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专题 16.2 二次根式乘除和加减运算之十大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 二次根式的乘除运算】....................................................................................................................1
【考点二 最简二次根式的判断】....................................................................................................................3
【考点三 化简最简二次根式】........................................................................................................................4
【考点四 同类二次根式】................................................................................................................................6
【考点五 已知同类二次根式求参数】............................................................................................................7
【考点六 比较二次根式的大小】....................................................................................................................8
【考点七 二次根式混合运算】........................................................................................................................9
【考点八 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................11
【考点九 已知字母的值，化简求值】..........................................................................................................14
【考点十 已知条件式，化简求值】..............................................................................................................16
【过关检测】............................................................................................................................................................18
【典型例题】
【考点一 二次根式的乘除运算】
例题：（2023·全国·八年级专题练习）计算∶ ．
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级专题练习）计算： ．2．（2023下·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【考点二 最简二次根式的判断】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点三 化简最简二次根式】
例题：（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ） (4) （ ， ， ）．【变式训练】
1．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ， ， ）．
2．（2023·全国·九年级专题练习）把下列各式化成最简二次根式．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【考点四 同类二次根式】
例题：（2023上·海南·九年级期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）下列二次根式：① ，② ，③ ，④ ，其中与
是同类二次根式的是（ ）
A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④
2．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【考点五 已知同类二次根式求参数】例题：（2023下·重庆渝北·八年级重庆市暨华中学校校考期中）若最简二次根式 与 可以合并，
则 ．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 的值
是 ．
2．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）已知 为最简二次根式，且与 能够合并，
．
【考点六 比较二次根式的大小】
例题：（2023上·陕西渭南·八年级校联考阶段练习）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【变式训练】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）比较大小 （填>，<或=）．
2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）比较大小： ．（填“
”、“ ”或“ ”）
【考点七 二次根式混合运算】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）化简
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）计算
(1) (2)2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【考点八 二次根式的分母有理化】
例题：（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： ，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个
的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ，
．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1) 的有理化因式是_______，将 分母有理化得________；
(2)已知 ， ，则 ________；(3)利用上面所提供的解法．请化简 ；
【变式训练】
1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我
们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简 ．
(1)参照（二）式得 ______；
(2)参照（三）式得 ______．
(3)化简： ．
【考点九 已知字母的值，化简求值】例题：（2023上·湖北武汉·八年级期末）设 ， ，求 值.
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值.
(1) ；
(2) .
2．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）已知： ， ，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【考点十 已知条件式，化简求值】
例题：（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
【变式训练】
1．（2023下·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）已知 ，求 的值．
2．（2023上·山西运城·八年级统考期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）下列各式① ，② ，③ ，④ ，
⑤ （ ＞0）中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则
（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
3．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）二次根式① ；② ；③ ；④ 中，能与 合
并的是 （ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④5．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·天津津南·八年级校考阶段练习）计算： ； ．
7．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
8．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 .
9．（2023下·吉林长春·九年级统考开学考试）如果二次根式 ，那么 可以用含a和b的代
数式表示为 ．
10．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义
一种新运算“ ”，即 ，如： ，则 ．
三、解答题
11．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）计算：
(1) (2)
12．（2023上·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）计算
(1) (2)
13．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末）计算：(1) (2)
14．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1) ； (2) ．
15．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）已知 ．求：
(1) 的值；
(2) 的值．
16．（2023上·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出 的结果为 ；
(2)利用上面提供的解法，请化简： ．
