某 方 个 程 根 的 ， 增 但 根 它 . 知能 学 习 学习误区 未知数的最高次数是1次.
在不等式两边都乘（或除以）同一个 负 提升 误区
数，不等号要改变方向. 一元一次1、不去等分式母组：把方程两几边个都一元乘一最次简不公等式分所母组，成把的不分等 式式组方.程
知知识识 化为整式方程.
2 所 、 同 大 乘 产 大 大 的 生 取 小 最 原 大 小 简 因 ， 无 公 ： 同 解 分 是 小 答 母 程 解 取 . 的 同 分 小值 解 式 ，不 ； 方 大为 否 程 小0 则 第 小时 为 一 大， 增 步 中 整 根 ' 间 ‘ 式 . 夹 去 方， 分 程 母 与 ” 原 分 造 式 成 “方 的. 公 解 共 不 部 等 分 式 ” 组 求 口诀 知能提升 聽 梳梳理理 性 解 质 法 若 a>b , 贝 0 a±c>Z > 士 c
不等式的性质 >,c>0,则ac>bc,— >—.
分式方程 2、解整式方程. -------- C C
辨别不等式. 与整式方
根据分题式意方，程列是出分不母等中式含.有未知数的方程. 不等式的概念程的区别 >,c<0,则ac > 6 X> ③移项,
注意检验. 解字母系数的 题的步骤 a a ④合并同类项，
4 5 6 . . . 列 解 验 ( ( 都 ( 何 * 2 3 > ) ) 可 实 检 0根 解 化 数 , 验 x据> 分 为 . £ 所 等 o 式 . r 求 > 量 方 Z 结 > 关 程 ( 果 或 系 （ 的 是 a a 列 组= 形 < 否 0 0 分 , 式 ） , b 符 x > . 式 求 < 0 合 | , 方 . 出 x 题 无 程 未 意 解 （ 知； . 组 数b< ） 的O>x . 值为.任 一元一次不等式 2 1 . .审 找 审 找 题 出 ， 能 弄 够 清 表 题 示 意 应 与 用 题 题 目 全 中 部 x x a x x a > < < < 的 含 数 义 量 的 x b b x a 关 相 < < < 系 等 . 关 I 系 !. . — 2.实际 等 问 — 式 题 元 组 / 一 工 的 程 次 解 问 不 四 集 （ 总 2 ） 量 行 =工 程 2 作 、 问 1效 利 、 题 率 用 分 路 x 数 别 程 轴 工求 = 速 求 作出 度 出 时不 x 这 间等 时 些 ;式 间 不 组 ; 等 中 式 各 ⑤ 的 个 未 解 不 知 集 等 数 的 式 系 公 的 数 共 解 化 部 集 为 分 . 1 . .
x>
7.答回答题目所求的问题. 3.设设由未知数. x a > 无 解 ―1 b 1 n （3）浓度问题浓x100% 溶液质量
x<
b初中数学 第三章 函数及其图像第一节平面直角坐标系与函数
建 确 立 定 直 比 角 例 坐 尺 标 ， 系 标注长度单位 用坐标表示 地 平 坐 面 标 直 系 角 尸 , 有序实数的定义理解 - 不透，横、纵坐标位置易 二 颠倒 函 . 数 概 定义 在 x 则 的 某 称 每 变 X 个 化 是 值 过 自 ， 程 变 y 中 量 都 有 ， 有 两 、 唯 个 是 一 量 X 的 X 的 值 》 函 与 . 数 若 其 . 对 史 于 全
按题意确定各地位置 理位置 对点的坐标特点掌握不熟练，横、纵坐标符号易出错. ■取值范围
写出各地坐标 对一个图形上下平移和左右平移分不清导致错误. 函数有意义的自变量的取值集合.
函数取
仅用一个数不能确定点的位置，一对实数 确 学习误國 值范围 自变量在某一范围取值，函数值的全体 .
定一个点的位置，这对实数是有序的. 知能 只考虑部分而忽视了整体. 知识梳理
函数表示 解析是用数学式子表示两个变量的函数关系.
提升 自变量的
确保实际问题有意义. （只考虑整体而忽视了部分.
取值范围 列表法通过列表格表示函数与自变量的对应数值.
确保几何图形有意义. ［忽视问题的实际意义.
图像法 自变量与函数的每对对应值分别作为点 的横
确保函数式自身有意义. 总结升华 X忽视隐含条件. 坐标与纵坐标，在坐标平面内描出 恩应的点
用这些对应点连成的图形.
坐标系
将点（x,y）向左或右平移a个单位长度，得 / 概念 定义
到对应点的坐标为（x-a,y）或（x+a,y） ; / \在平面内,两条互 I相
向上或下平移a个单位长度，得到点的坐 / 垂直且有公共原 t点的
标为 3*-。）或 G，*+a）. _ _ .丿 数轴组成.
1坐标平面上两点与＞-;
确保实际问题有意义. 与实际 组 问 合 题 型 有关 : '范 自 围 变 是 量 个 的 难 取 点 值 : ， ； 特 7 殊 以 点坐 ） 标 在X轴上,*=0.
使整个关系有意义. 、 做题时一定要，
确保几何图形存在. 与几何图形相关、 '考虑全面 ； 三象限的角平分线上，a=b.
学法指导 四象限角平分线上，a=-b.
被开方数为非负数. 算术平方根型〃
分母不能为0. 分式型 自变量的 对称 0 点 b) 坐标的特征 关于x轴的对称点（a,-b）.
自变量取值为全体实数. 整式型 丿 挈值范围 关于*轴的对称点（5） .
已 的 知 位 点 置 的 ,再 坐 作 标 X 在 丿 坐 轴 标 的 系 垂 内 线 描 ， 点 交 ， 点 先 即 找 是 出 . 横纵坐标分别 在V,"轴上 平面内 关于原点的对称点（-a,-8）.
已知坐标平面内的点，求其坐标，向X丿轴作 垂线, 平面直 定义域使函数有意义的值的集合. 两点间距离
找到垂足坐标，按顺序写成（以）. 角坐标系」 函数的 x轴上两点A/|（»I,O）, M2（x：,o）的距离; y轴
点的坐标符合某些条件，确定位置：弄清各象限及特殊点，坐标唾 三要素 值域 自变量在某一范围取值，对应的函数值全体. 1\ 上两点M（0,乂 直 ） 角 ， 坐 M 标 （ 平 。 面 ， 内 方 ， ） 点 的 P 距 （ 离 x, | y 可 ） 叫=,-方|.
求某些点的对称点：弄清对称点的坐标特点 . II*轴的距离为|y|,到*轴的距离为|x|.
平面内的点P与有序实数对（x.y ） 一一对应. 点与点间
的距离 对应法则从自变量到函数的一个对应关系. 平面内两点P（X|少），。（》2，必）
的距离为冏=拓-与7+（凹-蜀-
将点的坐标代入公式即可求得.初初中中数数学学第 第三三章章函 数函及数其及图其像图像 第二节一次函第数四 第节三二节次 反函比数例函数
点(旧,*误0)认,(*为2正 Jo比)在例抛函物数线不y是 =一 a次x2函 +数bx.+c(.a^0)±, 则对称轴为直线尹-次函数］形如：戶々+3(。是常数 漏*掉尹 '0‘ ). 二次项系数不为 0 ”反 这比个关隐系含 的 条两件 个 .变量不一定是反比例函数. 定义 形如<
定
=
义
0?+成+。(
如
。
果
尹
V
0)的函数叫做
那
二
么
次 函
>，
数.
叫做X的反比例
点的坐标与线段的长 比例函数特别地，当3=0时 易 ， 将 戶 y E 娜 = a 0 ( ) x-h) + 《 中力 的符号弄错 . 函数
度关系不清致误. 对称轴 研究反比例函数的增减性不注意借助其图像.
图像
实 量 际 取 问 值 题 范 容 围 易 及 戶 出 忽 隐 0 与 ,略 含 求 *轴 自 条 出 的 变 件 与 交 . X 点 轴 ( 交 0,c 点 ).〃 X 用 ] 公 ,工 式学 2 求 习 . 得 x 误 = 顶 0 区 , 点 求 在 在 函数 一 过 a a > < 在 点 次0 0 对 ( 时 时 函 0» 称 ， ， 数 )和 轴 函 函 是 点 左 数 数 经 、 有 有 右 最 最 两 小 大 侧 值 值 的 . . 増减性相反 不 比. 注 例 意 函 反 数 比 之 例 间 函 的 数 对 与 比 正 . 开口方向 图像曲线 反 组 比 。 成 例 > 的 0 函 双 时 数 曲 ， 是 线 开 由 . 口向 两 上 条 ， 并且向上无限延伸 .
直 坐 线 标 抛 是 y 物 方 = 线 程 kx + k y b x ^ + = x b ^ a i = x 交 2 O + 点 的 bx 的 解 +c 横 . ( [ a W ^ 知 0 4 ) 能 a 与 c 提 - x I升 2 轴 a 的 ^a 两交点到原点的 交点 当 J 且 fc 图 >0 像 , 经 /»0 过 W 第 , 一 y护随 、 二 _x4的 、 ac増 三 顶大 象 点而 限 纵増 . 坐大标 | ，切忌 不 写 重 成 4 视 a ： 数 - 形 ~. 结合，使简单问题复杂化 . 、 质 孥 误 性习 区 芝0时，开口 双 但 向 曲 永 下 线 远 ， , 两 不对 并 分 会称 且 支 与轴 向 与 坐' 下 =标 X * 无 . " 轴 轴 限 相 无 延 交 限 伸 . 接 . 近，
解不等 距式离 分kx别+b为< 0 |x j,，kxW+b>0 当*>0, b<0时，yBlx的增大而增大， 性质
x 西 可 轴 直 以 上 线 看 方 做 或 与 顶 y 下 * 点 轴 = 方 到 k 的 x 的 X + 交 b 取 轴 图 点 值 的 像 到 范 距 在 原 围 离 点 . 为 的距离为 4 |c a 4 b c a 2 总 - 结 知 升 识 华 • 梳理 :解决二次函数 | 当 I 且 且 的 * 图 V 图 总 问 0 像 像 , 经 3 经 结 > 过 0 过 第 时 升 第 一 ， 一 、 y 华 、 B 三 二 fc 、 、 的 四 四 増 象 象 大 限 限 而 . . 减小 I ， 知 从 点 得 反 引 矩 识 比 形 X" 例 面 梳 轴 函 积 的 数 为 理 垂 上 I 线 * 任 | 所 . 一 围 ■ 数 二 复 次 杂 函 .应 数 更 比 知 提 ' 一 能 方 : 次 加 I 了 1函 解 『 知 总 识 结 梳 升 理 华 / 当 一 大 y y 大 随 * 、 而 賑 > 而 三 减 的 X 0 减 时 象 小 增 的 小 ， 限 . 大 增 双 ， 曲 丿 ' > 随 随 线 随 而 位 X X x 増 于 的 的 的 大 增 増 増 大 大
交点坐顶标点是到方〉程轴组距离|步| 题时，最 好利当用*<数0, 6<0«, >峰的増大而减小，I以双曲线上任意一点到原点其 基、本且性， 1质，方便 而増大 而减小
与X轴的两交点间丿的距离为|x, -X2| = ^2~4 — :合的方法 图
3
形像
>
结
0
经
时
过
，
第
则
二
直
、
线
三
与
、
y
四
轴
象
交
限
于
.
正半轴
II 1
；
在 的
|
坐 距
面
标 离
积
轴 为
为
上 斜
!R
的 边
|.
直 ， 角 且 三 直 角 角 形 顶做 拜 点题； 当 于
的
二
増
k< 、
大
0
~
4四
而
时
4
a
a
c象
增
，
~
—限
大
双 ，
.
曲 y 线 随 位 x
时，则直线与y轴交于负半轴；］2'
时，则直线过原点.
描点法：通常取与抛物线的对称轴相对称的七个点(含顶点). 图像画法
△>0,与X轴有两个交点；△ <0,与X轴无交点;△=(),与X轴有一个交点•、 交点 c>0,与'轴 I理解图像性质时应特别注意 I 反比例函数的一般形式：
正半 设 轴 解 相 析 交 式 ； 为 c< 丁 0 ,与 = * 々 轴 + 负 /> 半 . 轴相交；c=0,与原点相交/ 图像是一条经过 (0 , <■),(-* 0 ) 点的直线 " .在每个象限内"不可丢掉. 表达式 般式 * =破2+笊+c（a。0）.
学法指导 学法指导, 学法指导 y=
由 丄 将 对 已 的 称 知 值 轴 条 带
a
X 件 入
>0
= 求 解
,
—
抛
出 析
物
, - " 未 式 b 同
线
知 y 号
开
系 = 在
口
数 k
向
y x 嵐 + 轴
上
b. 左
；
侧
a<
，
0,
他
抛
异
物
号
线
在
开 函 口
y
数
轴
析向 解
右
式下
侧
.
.
开口方向 函
对
数
称
图像
鐵 直
S
线
决
戶 1
定
是
直
fa 直 r
线
+ 线 b
的
与 的
上
I 位 y
升
轴 置 I
趋
交 由
势
点 好
和
的 财
下
纵 的
降
坐 符
趋
标 号
势
. 确
.
I 般
I
定形.I 反 式 比例函数的图 一 像 般 是 写 双曲 法 线. 函数性质
*
函
顶
交 X
,k 点
点 轴 数
) 式 是
式 交 概
抛
点
y
y 念
物
的
=
=
线
横
a
a
(
(
的
坐
x
x
-
-
顶
标
h
x
)
i
点
. )
+
(
. k
x
,
- x 2 )y
变
,= k
形
Xx \~
式
,' X(
：
2k ^ 是Q '抛 ) 物
一
线与
y — ax2 +bx + c 在函数值 y=O 时为一元二 函数与方程的关系 / 理解问题，确立 '1 1 与 *的 函 符 数 号 的 决 増 定 减 双 性 曲 . 线的意位事置项 形如y = ax2 +bx+c(a^Q)是最基本的形式. 常数奸0是反比例函数
次 的 令 (0 方 个0 x ) =程 数. 0 为 a可t? 函 得 + 数 b到x +直 y c 线 = = a yQ x .= 2 + 方& b x 程+ + c /a>x 的 与2+ 图 b，x 像 +轴c 与 交= x 点0 轴 为解 交 函 变 数 量 用交 与 函点 常 数 量 关 . 系式表示它们之间的关毅 k y t = = k k2 l , x + b b , „y = k 时 2x 两 +b 直 2^ 线 -fr. 壬0;8,c可以为0,也可以不为0.自变量的取值范 定 围 义 是 的 实 组 数 成 . 部分.
点的令 y个=数0可.得到直线y = 平移前后特征 确定表达式
求 k 与 两 x+ x 条 b△ 与轴 直 > x交 线 0 轴点 ,抛 y 相为 X 物 离 x ( 线 + 扌； W 与 ， f 厶 x x 0 + )= 轴 a ・0 , 相 的 抛 交 交 物 ； 点 线 与 A< x 0, 轴 抛 相 物 切 线 . 利用二 检 次 验 函 结 数. 果 函的 的 数性 合 性质 理 质进 性 行 . 求解. * 大 > . 0-y随x的 应 増 用 大 题 而増 」 图像 ' : I 一 : 平 知 般 移 道 方 x 法 与 为 y 待 的 定 一 系 对 数 对 法 应 X 值 ［ ，：卩 平 可 移 求 前 出 后 籍 的 丿 图像，其形状、大小相同，只是位置不 的 同 解 . 析 自 为 、 式 变 不 一 中 量 等 ， 和 于 a 函 0 的 平 的 数 值 移 一 的 不 前 切 取 变 后 实 值 . 数 范 . 围均
坐标可以联立两个式子解方 程组 待定系数法求解. 炊 I 賑求的増解大析而式減，小. 平移后段
得到. 灵活运用三种表达式：一般式，顶点式，交点式. 析式确定 平移后解析式的确定:左加右减自变量，上加下减常数项.初初中中数数学学第 四第章五图章形的三初角步形认第识一节三角形及全等三角形
平 行 线 一 中 构 为 线 造 平 直 在 三 。 可 行 线 判 角 角 以 证 是 线 、 断 形 平 运 明 “ 的 射 S 三 ； 分 用 中 其 " 线 的 线 还 巒 平 ， 他 、 夹 段 需 。 行 把 性 线 角 能 考 线 线 “ 质 段 S ， 否 虑 段 性 打 S 概 而 构 两 中 质 A 基 念 " 是 成 边 点 和 写 础 不 某 三 之 _ 判 成 . 添 _ 清 一 角 差 断 “ 加 - . S 边 形 小 平 会 的 A 辅的 时 于 行 画 条 S 助 ” 对 ， 第 线 件 ， 线 . 角 仅 三 . 一 ： 即 . 两 边 得 边 . 出 之 结 和 论 大 ， 于 这 第 三 里 边 “ A " 不 不 一定能构成 2 1 定 . . 三 全 方 角 等 法 形 三 的 判 角 误 断 形 区图 的 形 判 - 的 一 各 - 部 -- 分 - 不 --几 都 不 相 -何 在 在 连 -体 同 同 所 -简 一 - 一 组 顶 称- 平 直 成 点 为- 面 线 的 内 -体 内 上 图 - 角 . . 的 形 - . 边 玄 三 . 平 - 体 - 条面 - 图 线图 - 形 段形 - 首尾 三 顺 要 次几 素 何 点 图 、 形 线 缶 用 高 中 壬 十 线 线 公 ” 律 珍 点 表 和 示 同 直 直连 方 一 线 线结 法 一 的 顶 垂 平 间 的一 个 顶 点 足 面 的 位顶 角 点 向 之 内 关 置点 的 与 它 间 系 关和 平 交 的 的 — 系它 分 点 对 线 一 对 线 之 V 边 段 V 两 平 边 与 间 ( 叫 或 条 行 中 这 的 做 其 不 一 点 个 线 三 延 同 西 的 - 角 段 角 - 长 的 条 线 的 . 形 - 线 直 - 直 段 对 的 - ) 线 线 叫 边 引 高 ； 有 做 相 g 垂 . 一 三 交 线 个 角 ， ， 公 形 这 顶 共 的 个 点 点 中 角 与 . 线 I .
J一 …包围着体的是面，分为 面、体 一直线上一点和它一旁的部分
2
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釆用“截长补短”法.学习误区
知能提升 .学►
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相
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地
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方
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! 表
表
示
示
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方
方
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的
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中
形
位
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线
边
平
中
行
点
且
之
等
间
于
的
第
线
三
段
边
.
的一半 .
知能提升 基本概念 边边 西边之和A第三两边点，之R冋两线边段之最差短V.第三边:
如 形 3三 • .三角角形形、的四外边角形定、理 . 五 . 及边 . 推论，是“由角线”段转围换成的的有封效闭工图具形. 由曲线 总 升华 结 知 识知 识 多姿多 边角 大边 两 线对 点 段大 间 的角 的 中， 距 点等 离 -边对等亀.
计 注 1 ② 有 4 方 5 巧 直 系 点 准 算 . . 它 意 证 关 法 . 构 把线 . 和 确 方 系 是 ： 明 线 . 造 三、 线 数 法 的 一 有 段 三 角射 的 出 判 一 个 关 转 角 形线 位 图 断 个 不 线 化 形 的、 置 形 大 重 等 段 逢 ， 中线 关 中 小 要 关 的 回 利 线段 系 直 . Q 思 系 不 二 用 . 加 间 . 线 疊 想 . ， 等 企 三 倍的 、 合 方 是 关 三 角 延位 线 湼 法 证 系 角 形 长置 段 义 . 明 ， 形 全 ，关 、 度 线 首 内 等 是 射 量 段 先 . ， 解 线 相 法 不 要 是 决 的 互 一 证 等 涉 条 转 线把 明 关 及 範 化 段 线 " 比 二 中 段 较 概 线 相围 和 大 念 " 等成 曲 这 小 n 或的 何 线 个 角封 语 围 条 相闭 言 三 大 成 件 之 等图 与 的 角 于 的 的形 差 图 封 形 第 问 形 由 闭 小 “ 题 的 三 直 图 常 于 常 两 边 线 形 规 第 见 ” 边 ， 技 三 的 之 两 边 和 边 算 线 与 段 应 计 用三 常 面 角 见 图 形 的 形 的 平 三 梳理 梳理彩的 直 图 线 形 、射 r 线 角 按 遮 的 边 角 量 度 的 分单 量 比 位/ 1 较 . 2 角 内具 . . 度 一 外 的 角有 外 理 条 角 运 和公 角 方 比 射 定 算 定共 = 交法 等 与 较 线 理 冨 理顶 等 边 它 匡 绕 外 平 三点 腰 ： 线 不 叠 位 着 角 分 角的 ： 三 : 相 合 置 端 + 形两 三 边 邻 邻 比 所 点 表 内条 不 边 等 角 的 较 形 从 使 - 把 . 示 角射 相 不 度 角 = 两 法 成 起 用 一 1方 和线 邻 等 、 的 8 内 一 的 始 量 个 法 =组 的 0 分 和 角 . 1 图 ° 位 角 角 匕 成 内 , 贋 8 、 差 外 和 置 器 分 0的 角 至 O 秒 倍 ° 角 . = 旋 度 成 图 . ） £ . . 分 和 外 l . 转 量 两 形 . ' ' = 角 = . 到 角 个 . 3， . 〉 6 . 终 度 相 a0 . 任 = 止 。 、 等 £ 一 4. 的 O 和 B 角 它 的射线 .
角 - 离 - 的 - - - - 大 - - 1 2 ^ 1 2 3 - - 小 辱 义 已 . . . . . - - 直 结 已 等 等 - - 与 义 知 - - 角 合 知 边 腰边 - - 2 内 - - 左 定 两 △ △的 为 - - 角 - - ， 理 个 , ,长 动 正 - - 能 - 的 底 - - 两 - ， 内 - 頁 短 态 确 根 - - - 同 角 角 锐 - - - 确 角 条 无 定 运 据 Q - 角 分 相 Q角 - 定 ， 查 射 关 用 题 关 - 别 等 定互 - 内 求求 线 , 线 意 系 - 为 . 义 只 余 - 角 第 两 有 段 画 ， - 与 6 . 1 - 的 三点 公 等 岀 0 - 运 - 为 两 。 - - 范 个理 共 分 图 线 用 - 静 射 . 围 内 - 离 点 点 段 方 - 态 线 一. 角 - . . 的 公 程 - 定 张 . -性 较 理 的 - 义 开 -质 复 思 - _ 的 一 - _ 杂 想 - 幅 会 - 下 的 求 - 度 求 条 、 题 各 大 实 射 线 目 角 小 际 线 段 能 度 有 问 . 的 列 變 题 和 方 殊 f - " 中 丿 差 -程 \ _ - 的 倍 求 最 分 / 短 定 8 = 二 距 义 — 角 . 特 角 a 般 形 . 三 内 180 角 鬲 ° 形 和 应用 的 是 边 关系 角 系 的 应 关 用 学 指 法 导 8 1 全等 邻 区 - 补 顶 - 垂 - 鱼 电 线 一 匕 以 东 段 〜 聲 正 或 依 _ 性 北 向 据 按 ＞ 定 垂 、 西 质 “ 角 义 直 正 旋 上 徐 分南 转 北 角 为 的 、 和 基 角 下 补 准 度 一 虹枣 南 有 包 角 ， 表 个应 、 能一 用 示 直 锐 钝 角边 左 完条 方 角 角 角 的相 西 全公 向 V ： ： ： 两等 「 重共 性 一 三 一 边• 右 合边 质 个 锐 个 分 东 的， 直 角 钝 别 ” 两 并 角 角 是 建 个且 另 立 三另 W . ⑵ . 一 方 角一 . . . 个 向 对 形边 . . . . 角 坐 . 应 叫互 等. . .两 两 的 标 角 . . 做 . 为 角 . . 个 个 两 . 相 全 . 反 . 的 角 角 边等 等向 余 的 的 的 . 三延 （ 和 和 反 角长 或 为 为 向 形线 补 9 延 1 .的 ） 0 8 长 。 0 两 角 。 匕 相 _ 云 £ 等 〜 二 ： ~
芝M知求出△内角的关度.数，判断△形竺“ a.外角的 判 IF ③对应角平分线、 竺
角的2.大角1小的.角一一尺 的旦边规 顶确与作 点定△图 在，一： △就边作 的不重一 顶因合个 点图.角 上形
等
.的
于
位
已
置
知
、
角
放
.
大或缩小而改变..断标准
1.注意 (2)符号'官"的三含条义直：线
两
J所
条
"表截
直 线
示
被
形
第
状
、
相
点 到
判
直
定
线 的 距离 史线、高相等④周长、 垂 面 线 积 段 相 最 等 短 . 一 一 I y I
3. 3 角 . 2 1 △ . 的 1 . 证 ° 求 外 另 = 明 一 角 用 6 △ 角 一 0 角 用 . 三内 和' 边 ,1 的 量 角角 与' 是 = 相 角 板 6 的 内 △ 0 等 器 画度 角" 另 . 与 画 某数 和 一 不 小 些 度 . 相 边 等 于 特 与 结 的 绎 平 殊 度 合 延 角 度 、 ， 长 的 数 分 求 线 任 的 、 角 . 一 亀 秒 度 的 . 互化. 1.运三 c 算 .实 角 际 形 应 中 J 线、角 : 三 平 构 的 线 造 分识 △ 八 线别 外 角 都 角 在 ，验 三 证 角 ： 形 与 命 中 平 定高 题 线 理 分 线 * 线 角 、 将 那 判 判 命 么 断 断 题 … 命 所 ， 三 改 … 题 给 全 角 写 " 的 语 的 为 等 形 真 句 形 假 是 如 式 : 否 果 . 为 … 问命 2… . 题题 常见的全 - 同 (3 - ) ， 等 - 表 - " 示 字 图 =" 两 母 表 形 个 要 示 平 △ 写 大 移 全 在 小 '三等 对 型 相 线时 应 等 八， 的 . 角对 位 "应 置 顶 上 定点 . 旋 义的 转 在 平 型 同 行 . 一 同 公 平 位 理 面 角 翻 内 一 折 ， g 型 不 内 公 . 相 错 推 理 二 交 角 论 三。 的 . 直 角 两 同 角 形 条 旁 两 _ 三■ _ 直 内 条 _ S 角 _ 线 角 亟 直 _ 形 _ . 」 外 线 _ … 一 都 符 “ 点 与 号 同 * 有 第 " 〃 ~ 位 且 三 7 “ 角 ~ 只 条 ； 表 S 相 有 直 A 示 ' 等 一 线 S, I ， 条 平 A 寸 两 直 行 S ~ A 直 线 ， ~ , 线 ~ 与 则 A 2 平 A 己 这 I S 行 知 两 , . S 直 条 S 线 直 S 平 线 行 平 . 行 若 ..
求角的度数 _ 题 度 一 .. 、 实 . 分 际 、 应A 秒 用 直 锐 的 ： 角 角 四 钟 三 三 则 表 角 角 运 问 形 形 算 ： ： 平 . 三 ' 线 行 条 三 在 线 高 条 形 的 线 高 匝 画 交 法 内，相交于三角形 相 内 交 的 线 一点 对顶角、邻补角 挨念 : 质 的 的 辨 应 析 用 3 应 . 遵 证命 循 明题 的 △与 喚 全定等理 判断一种事情的 ( ( ( ( 1 2 4 语3 ) ) ) ) 指 按 写 证 句 明 边 出 明 在 角 结 过 哪 顺 论 程 性 两 序 , 要 质两 个 列 步 两△ △ ■ 出 步 直对 中 全 有 线 应 . - 等 依 — 平 - 顶 - 的 据 行 - 点 - 三 . 的 - 判 个 - 字 - 定 条 - 母 通 件 要 位 ( 写 R 角 t 劉 △ 相 业 两 等 位 个 内 . 置 V 条 错 上 芮 件 角 两 . 错 ) 相 ,直 角 并 等 建 于 相 用苹 同 等 大有 — ， 括. 条 两 号 直 直 括 线 线 起 的 平 来 两 同 行 . 一 条 旁 7 直 内 同 线 角 旁 亜 互 内 • 补 角 互补，
证 平 用 长 明 行 」 方 直 公 形 线 理 的 平 的 翻 行 应 折 . . 钝 两 点 角 条 在劉 三 在 形定 角 形 上与 形 外 (直性 ： . 角质 三 顶的 条 点综 高 )合. 线 应 有 摯 应 作 段 用 图 性 垂 过 质 直 直 在 的 线 实 定 上 际 义 （ 中 、 或 的 性 外 应 质 ） 用 求 一 . 角 点 度 ， : 作已知直线的壅线. 命题 丄 ( ( 1 3 ) 2 ) 有 有 ) 有 两 两 真 错 一 个 边命 误 边 角 对题 的 和 相 应： 命 一 等 相正 题 角 时 等确 定 对 ， 时的 理 应 找 ，命 相 一 找题 等 对 夹 、 时 对 角 ， 应 公或 找 边 理第 另 相 一 三 一 等 边命 边 . 相题 相 等： 等 . 或夹等 人 一角 们 的 长 通 另 期 过 一 实 证 边 践 明 相 总 的 等 结 真 . 出 命 来 题 的 . 真命题 .初中数学第五章三角形第二节特殊三角形与勾股定理
1 .混淆等腰三角形的性质和判定.
2.已知两边长，求直角三角形第三边长，容易漏掉 一种情况. 定义 有两边相等的三角吟
例，已知两边长是3和4,求直角三角形 第三边长，往往
只会得第三边长是5,而漏掉了V7 这个结果. 一般等腰三角畛 性质 (1)等边对等鱼〉
Y (2)底边=线合一.
謹!謔蠢報瘴谷遥有體骚鮮三
学习误区
芝定 B 一义法.
、 ^ 角 对等虬
等腰三角形的'‘三线合一”性质和它的对称 等腰三角形
性质结合起来理解. _________________ 知能提升
等边三角形 定义 三边相等的三角形.
知识
等边三角形的判定，“有一个60°角的等腰三角 形是
等边三角形”，这个60°的角可以是顶 梳理 性电 《J2)三 (1 角 )三 均 边 为 相 6 等 0° . .
角，也可以是底角. N ^合三匕
勾股定理应用非常广泛，把有关已知量和未知 量转化
在同一个直角三角形中，应用勾股定理 列方程，求出 史 / 定 C (2)一 (1 角 )三 为 角 6 相 0° 等 的 的 等 三 腰 角 三 形 角 .
未知量. 形.
有一个90°角的三角形.
I注意：学习和应用此定理，一定I 要 」 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
弄清“三线合一"的限; (1)两锐角互余.
” 喜鱼住'灵适座月_
等腰三角形顶角的平分线和底边上的中 线、高 直角 (2)斜边上的中线等于斜边的一半.
线重合，简称“三线合一” . Sts! 三角形 '性质上‘3)30負所对的直角边等于斜边的一半.
(4)勾股定理：两直角边a, 的平方和等于 斜边
c的平方，即 a2+Z>2=c2.
它们是互逆定理，记忆时，扣住“等角” 还是 等腰三角形
“等边".“等角对等边"是判定， 的性质与判定
“等边对等角”是性质. 实际应用 (1)定义法.
(1)运用直角三角形性质，应明确该三角形是 直角三角形，明 直角三角形 1.爬行最短距离问题A 判定 /^ J2) 两角互余的三角形 .
确斜边和直角边，灵活运 用直角三角形的性质，特别是勾股 —边上的中线等于这边一半的三角形.
一
(4)勾股定理逆定理：若】+/=『， 则
3.实际问题中的长度计算.
是直角三角形.
① 4为 或 斜 0C 边 = 上 3 的 "'' 高 =于 ， ' 如 如 图 其 所 中 示 。 . 、&为两角直边， J为斜边， (2 常 掌 )除 见 握 掌 性 下 握 质 面 直 外 公 角 ， 式 三 还 ： 角 需 y 形 勾股定理 2.直接 1 由 . 由 定 定 理 理 计 证 算 明 开 引 方 申 求 出 边 的 长 题 . 目 . (1 网股定理 : C ， =/+/>2
3.据定理列方程解题. 结论 (2)AD=BD=CD= -AB
4.构造
直角△,运用转化思想.初中数学第六章 四边形第一节多边形的概念及性质
通常会用外角和与内角和 的 多边形的外角和为360。 不是理變夔础上运用多边形的内角和公式. 定义 平 连 面 结 内 而 ， 形 由 成 不 的 在 封 一 闭 条 图 直 形 线 . 上的一些线段首尾顺 次
关系来求多边形的边数.
已知一个多边形的内角和与外角和的关系, 求边数
的问题. 学习误区 凸多边形
单个多边形的密铺问题. 多边形
却不知道多边形八 的 按凹凸分
多个正多边形的密铺问题. 多边形的密铺问题 外角和为多少?丿
从形成镶嵌的某个顶点出发分析. 凹多边形
它们的和为360。的倍数，即可镶嵌.
知能提升
总结升华 三边形 XX
知道度数可求边数. 多边形的内角和公式:
（"-2）x180° .
四边形 [ |
知道边数可求度数. 一
熟记”边形的对角线公式:用注. 知识 五边形O
梳理
正 边 方 形 形 等 、 都 矩 能 形 将 、 地 正 板 三 铺 角 满 形 . ， 正六 多边形的密铺问题 内角和 一类特殊多边形 正多边形 各边相等.
•7边形的内角和 等于 . 各角相等 .
连结对角线，将多边形分成若干个三角形. （〃一2） x180°
运用三角形性质转化多边形中的角. :角形的内角和等于180。.
补全图形转化为四边形的问题. 多边形问题转 化为 学法指导 四边形的内角 和
三角形或 四边形问 等于360。 任意一个四边形都可以通 、
过连结对角线分割成两个 \三角形.
从一个顶点出发，连对角线. 题
将四边形问题转化成三角形问题. 多边形的外角
毎…球内稣 s 話 4多边形的内角理 和等于360°.
四边形 〃边形的外角和等于360°.
的外角和 外角和
四边形的内角和等于360°.
四边形的外角和也等于360°.
多边形的内角和等于3-2） 推导 果籍聽彗葬一 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 完
全覆盖.
〃边形共有咚里条对角线. 〃边形的对角线 四个内角与相邻的四 个外
角组成四个平角.
，边形的一个顶点可引（”-3）条对角线. 外角和等于四个平角的和 减去 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360。.
内角和，等于360°.
这些对角线将多边形分成（"-2 ）个三角形. 相邻的多边形有公共点.初中数学 第六章 四边形 第二节平行四边形
要证平行四边形，两个条件才能行. 定义
一证对边（角）都相等，或证对边都平行. 口诀 两组对边分别平行的四边形
一组对边也可以，必须相等且平行.
表，］、方
对角线是个宝，互相平分"跑不了 去
DE为△■48C中位线，也为△SDC的中线.
三 一 角 倍 形 ， 如 则 C S8 中 EC 有 为 中 口 线 . 也，延长中线 翻 三 知 角形 能 中 提 线 升 常作的辅助线 F 作 ,使 CF D B E= 交 EF D . E延长线于飕延长 DE至 对角线 不相邻的两个顶点连成的线段SC, BD.
对角相等.
搞错或弄混平行四边形的性质和定义. △ADE#ACFE.
学习误区 目的 邻角互补.
总结 四边形ADCF为口. 对边平行且相等.
运用平移，旋转. 升华 两条对角线互相平分.
三角形全等. 证 相等 两 的 组 途 对 径 边分 别 知识 夹 的 在 平 两 行 条 线 平 段 行 相 线 等 之 . 间
线段和差. 梳理 !辅助 !是 线 常见的 是中心对称图形，对称中 心
是两条对角线的交点.
等腰三角形等角对等边,
方法，规律,
三角形的 定义 连结三角形两边中点的线段.
运用三角形全等. 证对角线 学法 中位等
线段等分. 互相平分 指导 定理 三 于 角 第 形 三 的 边 中 的 位 一 线 半 平 . 行于第三边，且 等
线段和差.
探索平行四边形成立的条件 面积 S=ab. 分别表示底和这一底上的高.
确定边的平行关系. 三角形的中位线定理 判定应用
两组对边分别平行.
确定边的倍分关系. •/..' 湧向皂墨
两组对边分别相等.
判定
证明 性质的应用 对角线互相平分.
联系全等三角形知识. 判定平行四边形
1 “两组对角分别相等（或边平行）
一组对边平行且相等.
求角和边的大小. 对角线互相平分”.
S=ab. 分别表示 底和 直接用于计算
这一底上的高. 公式法 面积算法 、对 角线范围的确定 .\ 世：考虑“两组对边分别平行"或“一组对边平行且相等”.
三角形中线：构造平行四边形. /£）为△A8C的中线，延长4D至E, 使
向三角形面积转化. 转化法 贝MBEC是平行四边形
:边关系解决初中数学 第六章 四边形第三节 特殊的平行四边
平移或旋转将分散的条件集中. 形
知识提升 定义有一个角为直角的平行四边形是矩形.
查啓图形中局部构造特殊的图形 . 混淆特殊四边形的性质及判定.
抓住题目的特点. 将特殊四边形的问题转化为三角形. 具有平行四边形的所有性质 .
探索新型四边形 学习误区 四个角是都是直角.
理解基本的定义.
直角三角形斜边中线 的性 对角线相等.
质是矩形的推论， 错用于
运用原有特殊四边形的性质. 一般的三角形. 既是中心对称图形， 又
是轴对称图形.
寻求折叠前后不变的量. 折叠问题
面积：S=ab a力分别表示长和宽.
转化思想，探求不规则图形面积. 特殊方法求面积 知识 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
设未知数，列方程求解. 总结升华 梳理 具有平行四边形的所有性质.
有一组邻边相等，有三个角是直角四边形. 性质 四边都相等.
J从四边形的角度 对角线互相垂直平 两条对角线互相垂直，并且 每条
分且相等的四婆 对角线平分一组对角.
有一组邻边相等的矩形. 以是中心对称图形，又是轴对称图形.
从矩形的角度 判定
对角线互相垂直的矩形. 画积 S= gag别表示两条对角线的长.
有一个角为直角的菱形. 从菱形角匿 正方形 菲广：任意对角线互相垂直的四边形.
对角线相等的菱形.
平行四边形
S= a:
学法
四条边都相等的四边形是菱形. 、指 1.四边相等,四个角是直角的四边形是正方形.
有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱戒、 判定 导 定义 2.有一组邻边相等且有一个角 是直角
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形. 的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3 .— 组邻边相等的矩形是正方形 .
4 . 有一个角为直角的菱形是正方形 .
已知两对角线可求面积及边长.
应用 :在解决特殊的四边形时，一定要仔细观察，: :然后选 5.对角线平分且相等，且交 角为
已知一边和一条对角线，可求另一条 对 角或、 已知一边和一特 直角的四边形是正方形.
择合适方法，做题时一定要仔细.;
殊的内角，可求对角线及面亟// 具有平行四边形，菱形，矩形的所有性质.
对角线相等的平行四边形. 判定 面积, 性质 对边平行，四边相等，邻边垂直，角 =90° .
有一个角是直角的平行四边形. 矩畛 a表示正方形的边长.一 对角线相等、互相垂直平分， 每条
运用勾股定理求边或对角线的长. 应用 对角线平分一组对角.
运用对角线相等证明四个小三角形的面积相等. 既是中心对称图形，又是轴对称图形 .初中数学 第六章 四边形第四节梯形
将梯形问题转化成三角形或平行四边形的问题时,辅助线添加错误. 定义 一组对边平行，另一组对边 不平
理解错误 行的四边形.
强调"同一底”. “等腰梯形同一底上的两个角相等”. 错误
说成：“等腰梯形两底上的角相等” 或等
梯形底有上底、下底之分. li 腰梯形底角相等. 梯形
平移梯形对角线，两底之和成一线； 平行 学习误区
移动一条腰，两腰同一 现；
延长两腰交一点，中有平行线； 作出梯形 一般梯形
两 线 高 ， 线 莫 ， 忘 矩 作 形 出 呈 "中 现 位 在 线 眼前； 已知腰上一中 图形重心 口诀 两腰相等的梯形.
知能提升 分类 两腰相等 .
梯形的镶嵌
总结 同一底上两角相等 .
折叠 实践探究 升华 等腰梯形 性质 对角线相等.
特殊梯形的形成. 操作 !轴对称图形，只有一条对称轴.
梯形裁剪拼出其他四边形. 知识 特 梯 殊 形 两腰相等的梯形 .
公式法. 面积计算 梳理 同一个底上两底角相等的梯形.
割补法，化为其他特殊图形求解. 对角线相等的梯形.
—般［可题 有一个角是直角的梯形.
利用定理，求中位线长.
中位线 同一腰上的两个角是直角.
直角梯形
学法
转化为三角形中位线求. 指导 连结上底一端和另一腰的中点 并 中位线 高=直角腰.
延长交下底的延长线于一点.
先判断是梯形. 确定角度及边长 等腰梯形性质 判定 定义 连结梯形两腰中点的连线.
的应用
辅助线作法 中位线
两腰相等. 判断梯形是 定理 梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半 .
对角线相等. 再判断等腰梯形 过一腰的中点作 另 面积 ^a+ b ） h （ a _ 上底， / ） —下底， h— 高 ） .
同一个底上 一腰的平行线. ，图形
两底角相等. 移对角线 '的重心 S=S（/为梯形中位线长，方为梯形高形
平移梯形一腰，将梯形分成三角形与平行四边形. 梯形问题转化 定义 当支撑或悬挂图形时，图形能在水平面处于平衡状态，把支 善点
或悬挂点叫重心（或平衡点）.
当梯形底角为特殊角时，常作高，将梯形 分 成三角形或四
为直角三角形与直角梯形. 构造具有公共角的两个三角形.
边形的问题 使两条对角线在 同 线段的重心是线段的中点.
当梯形对角线的夹角为特殊值时，常平 移对角 一个三角形中. '常见图 形
线将梯形分成三角形与平行四边形. 的重心 任意多边形的重心:只有一个，用悬挂法求.
三角形的重心是三边中线的交点.
当 矩 为 形 直 和 角 直 梯 角 形 三 时 角 ， 形 常 . 作高线，将梯形分 成 使两腰在两个直角三角形中. 平行四边形的重心是对角线的交点 .初中数学 第七章 圆 第一节 圖的概念与性质
在平面内，线段CM绕它固定的一个端点。旋转一周，另 一个端
定义1 点4所形成的图形，其中。叫圆心，CM叫半径.
到定点的距离等于定长的点的集合.定点叫圆心， 定长叫
半径. 一
_ 优瓠：大于半圆的瓠 . 如： 氽 连结圆上任意两点间的部分小于半
圆的证明不算难，常连半径直径看. 有弦可作弦 生一 圆的弧 . 如 会 云
心距，它必垂直平分弦. 直径是圆最大弦，常把 学习误区 靈 夷，厶电 圆心 圆 到 上 弦 两 的 点 距 之 高 间 . 的 嬖 线 _ 段. 等 、 弧 、 ： 全 同 at 圆 合 或 的 等 弧 圆中，能够完
90。圆周角添. 它若垂直平分弦，垂径、射影响
耳边. 还有与圆有关角，勿忘相互有关联. 圆周、 匿质运用口诀 知能提升 圆的 略 心的弦.
圆心、圆外角，细找弧弦把线连. 同弧圆周角相 概念
等，证题用它最多见. 暮 知识 圆心角 顶点在圆心上 的角 . 旦周粵顶点在圆周上,
梳理 两边与圆相交的角
确定圆 ］心相同，半径不同的圆.
的条件 过圆心的毎一条婁缕都是 对称虹 轴对称
平面内不在同一直线上的三点可以且只可以决定一个圆 对称性 图 V" 形 7777^2,圆心是对称中心.
, 对称图丞 /------------------
确定圆的两个条件 垂直于 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.
圆心决定圆的位置. 冥的直径定3 善径 CD 丄弦川 8= ＞ ⑴ CQ 平分 /IB ⑵ 紀 =& 6= 命
半径决定圆的大小. 正确区分弧、弦、 半 卷论 平分弦 ( 不是直径啲直径垂直于弦 , 且平分渤 ? 对的两条弧 '
径、直径等概念 圆心角、弦、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
圆环：是从一个大圆里面去掉一个小同心圆形成的图形. - 、 £瓜之间的关系 一定理 弦相等，弦所对的弦心距相等.
-：------------------------圆环有关的面积问函 一
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、
圆环的面积 = 大圆 面积一小圆面积. 对圆 两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，
的一条直线给出下列五个条件： (1 )直 已 推 知 出 任 其 意 余 两 三 条 条 可 则它们所对应的其余各组量也对应相箜一—
线垂直于弦； 1.理解 圆周角性质 定理 一条弧所对的圆周角等于
(3 )直线平分弦(不是直径)；I (5 )直线平(4)直线平分弦所对的优弧； 它所对圆心角的一半.
分弦所对的劣弧. 对称性，圆的 对
2 . 计算线段的长 度 称无处不在
构
Rt
造
A^
圆
£O
的
°
半
£R
径
tA
、
B
弦
£O
的
.
一
__
半
__
、
_
弦
__
心
__
距
__
组
_
成
一 -
的
— 3.逆向运用定理 昜骚 推论 = 半 圆 ( 2 直 . 在 径 同 ) 所 圆 对 或 的 等 圆 圆 周 中 角 ， 为 同 9 弧 0 ° 或 ; 等 9 0 弧 ° 的 所 圆 对 周 的 角 圆 所 周 对 角 的 相 弦 等 为 ； 直 径 .
确定圆心、半径与圆有关的角. 相等的圆周角所对的
( 1 )已知同弧或等弧,找所对的角•通常作圆的弦. 定义 顶点都在同一圆上的多边形.
1.圆心角与圆周角的关系
(2)正确利用倍半关系. 顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形， 圆
(3)弧所对的角有唯一性，弦所对的角需分类讨论. 圆内接三角形 定义一 心称三角形外心 .
2.直径所对圆周角的特征 惑三角形外接圆 性质外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点.
(1 )作辅助线，构造"直径所对的圆周角是直角".
(2)圆周角是直角，其所对的弦是直径. ........... 3 .. . .. 圆 .... 外 ... 角 .............. 圆内接四边形 定义 顶点都在同 一圆上的四 边形 :
定义：延长圆周角的一边与另一边的夹角 . 々利用弧的度数计算圆周角的產4 崟四边形外接圆 性质 圆内接四边形对角互补.
性质：如图ZS+匕C=180°, Z-CDE=Z.B. 圆内接四边形的外角等于内对角.初中数学第七章圆第二节与圆有关的位置关系
_1 、 与圆的位置关系可从形和数两方面 来卩断 ，思 维单一容易致误. 2、切线长定
理不能与三角函数结合致误.
3、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全. 点在圆上=d = r
—1 . 有切线，作过切点的 半径 .
_ 纟 . 有半径，过端点作圆的切线 . .
3 点 . 的 有 连 切 线 线 构 长 成 ， 的 作以 Rt 切 ^P 线 AO 、 或 过 R 切 tA 点 P 的 BO 半 . 径、圆心 与圆外的 学 误 习 区 点与圆 相离= d>ru>直线和圆无公共点
知能提升 直线
知识 与圆
4 = 7•。直线和圆只有一个公共点
梳理 O直线和圆有两个公共点 (?),
通过计算圆的半径r与点到圆心的距离d的数■关系直接判断.
圆与圆
通过计算圆的半径/•与直线到 圆心
的距离d的数量关系. (1 )判定方法 相交。火
毬义法:与圆只有一个交点的直线. (2 )相切判定 相切(唯一公共点) 外切 = d = R + 乙 内切 o
d = R r
笈数量法：与圆心的距离 d= ，•的直线 .f 寧判定 定理 .
有明确交点，连半径，证直线与半径垂直. (3) 离(无公共点) 夕卜离 = d > R + j 含
无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径.线与圆相切 =OWd外心到三个顶点的距离相等. (虫2 )')隹驾顧 外也 与三角形各边都相切的圆(又叫圆的外切三角形). 圆心叫
OA=OB=OC,且乙/ __________ 三角形的内心，是三角形任意两条角平分线的 交点，它到
三角形内切圆的圆心或三角形三条角平分线的交点. (1 )定义 三边的距离相等.
内心到三边的距离相等. (2 )性质'初中数学 第七章 圆 第三节与圆有关的计算第四节正多边形与圆
易记错孤长公式的为主 中心 . 正多边形的圆 ，丄
扇形面积公式易与弧长公式混淆. 正多边形的一边所对的圆心角.
圆锥的全面积易忽视底面积. 枣'距 圆心到各边的距离.
学习误区
正多边形的概念容易混淆，它要求所有边、角都相等. 圆内接正多边形 取圆上的各等分点，顺次连结各等分点，所 组
成的多边形叫圆内接多边形.
经 ” 过 个 〃 交 等 点 分 做 点 顶 作 点 切 ， 线 外 ， 切 切 正 线 "边 相 形 交 就 〃 呈 个 现 点 . ； 正多边形和圆 圆外切正多边形 分别过圆的各等分点作圆的切线，相邻两切 线
正"边形很美观，它有内切、外接圆； 两 圆与正多边形口诀知能提升 交点组成的正多边形叫圆外四箜维
圆都是同心圆，它的图形轴对称； ”条对
称 计 轴 算 过 ， 圆 边 心 心 ， 距 ” 、 偶 半 中 径 心 成 对 关 称 键 显 ； . 内 正 切 "边 、 形 外 做 接 知 梳 识 理 正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形.
圆半径，边心距原是（内） 半径变；分成
RtA2”个整，依此计算 更简便. AC2 +OC2 = A02.
oc=-中心角.
作辅助Rt△:边心距、半径、边长的一半. -----2 -
面积计算 与圆 有关 正"边形的半径和边心距，把它分成 了 2,
求三角形的面积. 中弟素話着 的计算 个 RtMOC.
面积=2”个RtA^OC®积,
角的计算 弧长
公式
Z=1nn8r0
结合图形找出弧所对座的半穿圆心角度数.
理灘运动路径（几条路径的和）. 弧长公式的应用 S r三个变量，已知其中两个就可求另一个.
扇弓
直接求面积. 扇形面积 形面积 36()
公式的应用 3
运用公式变形求其他量.
等积变换或割补法. 方法 含有扇形的组合 图形 圆锥的侧面
的面积计算
用上述方法，将图形化为规则图形利用公式求解. 思路 积和全面积
求侧面积和全面积. 应用面积公式计算 圆锥侧面积和全面积:
公式变形求圆锥有关的角和线段长. 圆锥的面积
] [ 乍侧面展开图 .
鑒臓呻E哩 gA近体上两点的网距离
圆锥展开图
卒制作实物的 用料 .
应用于实际生活
讨论设计方案的可行性.初中数学 第八章 相似与投影 第一节相似三角形
①相似三角形的对应边找错. 定义 对应边的比相等，对应角相等的两个图形.
②＜4似比对扩大与缩小的影响不明确. 学习误区 对应边、对应中线、对应角平分线、 对
相似形 应高线、对应周长的比等于相似比； 面
积之比等于相似比的平方.
3面积kt与坦似tt缨室不明确.
有关概念 相似比 相似多边形对应边的比.
1 、 切记相似三角形的边角对应 关系 .
2、在应用相似三角形时，要注意方法的选择L ①先是两角； * 7 亏 ,“" 5 呻讎
②已知两边成比例必须考虑另一边 成比例或夹角相等；③ △ACBs /\ADCs /\BDC
直 3 等 、 角 比 等 三 ， 积 角 平 式 形 行化 莫 改 或 的 线比 要 等 比 特 ，例 急 积 例 殊 ， , ， 方 式 法 基 横 线 射 . 本 找 等 影 解 竖 比 和 题 找 来 圆 定 代 幕 、 相 替 ； 似 ； 遇 两 ； 引 端 等 等 用 各 积， 不相似， 遇 知 提 能 升 AD- DB .. 升 A B 华 C C 2 2 面 = = 积 A B D D - 关 • A 系 B BA : 总 ab=c 结 h / 劄 CD 竖 1 = 相似 的 三 判 角 定 形 三 两 两 夹 边 角 边 角 対 对 对 相 应 应 应 等 成 相 成 的 比 等 比 两 例 的 例 三 的 两 ， 角 两 三 形 三 角 相 角 形 似 形 相 . 相 似 似 . .
转比例， 自找联系. :梳理］ 平行于三角形一边的直线和其他 两
边（或两边延长线）相交所构 成的
两条都成立， 则 1.判断对应边是否成比例. 三角形与原三角形相似.
相似， 百则不相 判断多边形 1. 斜边和一直
似. 2.判断对应角是否相等. 的相似 判定 角边对应成比例 的两直角三角
Rt△相似 形相似 .
1.若有平行线，直接得出三角形相似. 在几何图形中 找 2 角 .有 形 一 相 组 似 锐 . 角相等的两个 直角三
三角形相似
2.若无平行线，按判定方法逐个判断. X Rt△斜边上的高分成的两、 个Rt△
3 . 找题目隐含条也妙共角、对顶角等 . 与原Rt△相似
注意：三角形相似具有传递性. I
结合三角形的性质， 确 三角形相任 相似三角形 对应角相等，对应边成比例
定三角形各角度数. 在正方形的网络中 确 8 —的性质 对应高线、中线、角平分线 的
结 确 合 定 勾 三 股 角 定 形 理 各 ， 边长 _ _ _ _ _ _ _ _ —7 定三角形相似 比等 周 面 于 长 积 相 之 之 似 比 比 比 等 等 . 于 于 相 相 似 似 比 比 . 的平方.
运 逆 用 向 三 思 角 维 形 探 ， 相 索 依 似 得 据 的 出 仍 方 的 是 法 条 三 得 件 角 出 不 形 结 唯 判 ％ 一 定 / ， 条 件 但 . 已 探 条 知 索 件 三 使 角 结 形 论 相 成 似 立 ， 的 1 证等积式 证 角 三 有 形 点 公 相 定 共 似 型 边 ， 法 （ 公 确 或 共 定 等 边 相 边 （ 似 ） 或 三 的 等 角 两 边 形 个 ） . 三 分 ' 英 奁 似 不 是 史 ， 心 &就 …. 构成 足 位 的 似 条 图 件 形 满 1 2 .两 .每 个 对 图 对 形 应 是 点 相 所 似 在 形 的 . ,
只要相似的条件即可 证明等比式 别是其他两边的比例中项. 直线都经过同一点 .
利用比例尺，计算地图或 利用图形相似 或等积式 证比例中项 Rt △的射影定理. 两个位似图形一定相似
实际图形中的线段长或面积大小 . 进行计“ 若涉及的三条线段不在 两 位似图形上的任意一对对应点 到位似
根据相似比，确定相似形的周长 和面和 个三角形内，则可利 一用 中心的距离之比等于位似比.
通过相似列出比例式， 相等线段进行转换 . 位
常作 运 通 辅 用 过 助 方 相 程 似 线 思 求 想 线 过 ， 段 三 确 间 角 定 的 形 边 比 长 值 一 . . 边 一 .一 ― （ ■ 或延长线）上的特 行 殊 线 点 . 作 是 另 平 一 彳 边 亍 的 线 平 一 利用相似形测 .证平方比 利用 a 相 c 似 于 a 三 相 2 c 角 似 2 形 比 的 的 面 平 积 方 比 证 明 等 . 似 图 形 立似 位 （ 图 似 或 形 图 延 的 形 长 对 对 线 应 应 ） 线 点 都 段 的 交 平 连 于 行 线 一 且 点 成 . 比例.
三角形的中线：过中点作边的平行线； 量物体的高 位似图形的对应角相等.
或延长中线一倍，构造平行四边形. （或宽） 利用位似可以将一个
三角形的角平分线：过交点作另一边的平行线 图形放大或缩小.初中数学 第八章 相似与投影 第二节投影与视图
区分两种光源，及平行投影和中心投影的区别.
学习误区
投影的计算与相似用同样的方法. 物体 点光源 中心投影
（立体图形）
影子在坡面与墙壁上时，一定要计算在地面上的实际影子. 平行光源 平行投影
画三视图口诀：主俯长对正， 俯左
宽平齐，主左高相等. 知能提升
知识
由三视图推出小正方体的个数，参照 主视图、 梳理
左视图，在俯视图上标数字.
从某一角度看一个物体，所看到的图像. 定义
主视图 从正面看.
俯视图——从上面看.
左视图-----从左面看. 三视图 主视图 由前向后看
看见的是实线. 三视图 俯视图 由上向下看
看不见的是虚线.
芝视图 由左向右看
由几何体判断其三视图.
由三视图确定原物体的构成. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子.
把三视图还原成立体图
使数量关系更直观. 根据三视图进行计亂
中心投影
同一时刻、同一地点各物体投影的方向相同.
判断平行投影
一般地，同一时刻，物体越高其影子越长.（影长与物高成正比）
平行投影
使两物体成影的光线的交点即是. 确定光源的位置
太阳光线当成平行光线.
作出物体在阳光下的影子
画光线时要过物体的顶端.
正投影
平行投影
结合相似三角形的性质求长度（高度）.初中数学第九章图形与变换第一节图形的对称
(1)误认为，中心对称图形都是轴对称图形， 如平行四边形是 定义 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合， 就说这两
个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.
中心对称图形，但不是轴对称图形.
学习误区 轴对称
轴对称图形定义 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分 能够
(2 )判断一个图案是否是轴对称或中心对称图形， 往往只注意
互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形， 这条直线
复合图案中较大的图案， 而忽视了这个图案中较小图案的对 叫做对称轴.
称性. 性质
总结升华知识梳理 如果两个图形关于某一条直线对称，那么对应线段相等， 对
(3 )不能正确运用图形的对称性，将有关的线段集中 (转换)在一 应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分.
个三角形中来运用勾股定理求解. 轴对称变换
在图形的全等变换下，线段、角大小不变.
(1)图形的对称变换是全等变换，要抓住“全等形” 得出有关的 把一个图形绕着某个点旋转180度后，如果它能够 和
线段相等，有关的角相等. 知能提升 中心对称 定义 另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称， 这个
点叫做对称中心.
(2)对于求两条线段和的最短距离的问题，一般方法是, 将其中一点/ 中心对称 图 某个图形绕着一个定点旋转180度后， 能
(线段端点)作某一直线的对称点4 ,例如, 如图所示，在直线/上求一点 形定义 与自身重合的图形叫做中心对称图形， 这个
点叫做对称中心.
P,使24+P8的距离最短，过 点4作直线/的对称点4 ,连曲，交直线于
P,则P为所求. 注意：在一般综合题中，如果有类似问题. 可采取上 (1)连结中心对称的两个图形的对称点，
述方法，再构造直角三角形， 用勾股定理解之. 学法指导 性质 弋、J2)中 所 心 连 对 线 称 段 的 经 两 过 个 对 图 称 形 中 全 心 等 ， . 而且被对称中心平分 .
平行四边形，矩形，菱形，正方形，圆，线段.
(1)正确理解轴对称和轴对称图形. 常见中心对称图形_正偶数多边形(如正方形，正六边形等).
正确理解有关的定义
常见轴对称图形及
(2)正确理解中心对称和中心对称饗 对称轴条数
关键是先确定对称轴，
作轴对称图形_ 一苗若佐守囹后能否找到它的对称轴.
理解全等变换 线段有一条对称轴；角有一条对称轴； 等腰 作对称图形
(非等边)三角形有一条对称轴； 等边三角形
有三条对称轴；
轴对称和中心对称都是全等变换, 正确应 作中心对称图形关键是先确定对祢中心,或者作完 、湖 后，能
等腰梯形有一条对称轴； 否找到它的对称中心 .
用全等变换的性质.
矩形有两条对称轴； 菱形有两条对称轴；
正方形有四条对称轴；圆有无数条对称轴；正"边形有”条对称轴.初中数学 第九章 图形与变换 第二节 图形的平移与旋
转
(1)不能正确认识旋转的现象，如把 某一基本的平面图形沿某个方向移动一定距离， 这种图
“行进中的自行车车轮的运动”误认为旋转. 形的平行移动叫做图形的平移.
学习误区
(2)不能正确认识旋转中的旋转角. 总结升华 图形的
平移 性质 经过平移，对应线段、对应角分别相等，所连 对应点线
段平行且相等，图形大小、形状不变.
(3)在解答有关平移、旋转问题时，不能充分 运用平移、
旋转是全等变换这个思想方法，没有 找出有关相等线段 知识梳理 平移变换 全等变换
或相等的角.
知能提升 把一个平面图形绕着平面内某一点。转动 一个角
度就叫做图形的旋转，点。叫做旋 转中心，转动
(1)运用平移、旋转的性质求线段和角时， 可转化 的角叫做旋转角.
为利用全等三角形的性质等进行证明.
(1)对应点到旋转中心的距离相等.
(2)根据解题需要，我们将某一图形(或图形的一部分) 绕某定点旋转一 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
个定角(60。或90。等)，使某些元素(线段或 相对集中(构造一个三角 图形的 (3)旋转前后的图形全等.
旋转
形)，以利于问题的解决，我们称 这种方法为“旋转变换”.
旋转的特例 中心对称 中心对称图形
学法指导
(3)运用''旋转变换'，.解决问题的基础条件是有—组对应边相等， 作旋转 旋转变换 全等变换
变换时，_定要指明旋转中心，被旋转的图形，旋转方向， 旋转的角度，旋
转到什么位置・
理解全等变换 探索基本图形之间的变换关系
进行图案设计，欣赏并体 验平移
平移变换、旋转变换都是全等变换， ,
其性质也可以根据全等的性质去归纳和理解记吃/ 旋转(或轴对称) 建變生活中的应
用.
先是找准平移前后图形中的对应点, 然后 先找出旋转角，即对应点， 然后
利用平移的性质来解决. 利用旋转的性质去解决.初中数学第九章图形与变换第三节图形的变换与坐标
(1)在解图形变换(平移、旋转、翻折)题时, 对全等变 对称点的(1) 点A(a, b )关于 x 轴的对称点4'为3, -力)• 坐标特征
换中相等量(相等线段、相等的角) 把握不准确，运用不 (2) 到位，没有起到“过渡” 或“转换”的作用. 点刀(a, b )关于*轴的对称点，'为(-a, 1 知识 罷 梳理 (3) 1 点』(a,a ,b)关于原点。的对称点■'为(
(2)图形在平移时，容易忽视对应点的连线平 图形 行且相等.
平移 平移变换
(3) 图形在旋转时，容易忽视对应线段夹角相等旋括 同形的变换
(4)图形在翻折前后，对应点的连线帷直平分线覺票 是对称轴，这
一点也很容易忽视.
(1)在图形的平移、旋转、轴对称的题目中 要重视
用运动的观点来分析图形，特别要重 视运动过程中，
点、线段、角变化规律(即 变中变)与点、线段、角
的不变量(即变中 不变).寻找变化规律时，将题目中
的条件 集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三 动度 角形、面积公式、等积变形，建立方程.
旋转变换 全等变暨丿
折叠变换
对称变换
知
能 要紧扣图形变换的特征，利用 全等
提 、学法指导 III® 变换的特征先求该点到两 坐标轴的
升
距离，然后根据坐标 系中象限点的 符号特点，求出 该点的坐标.
运 角 在坐标系中
回变换的图形 (2 )要善于寻找压轴题的“题眼”和“题根” 题眼 £须先确定对应点变换后的坐标，然后画出图形. 有时在某一个特殊图形中(如一对相似 三角形，其中 殊形 直角三角形、特殊角、特殊三 角形、特殊四边形等)，
“题根”有时在某 个思想方法中(如分类讨论问题中 等
初中数学 第十章锐角三角函数第一节锐角三角函数
弦的平方和为1 sin2 A + cos2 / = 1 三 与 角 边 函 的 数 对 的 应 定 关 义 系 中 . ，没有注意 边 定义 锐角 4 的正弦，余弦，正切，余切合称为的锐角三角函数 .
ZA的正弦
特殊角的值记错. ,£4的对边 弦的商为切 A —---------- 斜 -- 边 - 正 (没 弦 考 、 虑 余 到 弦 互 的 余 互 关 换 系 关 ) 系 . 记错 匕S的余弦 , 匕4的邻边 b cos A = 3 切 0 的 °, 积 45 为 °, 6 1 0° tan/・cot/ = l 公式记忆 学习误区 £4的正切 < ----------- 斜 -- 边 -- - c -------=—
正弦、余弦值的分母都是2; tan% = £的对边=g
邻边 j b 分子分别是：Ji,Ji,JJ；JJ, 72, 史 记 名方查 知能提升 匕』的余切
七的邻边 b
正切、余切值的分母都是3 总结升华 对边
分子分别是：西，面;>/27,y/9, . 知识梳理
00
sin A = cos(90°
cot4X)
学法指导 siM.taM都随NA的増大 而 特殊角的三角函数值 锐角三角函 増大，减小而减小.
数的增减性
应用：求15°、75° 三 (0° o 0
