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第 02 讲 平面向量的数量积及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量 （2，1）， （ ，3），则向量 在 方
向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边 的边长为2，平面内一点 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则
（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在 当中 ，且 ，已知 为 边的中点，
则 （ ）.
A．2 B． C． D．
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量 ，且满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A， ，O，其中
，设 ， ，直线l的一个方向向量的单位向量是 ，下列关于向量运算的方程甲：
，乙： ，其中是否可以作为A， 关于直线l对称的充要条件的方
程（组），下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量 ， ， 满足 ，
， ， .则向量 与 的夹角（ ）
A．45° B．60° C．135° D．150°
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在 中，点D，E满足 ， ，且
．若 ，则 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与非零向量 共线，则12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知 ，下
列结论正确的是（ ）
A．与向量 垂直且模长是2的向量是 和
B．与向量 反向共线的单位向量是
C．向量 在向量 上的投影向量是
D．向量 与向量 所成的角是锐角，则 的取值范围是
13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模） ABC是边长为2的等边三角形，已知向
量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（ △）
A． B． C． D．
14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在 中，已知 ， ， ，BC，AC边
上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的余弦值为 D．
15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 方向上的投影向量为
16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量 ， 不共线，且 ，则
________.17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量 ， ，若
，则向量 在 上的投影向量的模长为___________.
18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形 的边长为1， 为边 的中点， 为
正六边形的中心，则 ______．
19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量 ， ， ，满足 ，且 ，
，则 ＝______．
1．（2023•乙卷（文））正方形 的边长是2， 是 的中点，则
A． B．3 C． D．5
2．（2023•甲卷（文））已知向量 ， ，则 ，
A． B． C． D．
3．（2023•甲卷（理））向量 ， ，且 ，则 ，
A． B． C． D．
4．（2022•乙卷（文））已知向量 ， 满足 ， ， ，则
A． B． C．1 D．2
5．（2023•天津）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 ，
，则 可用 ， 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．
6．（2023•上海）已知向量 ， ，则 ．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
8．（2022•天津）在 中， ， ， 是 中点， ，试用 ， 表示 为
，若 ，则 的最大值为 ．
9．（2022•上海）若平面向量 ，且满足 ， ， ，则 ．
10．（2022•浙江）设点 在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取
值范围是 ．11．（2022•甲卷（文））已知向量 ， ．若 ，则 ．
12．（2022•甲卷（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 ．
